分式求值的几种方法

对于某些分式求值的题目，若能根据其结构特点，选择适当的方法进行运算，常可使运算简便．举例如下：一、整体代入法例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝３，ａｂ＋ｂｅ＋ｃａ＝２，求　　的值．解原式＝例２若　　　　　　则　　（１９９４年天津市中考试题）解　设　　　　则ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝４ｋ．于是三、裂项相消法即把代数式的各项拆成符号相反的两项，利用正、负项相消消去一部分项，使剩下的项便于计算求值．例３　若　则解由已知条件可得ａ－１＝０且ａｂ－２＝０，于是ａ＝１，ｂ＝２．原式＝四、因式分解法例４已知（１９９０年四川省…     

例析解题的转化策略

转化是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要思想方法，比如数形转化、特殊与一般转化、等与不等转化等，其内容丰富多彩，应用灵活，现举例说明。 一、转化已知 例１设实数ｓ，ｔ满足１９ｓ２＋９９ｓ＋１＝０和 ｔ２＋９９ｔ＋１９＝ ０，并且ｓｔ≠１，求的值。 分析：将已知方程 ｔ２＋９９ｔ＋１９＝ ０变形为 １９＋ ９９＋ １＝０后，易知ｓ，是方程１９ｘ２＋９９ｘ＋１＝０的两个根。所以，从而可得 二、转化未知 例２已知ａ＋ｂ＝４，ａｂ＝２，求ａ３＋ｂ３的值。 分析：将未知式ａ３＋ｂ３变形成用ａ＋ｂ， …     

浅析“共轭”思想在解题中的应用

我们知道 ａ＋ ｂｉ与 ａ－ｂｉ互称共轭复数,应用它在复数范围内解题常会给我们带来方便。这里我们借用“共轭”这一思想,把它引入到实数范围内来解决一些问题,即在实数范围内称ａ＋ｂ与ａ－ｂ互为“共轭”因式,也会给我们带来事半功倍的效果。 下面我们先看几道实例。 １、解方程（１） 分析：按常规,只须将原方程移项、平方、再平方,求解也并不困难,但如果把方程视作ａ＋ｂ＝ｋ（常数）,联想到“共轭”因式ａ－ｂ,解题便省去了两次去根号的繁杂。 解：令……（２） 则（１）Ｘ（２）得ｋ＝３ 再由（１）－（２）得２ 解之得ｘ１…     

二项式定理的一个应用

在中学数学中,二项式定理（ａ＋ｂ）是一个非常重要的恒等变换,在多项式乘方的展开,数的整除性及近似计算等方面都有广泛的应用。本文谈谈它在证明组合恒等式中的应用。例！证明（１）证（１）在（＊）式中令ａ＝ｂ＝１即得。（２）在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝－１,移项即得。（３）在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝２即得。（４）在（＊）式中令ａ＝２,ｂ＝－１即得。一般地在（＊）式中令ａ＝１,ｂ＝ｋ或ａ＝ｋ,ｂ＝－１可得如下两式：（５）（６）,例２证明（１）（２）（３）证在（＊）式中令ａ＝１,．ｂ＝ｉ．得：（１＋ｉ）”＝而…     

一道初中代数竞赛题的几何解法

题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ…     

一个定理的推广及其应用

贵刊１９９９年第４期罗老师的一篇文章谈到了一个定理．定理：设ａ１ｂ１、ａ２ｂ２是最简分数（ａ１,ｂ１,ａ２,ｂ２为正整数）,且ａ２ｂ１－ａ１ｂ２＝１,则满足ａ１ｂ１＜ｋｎ＜ａ２ｂ２的最小正整数为ｎ＝ｂ１＋ｂ２,最小正整数为ｋ＝ａ１＋ａ２．这一定理为解决这类问题提供了一个一般而又简捷的办法．然而这个定理必须满足条件ａ２ｂ１－ａ１ｂ２＝１,若不满足这个条件,那么这类问题如何解决呢？事实上这个定理可以推广为：定理：设ａ１ｂ１、ａ２ｂ２是最简分数（ａ１,ｂ１,ａ２,ｂ２为正整数）,且ａ２ｂ１－ａ１ｂ２＝…     

双曲线两条垂直弦的有趣性质

本文介绍双曲线的两条垂直弦的一个有趣性质．运用该性质解决双曲线的焦点弦问题,不但思路直捷,解法明快,而且大大减少运算量,能明显提高解题速度．定理　设ＡＢ是经过双曲线ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞０,ｂ＞０）焦点的任一弦,若过双曲线中心Ｏ的半弦ＯＰ⊥ＡＢ（｜ｋＡＢ｜＞ｍａｘｂａ,ａｂ）,则有２ａ｜ＡＢ｜－１｜ＯＰ｜２＝１ｂ２－１ａ２（＊）　　证明　（如图）以双曲线右焦点Ｆ２为极点,Ｆ２ｘ为极轴建立极坐标系,则双曲线的方程为ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ．设过焦点Ｆ２的弦ＡＢ的倾斜角为α,于是有｜ＡＢ｜…     

