抽象函数容易忽视的几个问题

抽象函数是相对于具体函数而言的,它是指没有给出具体函数的解析式,仅仅给出函数的部分性质,如函数f(x)满足f(x y)=f(x) f(y)等.解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数.通过抽象函数设置的考题,主要考查函数的基本性质(单调性、奇偶性和周期性),考查学生的抽象思维、     

对一类抽象函数问题的再思考

我们知道“若函数f(x)对任意的x、y∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y)”,则我们容易联想到正比例函数f(x)=kx是满足条件的一个具体模型,又比如“若函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)f(y)”,则我们容易想到指数函数是满足条件的一个具体模型.笔者经常在想分别满足这两个条件的函数是否就是正比例函数和指数函数呢如果真是这样那么抽象的问题就变成了具体的函数了岂不更好!那么怎样根据条件求出函数f(x)的解析式呢怎样揭开抽象函数神秘的面纱露出庐山真面目呢这类问题一直在困惑着笔者,用赋值法特殊情况下能求出函数解析式,或求出自变量为正整数时的函数解析式,但不少问题赋值却显得无能为力.最近笔者有幸拜读了《中学数学教学参考》第7期李峰老师的文章“一个问题的求解历程”,他大胆运用导数方法解决了他所遇到的几个抽象函数的解析式问题,这给笔者很大的启发和鼓舞.但笔者读后觉得言虽尽意未了,还有作进一步探讨的必要.笔者用此法对简单多项式函数、指数函数和对数函数的抽象表现形式进行了一般性的研究得出了一些自己诊断有一定价值的结论,使得我们对抽象函数的解析式问题有了进一步的认识.下面将笔者的研究成果及其应用向大家作...     

抽象函数问题的类型及其解法

抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1　已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) =　　　　 .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差…     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

抽象函数的解题策略

抽象函数,其性质常常是隐而不露.但就其类型,最基本的有以下几种:(1)线性函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)+f(y);(2)指数函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)f(y);(3)对数函数抽象函数型,如f(xy)=f(x)+f(y)(4)三角函数型抽象函数,如f(x+y)f(x-y)=2f(x)f(y)(余弦函数型),f(x±y)=f(x)g(y)±f(y)g(x)(正弦函数型),f(x±y)=f(x)±f(y)/1-+f(x)f(y)(正切函数型).只要善于借用相应函数的相关性质,就     

一类抽象函数性质的探讨

<正>函数是中学数学的一个重要概念,函数的思想方法贯穿整个高中数学课程,也是高考中的重点内容.形式化、符号化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用一个抽象的符号y=f(x)表示.这种表示不仅形式简单,而且可加深对函数概念本质的理解.学生对于函数解析式确定的函数的性质较容易掌握,但是对于仅仅用符号f(x)描述的一类抽象函数的研究却有较大的难度,本文就这类抽象函数的性质作探索.例1:坌x,y∈R,且x≠0,y≠0,均有f(xy)=f(x)+f(y)成立,     

抽象函数问题的模型解法

抽象函数是指满足某些条件但没有给出解析式的函数.一般说来,这类函数大多是根据教材中某些函数的性质与结构特征,经过抽象、概括而成的,因而大都能找到其原始模型.解题时,我们可以根据抽象函数提供的信息,经过加工整合,找到相应的模型函数,并由此推测出抽象函数可能具有的性质,这样易于明确解题方向,而使问题获解.1 直线型例1 定义域为 R 的函数 f(x)满足:对于任意实数 x,y 都有 f(x y)=f(x) f(y)成立,且当 x>0时,f(x)<0恒成立,解关于 x     

常见抽象函数型的归类及解题策略

通常意义上的“抽象函数”是指没有给出解析式或尽管给出解析式但式中含有未知参数的函数。这类函数问题一般能较深刻地体现函数的概念与性质等特征,又能与不等式、方程等紧密联系,因而能较好地培养和考查学生运用多种数学思想方法分析和解决问题的能力,但因其比较抽象,学生往往难以入手。本文就此类问题的归类及解题策略谈点看法。一、f(x±y)=f(x)±f(y)+c(c为常数)型例1.已知函数f(x)的定义域为R,且同时满足:(1)对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最大值与最小值。分析:二次函数,指…     

函数的图像

平面内坐标满足函数解析式y=f(x)的点的集合,叫做函数y=f(x)的图像。如果图形C与函数y=f(x)建立如下的关系:1.图形C上的点的坐标都满足函数解析式y=f(x);     

