不等式“H≤A”应用举例

n/(1/a_1 1/a_2 … 1/a_n),(a_1 a_2 … a_n)/n分别称为正数a_1,a_2,…a_n的调和平均和算术平均,依次记为H,A我们有不等式H≤A,仅当a_1=a-2=…=a_x时取等号。灵活运用这一不等式可证明一些较困难的不等式。     

等比数列的几个有趣的性质

大家知道,如果a_1,a_2,a_3三数成等比数列,则a_1a_3=a_2~2;反之,若a_1,a_2,a_3三数满足等式:a_1·a_3=a_2~2,则此三数成等比数列。将这个性质推广,可得等比数列的一系列有趣的性质。首先,我们有: 定理1 若数列a_1,a_2,…,a_n,… (1)是等比数列,则等式 (a_1 a_2 … a_n)(a_3 a_4 … a_(n 2))=(a_2 a_3 … a_(n 1))~2     

用同余法巧解一道竞赛题

<正>题目(2010年全国初中数学联赛试题)对于自然数n,将其各位数字之和记为a_n,如a_(2009)=2+0+0+9=11,a_(2010)=2+0+1+0=3,则a_1+a_2+a_3+…+a_(2009)+a_(2010)=().(A)28062(B)28065(C)28067(D)28068分析把1到2010之间的所有自然数均     

一个分式和不等式的巧用

我们知道,n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.根据这一性质可得: (a_1+a_1…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n))     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

剖析利用“均值定理”求极(最)值的几类错误

我们知道:如果a_i∈R~+ i=1,2,…,n,则((a_1+a_2+…a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)当且仅当a_1=a_2=a_3…=a_n时取“=”号),被称为“均值定理”。许多极(最)值问题,利用这个平均值不等式常常很简洁地得到解决,本文通过数例。对利用其求极(最)值时常见错误进行剖析。     

谈数列的递推关系与线性数列

现行高中数学课本的等差数列、等比数列的通项公式 a_n=a_1+(n-1)d ① a_n=a_1q~(n-1) ②如果把①改写成 a_n=a_(n-1)+d(首项a_1=a)③把②改写成 a_n=a_(n-1)q(首项a_1=a) ④则③和④就是递推数列。一个数列{a_n},如果对于每一个自然数n,有一种规则将a_(n+1)同a_n联系起来,就     

双色完全平方数的构造

定义 若自然数a_1a_2…a_(2n)(n∈N)是一个完全平方数,且 a_1a_2…a_n (a_(n 1))(a_(n 2))…(a_(2n))也是一个完全平方数,则称a_1a_2…a_(2n)为双     

试谈求自然数a的正整数幂a~n的末k位数的规律

诸暨县教研室在绍兴日报上刊登了一个数学题征解,题目如下: 设a_1=3~3,a_2=3~(a_1),…,a_n=3~(a_(n-1)…,试求: ⅰ)集合{a_1,a_2,a_3,…,a_n,…}中各个数字的末二位数字所组成的集合; ⅱ)集合{a_2,a_3,…,a_n,…}中各个数字的末三位数字所组成的集合。为了说明我们的问题,我们先介绍一种解法如下：     

从2008年广东文科数学试题中数列压轴题的解法看递推关系求通项的常见类型

今年广东文科数学的最后一题是设数列{a_n}满足a_1=1,a_2=2,a_n=1/3·(a_(n-1) 2a_(n-2))(n=3,4,…).数列{b_n}满足b_1=1,b_n(n=2,3,…)是非零整数,且对任意的正整数m和自然数k,都有-1≤b_m b_(m 1) … b_(m k)≤1.     

