数学问答

85.问:命题p:方程(x+2)(x-1)=0的根是-2,命题q:方程(x+2)(x-1)=0的根是1. 很明显,p和q都是假命题.但p或q形式的复合命题:“(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”是真命题.而课本第27页:“当p、q都为假时,p或q为假”,那么,上述的“怪题”怎样解释呢? (广州仲元中学一(10)班谭映荷)     

短文集萃

绝对值不等式的应用设a、b∈R,则有不等式 (1) |a b|≤|a| |b|,仅当ab≥0时取“=”号。 (2) |a-b|≥|a|-|b|,仅当(a-b)·b≥0时取“=”号。这两个不等式的证明都很简单,从略。它们在解题中有广泛的应用。 [例1] 解不等式:|x lgx|<|x| |lgx|。解:由(1)知仅当xlgx<0对原不等式成立, ∴0相似文献   

一个极易出错的命题判断

同学们经常遇到这样一个命题：“方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或x=2”．这个命题是简单命题还是复合命题呢?不少同学认为是简单命题．其理由是命题p：“方程(x-1)(x -2)=0的根是x=1”是一个假命题,而命题q：“方程(x-1)(x -2)=0的根是x=2”也是一个假命题,由此可得复合命题p或q：“方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或x=2”为假命题,从而可知,这个命题只能是一个简单命题,这显然是一个错误判断．     

“不等式与不等式组”和“实数”易错题选析

【例1】用不等式表示:(1)x的52与4的差不小于2;(2)b的3倍与5的和是非负数.【错解】(1)52x-4>2;(2)3b+5>0.【剖析】将文字语言转换成数学语言,是学习数学的一项基本功.上述解答错误的原因是不理解文字语言的含义,从而不能正确地把“文字语言转化为数学语言”.实际上“不小于”就是“大于或等于”,而“非负数”则包括了“正数和零”.【正解】(1)52x-4≥2;(2)3b+5≥0.【例2】判断下列说法是否正确:(1)x=0是不等式x+2<3的解;(2)不等式3x-6>0的解集是x=3.【错解】(1)正确.因为x=0满足不等式x+2<3;(2)正确.因为x=3满足不等式3x-6>0.【剖析】解答此…     

中考试题中的“零”陷阱

初中数学中有许多“不等于零”的限制 ,许多命题者总是在多处设计“零”的陷阱 ,学生稍不谨慎 ,就会陷进去而不能自拔 ,造成解题失误。常见的“零”陷阱有 :一、利用分式的分母“不等于零”设计陷阱例 1　如果 | x| - 2x- 2 的值为零 ,则 x的取值为(　 )。A.± 2 ;　 B.2 ;　 C.- 2 ;　 D.大于 2。(2 0 0 1年烟台市中考题 )错解 :由 | x| - 2 =0 ,有 x=± 2 ,应选 (A)。分析 :错解忽视了分母 x- 2不能为零的隐含条件 ,当 x=2时 ,x- 2 =0 ,应舍去 ,故 x =- 2 ,应选(C)。二、利用一元二次方程中二次项系数“不等于零”设计陷阱例 2　已知关…     

例谈高中数学解题中的检验问题

<正>一、解分式方程例1在实数范围内解关于x的方程(x²+x-2)/(x-1)=0。解:因为(x2+x-2)/(x-1)=0。解:因为(x²+x-2)/(x-1)=0,所以x2+x-2)/(x-1)=0,所以x²+x-2=0,则x=1或x=-2。检验:x=1时,x-1=0,舍去,则x=-2。点评:之所以要检验,是因为在解分式方程时把分式等于零转化成了分子等于零,这是一个不等价转换,从逻辑上说后者是前者的必要条件,满足分式方程的解必满足整式     

