构造局部不等式证明一组国外数学竞赛不等式

<正>不等式问题一直是各类数学竞赛的热点和难点.有些不等式问题,如果整体处理,会显得相当困难,但若能从局部出发,通过适当的处理,得到相关的局部不等式,然后再把各个局部进行整合,则能达到柳暗花明的效果.本文以2020年以来的几道国外数学竞赛题的解析为例,说明构造局部不等式来处理不等式问题的好处,与诸位读者共勉.     

构造图形证明不等式

1 构造平面几何图形 例1 a〉0,b〉0,c〉0．求证：√a^2＋b^2＋√b^2＋c^2＋√a^2＋c^2≥√2（a＋b＋c）.     

构造二次函数证明不等式

对于不等式的证明 ,课本着重介绍了比较法、综合法、分析法 .其实 ,构造二次函数f(x) =ax2 +bx +c(a>0 ) ,利用f(x) ≥ 0恒成立的充要条件Δ≤ 0和 f(x) >0恒成立的充要条件Δ<0来证明 ,也是一种行之有效的方法 .下面以新教材第二册 (上 )课本中的几个习题为例加以说明 .一、若 f(x) =ax2 +bx+c≥ 0 (a>0 ) ,则Δ =b2 -4ac≤ 0例 1　求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明　构造二次函数 f(x) =(a2 +b2 )x2 +2 (ac+bd)x +(c2 +d2 ) .当a ,b全为零时 ,不等式显然成立 .设a ,b不全为零 .∵a2 +b2 >0且 f(x) =(ax+c) 2 +(bx+d) 2 ≥ 0…     

构造长方体证明不等式

不等式的证明方法很多,究竟采用什么方法最简捷,因题而异.本文针对一类具有共同特点的代数、三角不等式,采用构造长方体的方法,巧妙地应用长方体对角线的基本性质,进行有机的数形结合,使证明过程简明而又新颖,且不落俗套.其方法有利于引导学生破除思维定势,锻炼思维的敏捷性.     

构造法证明不等式

近年来,有关不等式证明的题目愈来愈多地出现在各级数学竞赛中,是竞赛中的热门话题之一,不等式证明的方法很多,从化简特征上看可分为两大类:一是利用不等式的性质及重要不等式;二是辅助方法,通过变量代换,构造辅助元素(如图形,函数,方程,代数式,反例等)来达到证明的目的。 构造性解题方法(简称构造法)是一个古老而又崭新的科学方法,历史上许多著名的数学家,如欧几里得、高斯、欧拉、拉格朗日、康托等,都曾运用这一方法解决过数学难题。     

构造向量证明不等式

有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现,它的特点是不等式的一边各项形如 a2/(a±b)、a2/(b±c)、a/(a±b)或a/(b±c)的式子,通过构造向量并利用|a|·|b|≥|a·b|,可得到这类分式不等式的简捷证法,且构造向量的方法思路单一,操作简便,现举例说明．     

构造一元二次方程证明不等式

不等式的证明是中学数学中的一个比较重要问题,其证法灵活多变,本文通过数例介绍构造一元二次方程证明不等式。1.在已知条件中,若能求出某两个字母的和 a+b 与积 ab 的表达式,则由韦达定理的逆定     

构造恒等式 证明不等式

不等式证明的难度较大，方法灵活多变，本文想从构成恒等式的角度，给出一些常见不等式的基本证法，为数学课外活动提供一点有益的素材．     

构造法证明不等式

根据欲证不等式的某些特点 ,引入适当的函数、数列、方程、图形等 .并利用它们的性质证明不等式的方法 ,称为构造法 .以下分别说明几种常见的构造对象 .一、二次函数对二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(α≤ｘ≤ β) ,若ａ >0 ,则 ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ≤ 0 ;-ｂ2ａ∈(α ,β)时ｍａｘ{ ｆ(α) ,ｆ( β) }≥ ｆ(ｘ) ≥ｆ -ｂ2ａ ;-ｂ2ａ (α ,β)时 ,ｆ(ｘ)在 ｆ(α)与ｆ( β)之间 .利用ｆ(ｘ) ≥ 0 Δ ≤ 0证明不等式的方法也称为判别式法 .它的用法是 :当欲证之不等式呈现Ｂ2 ≤ ( ≥ )ＡＣ这样的与判别式类似的形式时 ,可考虑构造二次函数 ;…     

构造概率模型证明不等式

有关不等式的证明题在各类考试，特别是在各级数学竞赛中经常出现，也是很多数学杂志问题征解的一个热点．不等式的证明方法灵活多变，技巧性很强．学习不等式的证明，不仅对提高学生的解题能力有着重要作用，而且对培养学生思维的灵活性和创造性具有较高的价值，构造法在证明不等式中有着突出的作用．     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离、无从下手或证法太繁．而构造几何图形证明不等式,却是十分巧妙且有效的方法,也体现了数形结合的优越性．本文介绍用几何法证明不等式的几种途径,读者可以体会到用几何方法证明不等式,思路清新、直观明快．     

构造数列证明不等式

1．构造数列的和 （1）用a1＋a2＋…＋an=Sn     

构造几何图形证明不等式

高中数学教材(人教版2004年6月版)第二册,介绍了构造几何图形证明均值不等式,这是一种构思新颖,技巧性较强,能使问题直观、简捷地求解的方法,就证明不等式而言,最常选用的是特殊的、简单的几何图形.一、构造三角形证明不等式某些不等式通过对题设条件或结论进行分析,合理地构造出三角形,利用三角形的边长关系进行推理而获得证明.例1已知a,b,m均为正数,且aa/b.证明以a为直角边,b为斜边作Rt△ABC,延长AC至E,使CE=m,过E作DE⊥上AE交AB的延长线于点D,如图1.设BD=n,则n>m.过B作BF∥AE,交DE于F,因为△ABC∽△ADE,所以a/b=AC/AB=AE/AD=a+m/b+n因为n>m,所以a+m/b+m>a+m/b+n,所以a+m/b+m>a/b.YSW2006.12实战实例27     

构造法证明不等式

不等式问题经常出现在高考和各种数学考试试题中。如果从正面直接探求，常常既繁又难，甚至一筹莫展。这时不妨转换思维角度，从不等式的结构和特点入手，巧妙构造与之相关的数学模型，使问题转化。     

构造法证明不等式

不等式的证法很多,而构造法主要是从不等式的结构和特点出发,利用已学过的知识作为数学模型,实现问题的转化,从而使不等式得证,下面举例说明之．     

构造矩阵证明不等式

正不等式的证明方法是多种多样的,文[1]利用概率分布巧妙的证明了一些不等式,受其启发,本文利用构造矩阵的方法和行列式的有关性质来证明一些不等式,证法十分简洁,写下来与读者分享.我们首先来介绍一下文中要用到的矩阵性质(文[2]):     

构造向量证明不等式

现行高中新教材引入平面向量的有关知识,为我们研究不等式的证明提供了一条新思路,新方法,使用起来很简捷.本文举例说明,以飨读者.     

构造数列证明不等式

在数列与不等式的交汇处命题时,我们常见以下2种类型的命题方式：（Ⅰ）在一定条件下证明a1＋a2＋a3…＋an〈f（n）;（Ⅱ）在一定条件下证明a1＋a2＋a3＋…＋an〉f（n）。