巧用对称点解函数题

设P(x,y)是直角坐标系内任意一点,则P (1)关于x轴的对称点为P_1(x,-y); (2)关于y轴的对称点为P_2(-x,y); (3)关于原点的对称点为P_3(-x,-y); (4)关于直线y=x的对称点为P_4(y,x)。由此可得到以下4个相应的结论: 函数y=f(x)的图象(1)关于x轴对称的图象的函数解析式为y=-f(x),即以-y代y; (2)关于y轴对称的图象的函数解析式为y=f(-x),即以-x代x; (3)关于原点对称的图象的函数解析式为y=-f(-x),即同时以-x代x,以-y代y; (4)关于直线y=x对称(y=f(x)有反函数)的图象的函数解析式为y=f~(-1)(x),即从y=f(x)中解出x后,x与y互换。     

分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

抽象函数试题研究

<正>抽象函数,一般理解为没有给出解析式,间接给出函数的性质的一种函数的给出形式.下面以近年的高考试题为例,探讨抽象函数的一些学习的方法.1常见的抽象函数性质1.1对称形如f(x+a)=f(b-x),函数具有对称性,对称轴为x=a+b2.形如f(x+a)=-f(b-x),函数具有对称性,对称中心为a+b2,()0.例1(2012年辽宁省高考11题)设函数f(x)(x     

未给解析式的几类函数问题及解法

函数是中学数学的重要内容。对于没有具体给出函数解析式的问题,学生感到非常抽象、复杂多变、难以理解,解题时束手无策,本文将这一问题归为六类,下面举例介绍给读者。一函数的定义域问题当函数y=f(x)的自变量为φ(x)而使函数成为复合函数y=f[φ(x)]时,苦y=f(x)的定义域是[a,b](a     

如何理解“y=f（x）”的一些问题

对函数y=f(x)这一抽象关系式的认识,十分有益于抽象思维能力的提升． 1．y=f(x)的定义域的意义当函数y=f(x)是用一个具体的解析式表示时,它的定义域就是指使这个式子有意义的实数x的集合.比如求函数f(x)=((x 1)~(1/2))1/x-1 的定义域,就是求使((x 1)~(1/2))1/x-1有意义的实     

一类反函数习题的错解辨析

题型:若函数 y=f(x)存在反函数 y=f~(-1)(x),求 y=f(x-1)的反函数.解:因为 y=f(x)的反函数是 y=f~(-1)(x),在解析式中,用 x-1代换 x 得 y=f(x-1)的反函数是 y=f~(-1)(x-1).在解题时很多学生会用上述的解法求反函数,这种解法正确与否?探究①:函数 y=f(x)与 y=f(x-1)之间是什么关系?同样,函数 y=f~(-1)(x)与 y=f~(-1)(x-1)之间又是什么关系?     

一类分段函数解析式的求法

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1　关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1　已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解　当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,…     

绝对值函数的常见类型及求解策略

<正>一、常见的含绝对值的函数类型及其图象常见的含绝对值的函数主要包括y=|f(x)|和y=f(|x|)两种类型.由于自变量x的取值被分成若干不同的区间,因此,这些函数在不同的区间有不同的表达式:f(x),f(x)0,y=|f(x)≥|={-f(x),f(x)<0,{f(x),x 0,y=f(|x|)≥=f(-x),x<0.     

导数在解数学题中的应用

一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在     

模特函数问题例析

模特函数是指以函数或某一公式为原型,将函数的本质属性抽取出来而得到的一类抽象函数.如以f(x)=cosx为模型可得:若定义在(-∞, ∞)上的连续函数f(x),对任意实数x,y,都有f(x) f(y)=2f(x2 y)·f(x2-y),且f(0)=1,且f(x)是周期函数,且f(x)为偶函数.本文例析模特函数问题的求解策略     

一类分段函数解析式的求法

若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同 ,可用几个式子来表示函数 ,这种形式的函数叫分段函数。已知一个分段函数在某一区间上的解析式 ,求此函数在另一区间上的解析式 ,这是分段函数中最常见的问题。由于给出条件的不同 ,常有如下一些题型。1　分段函数关于直线对称的情形例 1　设函数 y =f(x)的图像关于直线x =1对称 ,若x≤ 1时 ,y =x2 +1。求x >1时 f(x)的解析式。解　设x >1 ,则 2 -x <1 ,由已知条件 ,得f( 2 -x) =( 2 -x) 2 +1 =x2 -4x +5。因为函数y =f(x)关于x =1对称 ,故 f(x) =f( 1 -(x -1 ) ) ,即 f(x) =f( 2 -x) ,所以当x >1…