简易逻辑知识浅析

高一新教材增加了“简易逻辑”一节内容,在教学实践中,教师和学生都不同程度地存在一些问题和困惑,请看案例:案例(1):命题p:不等式x2-2x-3>0解集是{x|x>3),命题q:不等式x2-2x-3>0的解集是{x|x<-1},复合成的“p或q”命题:不等式x2-2x-3>0的解集是{x|x>3或x<-1},这里,显然p为假,q为假,但“p或q”命题却为真,与真值表矛盾,这是为什么?针对案例(1),有人提出:案例(2):不等式x2-2x-3>0的解集是{x>3或x<-1},应是简单命题,不是复合命题,但教材第26页分明说“李强是篮球运动员或跳高运动员”是“p或q”型的复合命题,这不矛盾吗?案例(3)命题p:“有些自…     

二次根式乘法常见错误剖析

同学们在学习二次根式乘法时,由于对基本概念掌握不牢,对法则理解不透,往往产生误解,本文举例进行分析,以帮助大家避免发生类似的错误,增强解题的准确性.例1化简:((1-x)(x-2)~2)~(2/1)错解:原式=(1-x)~(2/1)·((x-2)~2)~(2/1)=(x-2)(1-x)~(2/1)分析:因已知根式有意义,所以(1-x)(x-2)~2≥0,而(x-2)~2≥0,故有1-x≥0,即z≤1,x-2     

抓住灵感激活创新

观摩98届全国数学优质课竞赛时,张孝达教授在题为“鼓励创新”的报告中讲了两个实例:在中国,一位教师让学生解方程x(x-2)=3时,一生这样解:∵x(x-2)=3×1,∴x=3,又∵x(x-2)=(-1)×(-3)∴x=-1。教师说:“错了,应把3移到左边得x~2-2x-3=0,解     

“≥”的否定是“<”吗?

在学完简易逻辑之后,有很多同学对“非”的理解比较模糊,经验性的认为“≥”的否定是“<”,为了纠正这种隐蔽的错误,我们看下面的例子:已知:p:|5x-2|>3,q:1(x2 4x-5)≥0,则p是q的什么条件?学生中普遍有以下两种解法:解法1:因为p:|5x-2|>3即x<-15或x>1所以p:-15≤x≤1因为q:1x2     

探寻题源的三个途径

题源是针对题海而提出的 ,常言所说“万变不离其宗”,“宗”就是题源的恰当描述。要减轻中学生过重的负担 ,提高教学质量 ,必须摆脱题海 ,去探寻题源。探寻题源的基本途径有三个 :(一 )习题变式 ;(二 )问题引伸 ;(三 )结论推广。　　 (一 )习题变式 ,探寻题源原题 :《代数》第一册 (下 ) 67页例 3“x取什么值时 ,代数式 2 x- 5的值 :(1 )大于 0 ?(2 )不大于0 ?”变式题组 :1 .当 x时 ,2 x- 5的值不小于 1。2 .代数式 3x 1不大于 2 x- 5,则 x。3.已知关于 x的方程 3x-(2 a- 3) =5x (3a- 6)的解是负数 ,试求 a的范围。4.已知方程组3x y=1 3mx…     

“1”的妙用

“1”是不可缺少的一个数,目然数中它排首位,实数里是单位。它有许许多多的妙用之处,本文所谈到的仅是这些应用中的沧海一粟。一、1=a÷a=a×1/a(a≠0) [例1] 解方程: (x-1)/(x 1) (x-4)/(x 4)=(x-2)/(x 2) (x-3)/(x 3)解:((x-1)/(x 1) 1) ((x-4)/(x-4) 1) =((x-2)/(x 2) 1) ((x-3)/(x 3) 1) ∴2x/(x 1) 2x/(x 4)=2x/(x 2) 2x/(x 3)。∴ x=0或1/(x 1) 1/(x 4)=1/(x 2) 1/(x 3) (2x 5)/(x 1)(x 4)=(2x 5)/(x 2)(x 3) ∴ 2x 5=0 x=-5/2。或(x 1)(x 4)=(x 2)(x 3)但无解     

用解析法求函数的最值例解

“数”和“形”在一定的条件下可以相互转化,相互渗透的。对于一些求函数的最值问题,如果把它化为几何问题,这样既避免繁杂冗长的推导与计算,解法更简捷,而且形象,直观,容易理解和掌握。从而达到化难为易的目的。例1 求函数y=(x~2 4)~(1/(x~2 4)) (x~2-8x 7)~(1/(x~2-8x 7))的最小值。分析:由y=((x-0)~2 (0-2)~2)~(1/((x-0)~2 (0-2)~2) ((x-4)~2 (0 1)~2)~(1/((x-4)~2 (0 1)~2))问题转化为:y的值是平面直角坐标系中的x轴上一点到两定点A(0,2),B(4,-1)的距离和。     