初三数学期末试题

一、填空题（每小题３分，共４２分）： １．方程（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０的根是＿。 ２．点Ｐ（３，－２）关于ｙ轴对称的点的坐标是。 ３．若一元二次方程 ｘ２－（ｍ－１）ｘ＋ｍ－５＝０的两个根互为相反数，那么 ｍ＝＿。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ４．在函数ｙ＝中，自变量ｘ的取值范围是。 ５．关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有实数根，那么实数ｋ的取值范围是。 ６．一次函数的图像过（－１，３）和（０，２）两点，则此函数的解析式为＿。 ７．在函数ｙ＝中，当ｘ－时，函数值ｙ＝。 ８．实数ａ，ｂ满足ａ＋ｂ…     

两道课本习题的推广和应用

高中《代数》（必修）下册１６页第１１题和１２题：求证：ａ＋ｂ２２≤ａ２＋ｂ２２．（１）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,且ａ≠ｂ,求证：２ａｂａ＋ｂ＜ａｂ．（２）若（２）式允许ａ＝ｂ,那么两式均为当且仅当ａ＝ｂ时取等号．两题的证明虽然简单,但却有着重要的潜在功能．我...     

平方差公式活用举例

平方差公式是初中代数中的一个重要公式，其应用极为广泛，下面举例说明它在解题中的妙用。 一、解无理方程 经检验：它们都是原方程的根。 评注：把无理方程化为有理方程，一般要经过两次平方，而平方时就有可能扩大未知数的定义域，这样就很有可能产生增根。如果能恰当地用ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）解此类无理方程，既可避免两边平方时较复杂的无理式运算，又可大大减少产生增粮的可能性。 评注：像此类议程，如果两边同时开方就有可能破坏方程的同解性（即有可能产生失根），就例２而言，如果两边同二、简便计算三、化简代数式 …     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

捕捉隐含信息 优化解题过程

本文通过具体的例子说明如何捕捉题中隐含的信息，优化解题过程。 一、捕捉隐含的定义、定理、公式信息使解题变得简洁 例题１设数列ａｎ的前ｎ项的和为Ｓｎ，该数列从第二项开始，后项减去前项的差为常数，且Ｓｎ＝（ｎＮ），若ｂｎ＝（－１）ｎＳｎ，求数列ｂｎ的前ｎ项和Ｔｎ· 分析 １：如果仅仅发现题中 Ｓｎ、ａｎ（或ｎ）的关系，直接运用公式ａｎ＝则解题较复杂．如果同时发现该数列是等差数列，则可利用题中公式和等差数列的知识来解，解题过程就变得简洁． 解法１：在Ｓｎ＝中令ｎ＝１可得： ａ１＝１，令ｎ＝２，得１＋ａ２＝ａ…     

一组不等式的推广

文［１］给出了下一结论 引理　设ａｉ＞０,ｐｉ＞０,ｉ＝１,２,…,ｎ,ａ∈Ｒ, 杭州大学数学系所编《中学数学习题》上有这样两题： 第二届“友谊杯”数学邀请赛有这样一道试题; （３）设 ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证： 即若 ａ、ｂ、ｃ∈ＲＡ＋,且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 对此我们容易产生联想,本文将对此作出下面的系列推广。 命题１ 若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则 证明（１）当ｎ＝０,１时．由上述不等式知本命题真。 （２）当ｎ≥２时,由柯西不等式知：（Ⅰ）若ｎ＝２,则 本命题为真。 （Ⅱ）若ｎ＞３,由前面引理知…     

用诡辩辨明数学道理

数学里有一些学生容易出差错的地方需要特别注意,尽管老师反复强调,学生还是印象不深。对此,设计一些诡辩题,将错误隐含其中,让学生自己去讨论,找出原因,纠正错误,有利于学生明白道理,加深记忆。下面是两道题可用做初一、初二的诡辩题。１如果ａ＝ｂ,那么２＝１。证明:因为ａ＝ｂ,两边都乘以ａ得ａ２＝ａｂ,两边同时减去ｂ２得ａ２-ｂ２＝ａｂ-ｂ２,两边分解因式得（ａ ｂ）·（ａ-ｂ）＝ｂ（ａ-ｂ）,两边同时除以ａ-ｂ得ａ ｂ＝ｂ,又ａ＝ｂ,所以２ｂ＝ｂ,两边同除以ｂ得２＝１。２如果ａ≠ｂ,那么ａ＝ｂ。证明:因为ａ≠ｂ,又ａ２-２ａ…     

关于同轴相似椭圆的一些性质

关于同轴相似椭圆的一些性质崔健（兰州二十中７３００７０）所谓同轴相似椭圆是指两椭圆相似且具有相同的对称轴．设两同轴相似椭圆的方程为Ｌ１：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝λ２１，Ｌ２：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝λ２２不妨设λ１＜λ２．性质１若椭圆Ｌ１的面积为Ｓ１，椭圆Ｌ...     

