代数问题三角化

在处理许多三角问题时,我们常将三角问题代数化,以求化繁为简,化难为易;相反,在处理某些代数问题时,我们也可作适当的三角变换,将代数问题转化为三角问题,同样可收到令人满意的效果。现在举例说明如何使代数问题三角化。     

正切代换法解代数问题策略

在解决某些代数问题时,我们可以从考虑条件式与结论式的结构特征入手,充分挖掘隐含条件,将字母变量恰当地通过正切函数代换,化代数问题为三角问题求解,往往会起到化繁为简、化难为易之功效.本文将以一些典型实例归纳出用正切代换法解代数问题的若干思考途径,供大家参考.     

椭圆中的最值问题

本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向,即几何化、代数化、三角化,这三个方向在解决其他圆锥曲线的最值问题时也适用．一、几何化方向画出图形,利用几何图形的性质,按几何思路借助解析方法求解．     

巧用三角的方法证明或求解代数问题

所谓用三角方法解代数问题,就是将代数问题中的字母通过三角函数（或式）代换,变为三角问题处理,以求解答．在三角换元时,首先要从代数问题中字母的允许值范围考虑,看能用哪些三角函数（或式）去代换,再根据解题的需要进行选择．一般地说,代换进去的三角函数（或式）的值域应是代数中字母的允许值范围．明确这一点可以帮助我们较快地、合理地选择三角代换．     

三角代换法解代数问题

有些代数问题 ,当我们用代数方法解决时 ,会觉得束手无策 .如果通过三角代换把它们转化为三角问题 ,不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了 ,结构特征显现 ,而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算 .本文将探讨两类适合用三角代换法解决的代数问题 .一、式子结构与三角公式的形式相同例 1　 (第 1 5届全俄中学生竞赛题 )数列ａｎ 满足ａ0 =13 ,ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 (ｎ=1 ,2 ,… ) ,求证 ａｎ 是单调数列 .分析　由已知ａｎ =1 +ａｎ- 1 2 ,容易看出递推公式与余弦函数的半角公式结构完全一致 ,故考虑用三角代换 .…     

三角代换法可解的代数问题

对一些代数问题，若能抓住题目中的关系或特征，恰当运用三角代换法，不仅使问题中各量之间的关系变得简洁明了，结构特征显现，而且可使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算，然后利用三角变换使问题轻松获解．本文将探讨适合用三角代换法解决的代数问题．[第一段]     

类比三角公式巧解代数问题

有些代数问题,当我们用代数方法解决时,会觉得较难下手甚至束手无策,如果能根据题目结构特点,类比联想三角公式,通过三角代换,把问题转化为三角问题,不仅可使问题中的数量关系变得直接明了,结构特征明显,而且使代数中原来繁琐复杂的运算变成简单、灵活多变的三角运算.现举例说明.1 类比三角公式证明条件等式 例 1 设a,b为实数,a 1?b2 b 1? a2=1,求证:a2 b2 =1.(第 3 届“希望杯”数学竞赛题) 分析 由已知式知 a ≤1, b ≤1.由此及已知式的结构类比联想两角和的正弦公式,设a = sinα ,b = sin β , ?π / 2 ≤α 、β ≤π / 2 ,则…     

捕捉三角信息巧解代数问题

三角变换在数学中属于工具性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要善于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，     

同角三角函数平方关系的变形与应用

从同角三角函数的三个平方关系出发 ,分别从三个数成等差数列和等比数列联想到 6个关系式。然后举例说明这些关系式为我们提供了把某些三角问题转化为代数问题解答的途径 ,并且在解某些题时 ,显得简洁明快。     

三角换元,换出一片天

"换元"的思想在整个数学中都是很重要的,本文只对三角换元法做必要的探讨.三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算,也可用于解决一些几何问题,即把某些代数问题或几何问题转化为三角问题,这就是代数问题或几何问题的三角解法,下面举例说明.     

三角代数的三重导子

设A,B是有单位元的交换环R上的代数,M为(A,B)-双模,△为三角代数.构造了三个自然线性映射,结合模论的方法,得到三角代数△的三重导子能表示为三个标准三重导子之和.     

活用正切代换巧解题

对于某些非三角函数问题，粗看起来似乎与正切无缘，其实若能仔细观察条件式和结论式的结构，就会发现其与有关正切公式的形态相同．这时不妨巧妙转换，将字母变量恰当地通过正切代换，化代数问题为三角问题来处理，这样，往往会收到出奇制胜的效果．本文试从几个方面．来分析正切代换在代数解题中的基本方法、技巧及应用的条件．     

三角试题的优化解法与技巧

<正>通过对三角习题结构的分析,在解题时考虑选择适当的方法,则可使复杂问题转化为简单问题,收到事半功倍的效果.下面简要分类介绍解题常用的优化方法及技巧,供读者参考.一、代数替换在三角函数问题中,若sinα±cosα与sinαcosα同时在一个函数式中出现,此时可设t=sinα+cosα,把原问题转化为以t为变量的二次函数,这样用代数方法处理就可以避开三角式讨论的麻烦.     

运用向量解题

向量是既有大小又有方向的量.向量可以使图形数量化,使图形间的关系代数化,因此,向量具有很好的"数形结合"特性.向量是联系代数关系与几何图形的重要纽带,也为我们解题提供了一种崭新的方法.本文将通过一些例子,简要说明向量在解决代数、三角、立体几何、解析几何等问题中的作用.     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

类比三角公式解题

寻求解题思路，探测问题结论几乎离不开类比．欧拉说“类比是伟大的引路人”．对于某些代数问题直接求解较困难时，若能抓住问题的外形结构，展开联想，类比有关三角公式，引入相应的三角代换，常能使问题巧妙获解．     

关于《数形结合》在解题中的应用

数形结合是数学中重要的思想方法之一，它的实质抽象的语言与直观图形结合起来，可用代数手段研究几何问题，也可以用图形的直观研究代数或三角题，灵活运用数与形的转化，可以使待解(证)的问题化难为易，化抽象为具体，从而找到简捷巧妙的解法。     

和谐化方法在三角解题中的应用

从问题的不和谐因素入手,通过一系列等价转化使其形式更符合数与形内部固有的和谐统一的特点,以便突出其本质上的联系,从而达到问题解决的目的.我们将其称为和谐化方法.三角恒等变形是求解三角问题的核心,而进行三角恒等变形的目的在于消除差异,实现统一.因此,和谐化方法在三角解题中大有用武之地.     

代数问题几何解

由数思形,将代数问题化为图像的直观思维处理,将抽象的数学问题,构建起相应的直观图像模式,往往可以收到事半功倍的效果。某些代数问题,巧妙地运用几何方法来解证,不但解题思路清晰,而且运算量大大减少,尽管有时代数式的意义不易说清,但它可沟通儿何与代数、三角之间的关系,活跃解题思路,激发学习兴趣,使我们的学习轻松愉悦。