结果正确,解答未必正确

好多同学解完题后,喜欢相互之间对一下结果或询问老师正确的结果,若结果相同或正确,则以为解答正确,殊不知,有时结果正确解答未必正确.本文以几道代数题为例,分述如下:一、关于分式运算例1计算:22x+3+33-2x-2x+159-4x2.解法1原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15=0.解法2原式=22x+3-32x-3+2x+15(2x+3)(2x-3)=4x-6-6x-9+2x+15(2x+3)(2x-3)=0.分析:解法1混淆了分式的加减运算与分式方程的求解,误用“去分母”,违背了分式加减的运算法则,故解法1是错误的.二、关于根式运算例2化简:a-ba√+b√(a>0,b>0).解法1a-ba√+b√=(a-b)(a…     

一元不等式的错解纠正

文[1]中的例7(3)的解答是一个典型错误.现摘抄原文如下: 例7 写出下列命题的否定: (3)1/x2 2x-3≥0 ① 解: (3)(」)p:1/x2 2x-3＜0 ②;因为p是1/x2 2x-3＞0或1/x2 2x-3=0,(」)p是对p的否定,即为1/x2 2x-3≤0且1/x2 2x-3≠0.     

破常规巧解一元一次方程

例1解方程3|2x-1-[3(2x-1)+3]|=5. 分析:方程中两次出现“2x-1”,不妨把“2x-1”看成一整体,应用“换元法”,减少了方程的项数,从而简捷明快地获解. 解:设2x-1=t,则原方程转化为3[t-(3t+3)]=5. 去括号,得3t-9t-9=5.     

天津市1979年中学数学竞赛参考题解

第一试一、解方程:(x+3)~(1/2)=|x-2|-1.解:先限定 x≥2:这时|x-2|=x-2,原方程化为(x+3)~(1/2)=x-3,x+3=x~2-6x+9,∴x~2-7x+6=0,(x-6)(x-1)=0,∴x_1=6,x_2=1(x_2不合我们的限定,舍     

(a～(1/2))~2和(a~2)～(1/2)的联系与区别

( a ) 2 =a( a≥ 0 )和 a2 =|a|是二次根式中两个很重要的公式 ,是运算法则的基础 ,在应用中必须弄清它们的异同点。上述两公式有哪些联系和区别呢 ?一、它们的定义不同。基本公式 : .( a ) 2 =a( a≥ 0 )。 . a2 =|a|=a( a>0 ) ,0 ( a=0 ) ,- a( a<0 )。强调注意 :1.两个公式中字母 a的取值范围不同 ,公式 中字母 a≥ 0 ,即 a是非负数 ;而公式 中的 a可取一切实数。例如 :等式 ( 2 x- 3) 2 =2 x- 3成立的前提是 2 x- 3≥ 0 ,即 x≥ 32 ,因为只有满足了这个条件 ,2 x- 3才有意义 ;而等式 ( 2 x- 3) 2= |2 x- 3|恒成立 ,即无论当 2 x- 3>0…     

先求“■p”防遗漏

例1已知p:|3x-4|>2,q:x2-1x-2>0,则p是q的什么条件?解法一由p:|3x-4|>2,得p:x>2或x<32,所以p:32≤x≤2,即p:{x|32≤x≤2};由q:x2-1x-2>0,得q:x>2或x<-1,所以q:-1≤x≤2,即q:{x|-1≤x≤2},所以p是q的充分不必要条件.解法二由p:|3x-4|>2,得p:|3x-4|≤2,解得:32≤x≤2,即p;{x|32≤x≤2};由q:x2-1x-2>0,得q:x2-1x-2≤0,所以-1”的否定为“≤”是片面的,q是对q的否定,应包括:x2-1x-2≤0和x2-x-2=…     

“常量”与“变量”

常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献