构造一元二次方程解题

构造一元二次方程解题是一种重要的解题方法 .根据题设的特点 ,通过联想作出一个一元二次方程 ,使问题化难为易 ,顺利解决 .由于题设的不同 ,构造方程的方法也不同 .下面举例说明 .1　利用根的定义构造方程当已知两个等式 (或经变形后 )具有如下特点 :ｍ2 +ａｍ+ｂ=0 ,ｎ2 +ａｎ+ｂ=0且ｍ≠ｎ ,由根的定义 ,ｍ ,ｎ是方程ｘ2 +ａｘ+ｂ=0的两个根 .例 1　已知ａ ,ｂ是不相等的实数 ,且ａ2= 6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3 ,求ａ+ａｂ+ｂ的值 .解　由ａ2 =6ａ -3 ,ｂ2 =6ｂ -3得ａ2-6ａ + 3 =0 ,ｂ2 -6ｂ + 3 =0 .因为ａ ,ｂ是不相等的实数 ,所以ａ ,ｂ是…     

’99高考数学(理)题24别解

题如图（１）,给出定点Ａ（ａ,Ｏ）（ａ＞Ｏ）和直线Ｌ：ｘ＝－１,Ｂ是直线Ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于Ｃ．求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系．解法１设Ｂ（－１,ｙＢ）,则ＡＢ的方程为ｙｙＢ＝ｘ－ａ－１－ａ．又ｋＯＡ＝０,ｋＯＢ＝－ｙＢ,ｔｇ∠ＢＯＣ＝ｔｇ∠ＣＯＡ,∴－ｙＢ－ｋｏｃ１＋ｋＯＢｋｏｃ＝ｋｏｃ．（１）设Ｃ坐标为（ｘｃ,ｙｃ）,０＜ｘｃ＜ａ,则ｋｏｃ＝ｙｃｘｃ,代入（１）有ｙＢ＋ｙｃｘｃｙＢ·ｙｃｘｃ－１＝ｙｃｘｃ．消去ｙＢ化简得（１＋ａ）ｙ２ｃ＋（１－ａ）ｘ…     

第36届IMO第二题证法综述

第３６届ＩＭＯ第二题证法综述福建省永春县科学技术委员会孙建斌设ａ、ｂ、ｃ为正实数，且满足ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２．这是第３６届国际中学生数学奥林匹克竞赛试题中的第二题（由俄罗斯提供）．这道结构优美、...     

对偶数a＋b,a—b的构造与应用

数的性质是从运算中表现出来的．由于对立或者统一的缘故，使一些成对的数在某种运算中相遇后，表现出许多奇异的性质来，我们把具有这样性质的数对称为对偶数．比如：ａ＋ｂ与ａ－ｂ就是一对典型的对偶数．本文试图对构造对偶数（式）解题作肤浅的探讨．先看下面的例子：例１　求证（ａ＋ｂ）２≤２（ａ２＋ｂ２）．证明　（ａ＋ｂ）２≤（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）．这里构造了（ａ－ｂ）２，思路顺畅，方法简单．例２　求（ｘ＋２）２ｎ＋１展开式中ｘ的整数次幂项系数之和．解　构造对偶数（２－ｘ）２ｎ＋１，由二项…     

一道竞赛题的几种解法

题目分解因式：（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ－２ａｂ）＋（ａｂ－１）（ａｂ＋ｌ）．（１９９４年武汉市初二数学竞赛试题）解法１──整体法视ａ＋ｂ、ａｂ各为一个整体，将多项式进行整理，得原式＝（ａ＋ｂ）２－２ａｂ（ａ＋ｂ）＋（ａｂ）２－１＝［（ａ＋ｂ）－ａｂ］２－１＝（ａ＋ｂ－ａｂ＋１）（ａ＋ｂ－ａｂ－１）＝（ａｂ－ａ－ｂ－１）（ａｂ－ａ－ｂ＋１）．解法２──主元法视ａ为主元，将多项式进行整理，得原式＝（ｂ２－２ｂ＋１）ａ２－２ｂ（ｂ—１）ａ＋ｂ２－１＝［（ｂ—１）ａ］２－２ｂ（ｂ—１）ａ十ｂ２－１＝［（ｂ－１…