归纳、类比与猜想

在小学数学教材中有许多法则、公式等,是按照从特殊到一般的认识规律,通过对特例的观察、分析、实验,从而归纳出一般性结论,即归纳法.     

归纳猜想与类比猜想

数学的发展离不开猜想,本文主要介绍猜想的两种重要方法,归纳与类比。许多重要定理公式的发现,离不开归纳猜想与类比猜想。     

数学思维中的归纳和类比

归纳,是从大量个别的属性出发,寻找它们的共同特征,从而发现一般性规律的思维方法。归纳通常从操作活动或实验开始,围绕着一定的问题,通过观察、思考活动,从而产生新的领悟,作出相应的结论。例如,学习圆面积公式,课前教师要求每人准备16等分的圆一个,并分别间隔涂上两种不同的颜色。上课时,学生4人一组,把圆按16等份剪开,用剪成的16小块分别拼成近似的平行四边形、长方形、三角形和梯形。     

数学中的类比与猜想

"类比是一个伟大的引路人".每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这方法往往能指引我们前进.那什么是类比呢?类比是根据两个不同的对象,在某些方面的类同之处,猜测它们在其他方面也可能有类同之处,并作出某种判断的推理方法.在数学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.     

数学猜想与类比

不完全归纳法,是获得数学猜想的一种基本方法,已在“数学猜想与归纳”一文中阐述。本文将说明数学猜想的另一种基本方法——类比。并在此基础上探讨一下数学猜想在改进数学教学中的重要作用。两个系统,如果在它们各部分之间,在可以清楚定义的一些关系上是一致的,这两个系统就可作类比。例如,平面上的一个三角形与空间的一个四面体,就两者都由数目最少的简单分界元素所围成这一点来说,三角形与平面的关系同四面体与空间的关系是一样的。故三角形与四面体可作类比,又如三角形和棱锥可作类比。因为取一条线段和一个多边形,将线     

数学猜想与归纳

猜想是人类思维的一种重要形式。可以说,几乎所是的知识(虽然不是全部知识,但至少是重要的知识)都是由猜想开始然后经过证明或反驳而构成的。数学的历史也可以说是证明或反驳猜想的历史。猜想有时由反例否定,有时由新理论给以肯定的证明。因此,学习与掌握有关猜想的规律,即如何正确地进行猜想的基本方法以及如何正确地进行证明的基本方法,对于一个数学教师说来是至关重要的。一个数学教师如果这方面的知识掌握得愈多,理解得愈深,那么,他的教学效果就愈可能好。有志于为祖国培育英才的同志不可不多关心与研习这方面的知识。     

类比、联想、猜想及其数学创造

“类比就是一种相似”，［１］联想是一种既有目的又有方向的想象，它是由当前感知或思考的问题想起其它事物的一种心理活动，而“合情推理就是猜想”［１］ 为了给下面的数学创造提供强有力的工具，我们先证明朱世杰恒等式： 证明 由组合性质２，有 推出 用裂项相消法来证明时，可以令则有 以上ｒ个等式两边分别相加，得 注意到，得 当然朱世杰恒等式还可以用别的方法证明．１ 从一边高考回谈类比与创造 例互（１９８９年全国高考数学试题）是否存在常数ａ、ｂ、ｃ，使得等式ｌｘＺ’＋２ｘ３‘＋…＋ｎ（ｎ＋Ｉ）’二上上三二上（ａｎ’＋…     

类比和猜想

从前，奥地利有位医生叫奥恩布鲁格。他的父亲是个酒商。奥恩布鲁格小时候，常看见父亲用手指敲击酒桶，从木桶发出的声音了解桶里有没有酒，有多少酒。有一次，奥恩布鲁格给一个病人看病，怎么也没诊断出是什么病，后来经过尸体解剖，发现病人胸腔积满脓水。奥恩布鲁格面对脓水满胸的尸体，突然联想到他父亲用手指敲击木桶的情景，心里闪出—个念头：能不能像用手指叩击木桶听声音判断桶内的酒量那样，     

归纳猜想在数学解题中的运用

近年来中考数学试题中有一类探索性试题,其特征为:提供一个素材,要求探索规律,归纳结论。这类试题往往不拘泥于教材,有一定的创新性与陌生度,令不少同学不适应。解这类题常用的方法是归纳·猜想法。归纳是由个别的、特殊的、具体的事例出发推出整体的、一般的、抽象的一类事物的共同性结论的思想方法,它是人们认识自然、总结经验、处理信息时常用的一种重要手段。用归纳法解题的步骤为:观察——归纳——猜想——证明(或验证)。为了帮助同学们提高运用归纳·猜想法解题的能力,以下结合实例评说。【例1】观察下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1…     

