椭圆、双曲线的第三定义

教材中给出了椭圆和双曲线的两个定义 ,并在第二定义中使圆锥曲线得到统一 .笔者认为椭圆和双曲线还存在着第三定义 .下面仅以椭圆为例 ,从第一定义推导标准方程的过程来加以证明 .以Ｆ1、Ｆ2 所在直线为ｘ轴 ,Ｆ1、Ｆ2 所在线段的中垂线为ｙ轴建立直角坐标系 ,设Ｍ(ｘ ,ｙ)为椭圆上任意一点 .由 ｜ＭＦ1｜+｜ＭＦ2 ｜ =2ａ(2ａ>2ｃ) ,得(ｘ+ｃ) 2 +ｙ2 +(ｘ-ｃ) 2 +ｙ2 =2ａ .平方移项ａ2 -ｃｘ =ａ (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2 ,①平方整理 (ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,同除以 (ａ2 -ｃ2 )得 ａ2 ｙ2ｘ2 -ａ2 =ｃ2 -ａ2 ,除以ａ2 得 ｙ…     

让学生走出“疑惑”的沼泽

笔者在教研过程中碰到两次活动 :1 在一次校教研活动中 ,听一位老师上课 ,让学生练习 :已知二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠0 ) ,如果 ｆ (ｘ1 ) =ｆ (ｘ2 ) (ｘ1 ≠ｘ2 ) ,则ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =　　 (浙江省 1999年会考第 2 4题 ,原题是选择题 )一基础较差的学生举手回答如下 :∵ ｆ(ｘ1 ) =ｆ(ｘ2 ) (ｘ1 ≠ｘ2 ) ,∴ｘ1 =-ｘ2 .∴ ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(0 ) =ｃ .教师评析 ,这种做法是错误的 ,推理毫无依据 .学生带着难言的神色 ,尴尬地坐下了 .然后教师讲解 :∵ ｆ(ｘ1 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴二次函数对称轴是ｘ =ｘ1 ｘ22 ,∴ｘ1 ｘ2 =-ｂ…     

椭圆、双曲线两种定义的等价关系

本文从“数”、“形”两个角度揭示椭圆 (双曲线 )两种定义的等价关系 ,作为教学之后的补充与提高 ,无疑对于学生课外思考钻研 ,及培养学生思维能力都十分有利 .以双曲线为例 ,证明双曲线的第二定义 .设Ｍ (ｘ ,ｙ)是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上任意一点 ,则有ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ｃ2 =ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 -ａ2 )ｘ2 -ａ2 ｙ2 =ａ2 (ｃ2 -ａ2 ) (ｃ2ａ2 - 1)ｘ2 - ｙ2 =ｃ2 -ａ2 ｘ2 ｙ2 ｃ2 =ａ2 ｃ2ａ2 ｘ2 ( )( )两边同减 2ｃｘ ,得(ｘ-ｃ) 2 ｙ2 =ｃ2ａ2 (ｘ- ａ2ｃ) 2 ,从而有 (ｘ-ｃ) 2 ｙ2ｘ- ａ2ｃ=ｃａ .这表明Ｍ到定点…     

巧解直线与圆锥曲线的相切问题

我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 :　　　　ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2…     

与马超三老师商讨

贵刊2000年第7期(总第128期)第21页刊登了马超三老师的一篇文章“初中《几何》值得商讨的一些问题”,读罢,对笔者有很大启发,但其中有些观点,笔者不敢苟同,特提出来与马超三老师及广大同行商讨.对于原文中的问题3.……笔者认为,几何定义要严谨、完美、有逻辑性,同时,不失简洁,否则就不叫定义了.而课本上的该定义就具有上述几个特点.马超三老师改后所得定义虽然也严谨、完美、有逻辑性,但失去了重要的一点“简洁”,故而笔者认为改后不妥.至于“垂足”是否存在的问题,翻看九义教材初中《几何》第一册第57页第八行“画一条     

中考数学热点题点评

近年来 ,全国各地的中考数学试题除一些常规题型外 ,又涌现出一大批格调清新高雅、设计优美独特的新题型 .这类题目不仅使人赏心悦目 ,而且在很大程度上显示了中考命题的改革趋势 .1　体验知识的形成过程 ,考查归纳创新能力例 1　先阅读下列第 ( 1 )题的解答过程 ,然后再解答第 ( 2 )题 .( 1 )已知实数ａ、ｂ满足ａ2 =2 - 2ａ ,ｂ2 =2 - 2ｂ ,且ａ≠ｂ .求 ｂａ+ ａｂ的值 .解法 1 :由已知得ａ2 + 2ａ - 2 =0 ,ｂ2 +2ｂ - 2 =0 ,且ａ≠ｂ .∴ａ、ｂ是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 =0的两个不相等的实数根 .由根与系数的关系 ,得ａ +ｂ =- 2 ,ａｂ =- 2…     