求函数值域应注意的一个问题

在应用初等方法,求如下类型的函数y(x)=sum from i=1 to ∞(1/n)a_ix~k_i……(1)(n为不小于2的自然数,a_i>O,x>0,K_i为非零整数且sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的值域时,因sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的诱发,极易上基本不等式a_1+a_2+…+a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n)……(2)(n为不小于2的自然数,a_i均为正数;当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,等式成立)的当！请看下面的例1:     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

一道全国赛题的推广及别解

94年全国高中数学联赛第一试填空题的第6题可推广为: 已知n个数a_1,a_2,…,a_n(n≥4),每个都只能取 1或-1两个值之一,那么它们的两两之积的和f=a_1a_2 a_1a_3 … a_(n-1)a_n的最小正值是____。     

用几何方法求等差数列的通项

我们熟知这样一个显然的事实:把等差数列的通项公式变形为a_n=dn (a_1-d)所得到的是a_n关于n的一次式,这就表明,若从几何上考察等差数列,易知{a_n}乃是线性函数y=dx (a_1-d)的图象上当x依次取自然数时的一列有序点列.另外,因为一次函数y=dx (a_1-d)又可看作表示一条直线的方程,它仅由平面上的两定点来确定,因而问题便给我们提     

美国的一组数学竞赛题

1.找出正整数n和a_1,a_2,…a_n.使得a_1 a_2 … a_n=1979 而且使它们的乘积a_1a_2…a_n尽可能大。解:这最大的乘数不超过4。因为我们能够用增加积2 3取代5,3 3取代6,4 3取代7等等。因此我们也能用增加积3·3取代2·4,和以3·3取代2·2·2等等。综合这些观察得到这样的事实:1979=3·659 2,因而n=660,a_i中除了一个等于2外,其余的都等于3。 2.存在一个连续的实函数f(x),要对所有实数满足f(f(x))=kx~9,那么对于k要建立怎样的必要和充分的条件。     

裂项相消法

一般地,若数列a_1,a_2,a_3,…,a_n,存在a_n=b_n-b_(n 1),则有a_1 a_2 a_3 … a_n=b_1-b_2 b_2-b_3 … b_n-b_(n 1)=b_1-b_(n 1).这就是裂项相消法。这个方法在化简、求值、证明诸方面有着广泛的应用。但关系式a_n=b_n-b_(n 1)涉及许多数学知识,推出时亦存在一定难度与技巧。本文特将常见者分类辑之如下。     

均值不等式的一个推论及应用

本文介绍均值不等式的一个简单的推论及有趣的应用。推论设a_i∈R~ ,i=1,2,…,n,则a_1 a_2 … a_n/n≥n/1/a_1 1/a_2 … 1/a_n等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立.     

求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

等比恒等式与等差恒等式

两恒等式a_n=a_1·(a_2/a_1)……(a_n/a_(n-1))及a_n=a_1+(a_2-a_1)+…+(a_n-a_(n-1))分别被称之为等比恒等式与等差恒等式。在处理很多数列问题时,若能恰到好处地利用这两个恒等式,则会给求解带来很多方便,下面略举几例。 例1 (2002年浙江等21省市高考题)设数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n~2-na_n+1,n∈N~+。 (1)当a_1=2时,求a_2、a_3、a_4,并由此猜想出a_n的一个通项公式。 (2)当a_1≥3时,证明对所有的n≥1有: (i)a_n≥n+2; (ii)1/(1+a_1)+1/(1+a_2)+…+1/(1+a_n)≥1/2。 简解:(1)略。 (2)(i)用数学归纳法:①当n=1,a_1≥3=1+2结论成立。     

不等式的证明（二）

设 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 是两组不成比例的实数,实数 x_1,x_2,…,x_n 满足sum from i=1 to n a_ix_i=0, (1)sum from i=1 to n b_ix_i=1, (2)证明 (3)题中的条件"a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 不成比例"可以省去,因为若 a_1,a_2,…,a_n 与 b_1,b_2,…,b_n 成比例,则由式(1)可得 sum from i=1 to n b_ix_i=0,与式(2)矛盾,所以条件(1)和条件(2)已隐含此意.熟悉 Lagmnge 恒等式的人立即可以看出式(3)的分母