数学家的思维方式与小学数学教学之六 归纳、类比、猜想与发现

了解和学习做学思想方法的途径之一是担急和作会教学家的思维方式。对于小学教学起师来说．这不仅是最容易入门的捷径，而且还可以十分自保地消除数学家的思维高不可攀的神秘感．有助于提高小学部学教师的思维素质和业务水平。请看：数学教育界一直流传这样一句名言：“数学是锻炼思维的体操。”不言而喻，这里的“思维”主要指的是逻辑思维。在大多数人眼里，训练逻辑思维的最好途径莫过于学习数学。数学与逻辑结合得如此紧密，以致我们常常忘记它的另一面，忘记了归纳、类比、猜想等合情推理也在数学中占有极其重要的地位工事实上，虽然数…     

“观察、归纳、猜想”问题

2000年的中考数学命题更加注重了对学生综合素质的考查,许多别具一格的试题有利于考查学生的创新意识和探索能力.“观察、归纳、猜想”的试题就是其中的一种新题型.现采集各地中考试卷中这类试题供广大读者复习时参考.     

归纳、猜想、证明

1　通过枚举归纳、猜想问题的结论并证明枚举归纳是对某些对象的重复验证作为归纳根据的 ,由于枚举归纳主要以重复出现的事实为猜想的前提 ,而未能更深一步探究事实背后的道理 ,所以这种归纳虽然可以帮助人们发现规律 ,但其可靠性有一定的问题 ,所以对猜想的结论要严格证明。例 1　求最大的自然数ｍ ,使得ｆ(ｎ) =( 2ｎ + 7) 3ｎ+ 9对任意的自然数ｎ都能被ｍ整除。分析 :先分析当ｎ =1,2 ,3时 ,ｆ( 1) ,ｆ( 2 ) ,ｆ( 3)的最大公约数。因为ｆ( 1) =36 ,ｆ( 2 ) =10 8,ｆ( 3) =36 0 ,所以 36是这些数的最大公约数。由此我们猜想到 36是所求的…     

浅谈归纳和类比在数学教学实践中的组织实施

归纳和类比的合情推理在新数学课程标准中被提到了一个对学生创造性培养有着举足轻重作用的地位,但如何能更好的利用其来培养学生的数学创造力一直困扰着一线教师。本文试从在实践数学教学中要回归数学发展情景,培养学生观察兴趣及给予学生足够学习时间等方面提供一些在数学教学改革中如何培养学生创造力的一些新思路。     

类比和归纳:数学发现的重要方法

数学教师总希望自己在数学的某个分支中有所发现，有所创造；也希望培养出有创新能力的学生来。这就要认真研究教学发现中的规律，研究数学的思想方法。只有掌握了正确的教学思想方法，才能学的深刻，理解的透彻，才能用学到的知识解决实际问题。教学发现中最重要的方法是类比和归纳的方法。所谓类比，就是已知两类事物之间具有某些共性，从而推测它们在其他性质上也有可能相同的一种推理形式。利用类比的方法，可以得到一些有意义的结果，也可以通过类比得到解题思路。在教学研究中，常用的类比有数与形的类比，平面与空间的类比，有限与无…     

一个猜想的类比问题

笔者在文[1]中解决了文[2]所述猜想:1a 1b 1c=a 1b c a21n 1 b21n 1 c21n 1=1a 1b 1c2n 1(n∈N ).并指出,其等价于下述命题.命题1若n∈N ,x、y、z均不为零,则x2n 1 y2n 1 z2n 1=(x y z)2n 1的充要条件是x、y、z中至少有两个互为相反数.最近发现,命题1的一个类比问题也成立.命题     

例谈类比引申、类比推理、类比猜想

陈省身先生曾经说过：“数学是什么？数学是根据某些假设用逻辑的推理得到结论”。而类比思想方法是其中一类非常典型和有用的数学推理．类比引申、类比推理、类比猜想是人的抽象逻辑思维的一种主要形式。从形式逻辑的角度来看,类比法就是根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似,而且已知其中的一个或一类对象还具有其他特定属性,从而推出另一个或另一类对象也具有该特定属性为结论的推理。     

中考“观察、归纳、猜想”问题

纵观近两年中考数学试卷,试题更加注重了综合素质能力的检测,特别“观察、归纳、猜想”类型题更有利于创新意识和探索能力的培养.这也是中考的新热点之一,值得我们关注.现将中考出现这类问题加以归纳分析:1 寻规律、写结果 例 1 (2002 年济南市中考题)你喜欢吃拉面吗?拉面饭馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸、再捏合、再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成许多细的面条,如下面草图所示: … 第一次捏合后 第二次捏合后 第三次捏合后 这样捏合到第________次后可拉出 128根细面条. …     

归纳猜想类问题探析

归纳猜想类问题有利于提高想象力和创造力,启迪思维.解这类问题的基本思路是:通过观察、分析若干个特殊情形,探索规律,进而归纳猜想出一般性结论(今后还应证明结论的正确性).