椭圆中点弦的一个性质及其应用

1999年第 5期《数学教学研究》刊登了袁良佐老师“双曲线中点弦性质的应用”和王景斌老师“抛物线弦的中点问题”两篇文章 ,读后颇有启发 .本文给出椭圆中点弦的一个性质 ,并举例说明它的应用 .性质　设Ａ、Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上两点 ,Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是弦ＡＢ的中点 ,则有ｋＡＢ·ｋＯＰ=- ｂ2ａ2 .证明　设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1上两点 ,则有ｘ21 ａ2 ｙ21 ｂ2 =1,　 ｘ22ａ2 ｙ22ｂ2 =1,两式相减 ,得　 ｘ21 -ｘ22ａ2 ｙ21 - ｙ22ｂ2 =0 ,即　(ｘ1 ｘ2 ) (ｘ1 -ｘ2 )ａ2 …     

例析教师教学用书中习题解答的失误

人民教育出版社中学教学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修》数学第二册(上 )》的教师教学用书 ,是广大中学数学教师的重要工具书 ,可笔者在使用该书的过程中 ,发现有的习题的解答欠妥 ,现例举之以与作者及读者共同商讨 .例 1　方程ｘ2 + ｙ2 + 2ａｘ-ｂ =0表示什么图形 (教科书Ｐ79页练习第 1题 ( 3)题 )教师教学用书Ｐ50 页 ,给出的答案是以 ( -ａ ,0 )为圆心 ,ａ2 +ｂ2 为半径的圆 .剖析 :　笔者认为此答案欠妥 ,因为ｘ2 +ｙ2 +2ａｘ -ｂ =0 ,配方可化为 (ｘ+ａ) 2 + ｙ2 =ａ2 +ｂ2 ,而ａ2 +ｂ2 ≥ 0 ,当ａ2 +ｂ2 =…     

"三角判别式"及其应用

高中代数上册第 2 97页给出了三角方程 ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (ａ、ｂ不同时为零 )有解的 条件是 | ｃ ａ2 ｂ2 |≤ 1 ,即ａ2 ｂ2 -ｃ2 ≥ 0。若记Δ = ａ2 ｂ2 -ｃ2 ,并称其为“三角判别式” ,可进一步得到 : 定理　对于三角方程ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ ｃ =0 (0≤ ｘ <2π ,ａ、ｂ不同时为零 ) ,则 ①方程有两个不同解 Δ >0 ; ②方程有唯一解 Δ =0 ; ③方程无解 Δ <0。 证明极其简单 ,只要将原方程化为ｓｉｎ(ｘ φ) = -ｃ ａ2 ｂ2 ,其中 φ由ｓｉｎφ =ｂ ａ2 ｂ2 ,ｃｏｓ…     

2001年广东省高考数学第21题的拓广

20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1　已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) .　　　　　图 1证明　如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .…     

圆锥曲线弦的垂直平分线的截距性质

本文给出圆锥曲线弦的中点坐标与该弦的垂直平分线的截距之间的关系 ,并举例说明它的应用 .定理　设圆锥曲线中与坐标轴不平行的弦Ｐ1Ｐ2 的中点为Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 ) ,该弦的垂直平分线ｌ与ｘ轴的横截距为ａ ,与 ｙ轴的纵截距为ｂ .(1)对于椭圆或双曲线　 ｘ2Ａ + ｙ2Ｂ =1　 (Ａ >0 ,Ｂ >0或ＡＢ <0 ) ,有　ａ=Ａ-ＢＡ ｘ0 ,　ｂ=Ｂ-ＡＢ ｙ0 ;(2 )　对于抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 (ｐ ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0 + ｐ ,　ｂ=ｙ0ｐ(ｘ0 + ｐ) ;(3)对于抛物线ｘ2 =2 ｐｙ　 (ｐ≠ 0 ) ,有　　ａ=ｘ0ｐ(ｙ0 + ｐ) ,　ｂ =ｙ0 + ｐ .证明　 (1)　设Ｐ1(ｘ1…     

函数在闭区间上不可积的分析定义及其运用

根据函数ｆ（ｘ）在闭区间「ａ，ｂ」上可积的分析定义，收互为否定的判断，推出函数ｆ（ｘ）在闭区间「ａ。ｂ」上不可积的分析定义，并运用这一定义证明两个例题。     

一道可引导学生进一步探究的课本习题

高中新教材《全日制普通高级中学教科书》(试验修订本·必修 )第二册 (上 )第 1 6页习题 6 3第 2题 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。此题出题本身欠完善。人教社编的教师数学用书第 1 5页的解答同样也欠完美。为此 ,解此题的更大的教育价值 ,是可以将它作为一道引导学生进一步探讨完善的探究题。实际上 ,将本题改为 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6≥ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ2 ≠ｂ2 ,求证ａ6 ａ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ >0 ,ｂ>0 ,且ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 ,均更完善。因为有 :　ａ6 ｂ6-(ａ4 …     

