注意变量范围 提高思维严密性

学数学讲究思维的严密性．在教学中，笔者发现许多学生做错题的原因不是方法不当，而是在解题过程中忽略了某些变量的取值范围．因此，在教学中应引导学生注意变量的范围，提高思维的严密性，下面举例说明．     

注意变量范围提高思维严密性

学数学讲究思维的严密性．在教学中,我发现许多学生做不对题的原因不是因为方法不当,而是在解题过程中忽略了某些变量的取值范围．因此,在教学中应引导学生注意变量的范围,提高思维的严密性,下面举例说明．     

数学思维的反思性

一、概述数学思维的反思性表现在善于提出独立见解,精细地检查思维过程,不盲从、不轻信,在解决问题时能不断地验证所拟定的假设,获得独特的解决问题的方法.它和创造性思维高度相关.本讲重点加强同学们思维的严密性的训练,培养创造性思维.二、思维训练实例(1)检查思路是否正确,注意发现其中的错误例1已知f(x)=ax+bx,若-3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,求f(3)的范围.错误解法由条件得-3≤a+b≤0①3≤2a+2b≤6"②②×2-①得3≤a≤4……③①×2-②得-2≤3b≤-34……④③×3+④得7≤3a+b3≤332,即7≤f(3)≤323.错误分析采用这种解法,忽视了这样一个事实:…     

利用函数单调性解一类三角函数式取值范围问题

文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1　已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解　由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12…     

“常量”与“变量”

常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献   

函数解析式求解面面观

一、直接法例1已知f(x)=x2(x≥0)x(x<0),g(x)=x(x≥0)-x2(x<0),则x<0时,f[g(x)]为()(A)-x(B)-x2(C)x(D)x2解:当x<0时,g(x)=-x2<0,所以f[g(x)]=g(x)=-x2,选(B).求复合函数的解析式,先求内层函数,再求外层函数,另外,分段函数要注意变量的范围.二、换元法例2已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t则cosx=1-t,-1≤1-t≤1,所以0≤t≤2.所以f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2)所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)三、配方法例3f(x-1x)=x2+x12.求f(x).解:f(x-1x)=x2+x12=(x-1x)2+2,所以f(x)=x2+2.四、待定系数法例4已知f(x)=3x-1,f[h(x)]=g(x)=2x+3,h(x)为x…     

对一道不等式题的思索

在不等式教学中都会遇到如下问题:示例 已知函数f(x)=ax2-c满足 -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5.(1)求a、c的取值范围;(2)求f(3)的取值范围.     

错解不是无情物 化作春泥更护花——一道“任意”与“存在”混搭问题的解法辩析

在最近笔者所在学校参与的一次高三联考中,出现了如下一道关于函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题.题目已知函数f(x)=aln x+x^2+x-2(a∈R).(1)若f(x)在[1,+∞)单调增,求实数a的取值范围;(2)当a=2时,对于任意的λ∈[1,2],存在正实数x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),求x1+x2的最小值.     

错解 正解 巧解 妙解

题目 已知f(x)=ax^2-c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。     

正确答案的背后

[例]已知图象过原点的二次函数f（x）=px^2＋qx满足1≤f（-2）≤2,3≤f（1）≤4，求f（2）的取值范围。     

求“真”务“实”——由一道含量词的数学问题所引发的探究与思考

近期,笔者所在学校的高三综合测试中,选用了某兄弟学校的一道模拟试题：函数f（x）=1/2ax2-（1＋1/a2）x＋1/alnx,a∈R.（1）当a=-1时,求f（x）的单调区间;（2）当a＞0时,讨论f（x）的单调性;（3）g（x）=b2x2-3x＋1ln2,当a=2,1≤x≤3时,g（x）＞f（x）恒有解,求b的取值范围.客观的讲,这道题本身的难度不算太大,关键是第（3）小题如何进行等价转化.笔者在阅卷过程中发现学生主要有以下三种不同思路与水平的解法,其中的“对与错”、”真与假”值得玩味.     

解变量取值范围的错与妙

例1 设f（x）=ax^2＋bx,且1≤f（-1）≤2,2≤f（1）≤4,求f（-2）的取值范围。     

一类函数的性质及应用

在高中数学教学中 ,对函数的图象及性质的学习占有相当的比例 ,特别是对一些典型函数的研究可以培养思维能力 ,提高思维品质 .本文简要介绍函数 f(x) =ax +bx(a>0 ,b>0 )的性质 (单调性、值域和图象 )及应用 .一、函数 f(x)的性质1 单调性函数 f(x) =ax+bx(a>0 ,b>0 )的定义域为 ( -∞ ,0 )∪ ( 0 ,+∞ ) .由于 f( -x) =-f(x) ,所以函数 f(x)是奇函数 .先讨论 f(x)在 ( 0 ,+∞ )上的单调性 .设 0 相似文献   

由两道易错题引起的思考

1 引例 题1若二次函数y=f（x）的图像过原点,且1≤f（-2）≤2,3≤f（1）,求f（2）的取值范围．     

浅析一道不等式的解法

例题 设f（x）=ax^2＋b且-3≤f（1）≤-1,-1≤f（2）≤6,求f（3）的取值范围。 错解 依题意可得：f（1）=a＋b,f（2）=4a＋b,     

求解函数问题的六大路径

路径一:正确理解函数概念是解决有关函数问题的关键.路径一:正确理解函数概念是解决有关函数问题的关键.例1已知函数f(x)的定义域是[0,1],求f(x2)的定义域。分析:要解决这一问题需明确:(1)定义域是自变量x的取值范围;(2)f(x)制约的是x,而f(x2)制约的是x2.解:由不等式0≤x2≤1得-1≤x≤1,即函数f(x2)的定义域为[-1,1].路径二:函数的性质是由x的变化决定的,如奇偶性、单调性都是针对x而言的,而不是针对x的某个表达式.     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax~2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得(1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②)由①+②得3/2≤a≤3.又由①式得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤3/2.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.     

深刻理解知识 完善认知结构——一道导数题的错解分析及其教学启示

<正>一、题目与错解题目已知函数f(x)=(x²-ax+a)e2-ax+a)e^x-xx-x²,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x2,a∈R.若函数f(x)在x=0处取得极小值,求a的取值范围.这是高三数学复习导数的应用时,学生作业中的一道题目.由于经验型思维错误及思维不严谨,学生中出现了以下两种错解.错解1因为f'(x)=(x²-ax+2x)e2-ax+2x)e^x-2x,而f(x)在x=0处取得极小值,于是     

不等式恒成立问题的求解策略

一、判别式法对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(x)≥0恒成立,则{a>0,Δ≤0;若f(x)≤0恒成立,则{a<0,Δ≤0.例1奇函数f(x)是R上的减函数,若对任意x∈R,有f(kx)+f(-x2+x-2)>0恒成立,求k的取值范围.解析由已知得:     

解不等式恒成立的两大思想方法

不等式恒成立 ,求参数的取值范围”是不等式中一大题型 ,因不等式的千姿百态 ,因此常令学生不知如何着手解决 ,本文介绍处理这类问题的两大思想方法 .1　函数思想若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )在区间 A上恒成立 ,则只需 f (x) min >0 (或 f (x) m ax <0 ) .说明 :若 f (x) >0 (或 f (x) <0 )能分离变量化为 :g(a) 2时 ,不等式 x2 + ax + 8>0恒成立 ,求 a的取值范围 .解法 1 :令 f (x) =x2 + ax + 8,当 -a2 ≤ 2即 a≥ -4时 ,f (x) >2 2 +2 a + 8=1 2 + 2 a.由题意有 :2 a + 1 2≥ 0…