椭圆和直线的近距离求法及推广

人教版职高《数学》教材第二册第 87页 ,自测题八中第 2题的第 ( 11)题 :求椭圆 ｘ29 ｙ216=1上的点到直线ｘ ｙ=7的最短距离 .该题求解有一定难度 ,但教材和参考书中都没有明确解法 .为此 ,笔者分三类情况介绍 ,说明椭圆上的点和直线的最近距离求法 ,并给出椭圆和直线在相离情形下的近距离公式 ,供老师和同学们参考 .1　确定最近点法　　　　　图 1如图 ,ｌ表示直线ｘ ｙ=7,Ｃ表示椭圆ｘ29 ｙ216=1,欲求二者的最短距离 ,须先在Ｃ上确定到ｌ的最近点 ,如何确定这一点是突破该题难点的关键 .为了使我们直观地找到这一点 ,我们不妨用运动的方…     

不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

从一道习题的别解谈定法证题的教学价值

中《代数》（下册）（人教社,１９８７年１月第２版）３３页的第１１道复习参考题为：已知：ａ２１＋ａ２２＋ａ２３＋…＋ａ２ｎ＝１,ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２ｎ＝１,求证：ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋…＋ａｎｘｎ≤１．该题连续运用基本不等式“２ａｂ...     

指数不等式和对数不等式解法新探

利用指数函数和对数函数的单调性解题时，通常要根据底数的大小进行分类讨论，其过程较为繁琐．本文介绍一种方法，可以十分方便的解决一些关于指数或对数的不等式问题．我们知道：指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１），当０＜ａ＜１时是减函数，当ａ＞１时是增函数．由此可得如下定理：定理１　在指数函数ｙ＝ａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个实数ｘ１、ｘ２，ａｘ１－ａｘ２与（ａ－１）（ｘ１－ｘ２）的符号相同．定理２　在对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０且ａ≠１）中，对于任意两个…     

"黄金椭圆"之优美性质

设椭圆Ｅ :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )半焦距为ｃ,离心率ｅ为黄金数 5 -12 ,称此椭圆为“黄金椭圆”。它有很多优美的性质。性质 1　黄金椭圆的ａ、ｂ、ｃ成等比数列。证明　∵ ｃａ =ｅ=5 -12 ,∴ ａ2 -ｂ2ａ2 =3 -52 ,∴ ｂ2ａ2 =5 -12=ｃａ ,　∴ｂ2 =ａｃ ,故ａ、ｂ、     

高中数学新教材第八章教学问答(一)

146 .教学椭圆的标准方程时 ,要注意些什么 ?答 :( 1 )把椭圆的位置特征与标准方程的形成统一起来 ,椭圆的位置由其中心的位置和焦点的位置确定 .即 :如果椭圆的中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,那么这个位置是标准位置 ,此时由于长轴也在ｘ轴上 ,半长轴的平方ａ2 是方程中含ｘ2 项的分母 ,所以方程为 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 ;如果椭圆的中心在原点 ,焦点在 ｙ轴上 ,那么这个位置也是标准位置 ,此时由于长轴在 ｙ轴上 ,半长轴的平方ａ2 是方程中含 ｙ2 项的分母 ,所以方程为ｙ2ａ2 ｘ2ｂ2 =1 .( 2 )求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面 …     

周期函数的判定方法与应用

根据周期函数的定义 ,我们不难得到它的几个判定方法 .定理 1　设ａ、Ｔ是常数且Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ａ- ｆ(ｘ) ,则 ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明　ｆ(ｘ + 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ａ-Ｔ(ｘ+Ｔ) =ａ- [ａ-ｆ(ｘ) ]=ｆ(ｘ) ,即 ｆ(ｘ+ 2Ｔ)=ｆ(ｘ) .由周期函数的定义可知 ,ｆ(ｘ)是一个以 2Ｔ为周期的函数 .定理 2　设Ｔ是常数Ｔ ≠ 0 ,若 ｆ(ｘ)对定义域内的任意一个ｘ ,满足 ｆ(ｘ+Ｔ) =ｆ(ｘ-Ｔ) ,则ｆ(ｘ)是周期函数且它的周期为 2Ｔ .证明　ｆ(ｘ+ 2Ｔ) =ｆ[(ｘ+Ｔ) +Ｔ]=ｆ[(ｘ+Ｔ…