求sum from k=1 to n k~m的一种方法

应用 k~2=k(k+1)/2+(k-1)k/2=C_(k+1)~2c+C_k~2,那么sum ∑ from k=1 to n=(C_2~2+…C_(n+1)~2)+(C_2~2+…+C_n~2)=C_(n+2)~2+C_(n+1)~8=((n+1)n(2n+1))/6     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

简证一题

题目:设[x]为不超过x的最大整数,当n为自然数时,求证:[n~(1/2)+(n+1)~(1/2)]=[(4n+2)~(1/2)]. (美国普特南数学竞赛,1948年) 证明 1.构造不等式(4n+1)~(1/2)相似文献   

一赛题的多种解法

1985年上海市初中数学竞赛题: n为自然数,且9n~2 5n 26的值是两个相邻自然数之积,求n。一根据两相邻自然数相差1的特征构造等式及转化方程。解法一设这两个相邻自然数分别为x(x 1)则(x 1)-x=1,两边平方并整理,得 x(x 1)=1/2[(x~2 1)~2 x~2-1)] =9n~2 5n 26 =1/2[(3n 1)~2 (3n)~2 4n 51] =1/2[(3n 2)~2 (3n 1)~2-8n 47] =1/2[(3n 1)~2 (3n 2)~2-20n 39] 由此得关于n的一次方程:4n 51=-1;     

一个整除问题的再推广

命题一 (3 5~(1/2))~n (3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 这是中学数学中一道十份常见的题目,《数学教学通讯》1992年第4期吴跃生老师给出了命题一的推广,即命题二 [2((1 5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n [2((1-5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除(n∈N,k∈n) 而[2((1 5(1/2)/2))~(2k-1)]~n [2((1-5(1/2)/2))~(2k-1)]~n=2~n[((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) [2(((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n],于是命题二等价于命题三 ((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) ((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n)是整数(n∈N,k∈N),事实上,命题三可以进一步推广成     

用组合数公式、组合恒等式求某些数列前N项的和

平日同学常问:象1~2+2~2+…+n~2=(1/6)n(u+1)(2n+1)1~3+2~3+…+n~3=〔(1/2)n(n+1)〕~21·2+2·3+…+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)这样的等式它的最后结果是怎样求     

一个不等式的加强及其应用

高中《代数》第二册112页11题是:证明1+1/(2~(1/2))+1/(3~(1/2))+…+1/(n~(1/2))>n~(1/2),(n>1).文[1]给出了比上式更强的结论:2((n+1)~(1/2)-1)1)。(Ⅰ) 本文对(Ⅰ)式进行加强,从而把(Ⅰ)式的结论统一到本文结论之中。且给出估计和式sum from k=1 to n 1/(K~(1/2))值(绝对误差不超过0.16)的一种方法。由1°,2°知(Ⅱ)式成立。 (Ⅱ)式亦可用数学归纳法证明。容易证明 ((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)<2(n~(1/2))-1,((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)>2((n+1)~(1/2)-1).所以,(Ⅰ)式可看成是(Ⅱ)式的直接推论。因为 0<((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)) -(((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)) =((n+1)~(1/2)-(n+2)~(1/2)+(3~(1/2)-2~(1/2)) <3~(1/2)-2~(1/2)<0.32。所以用 [((n+1)~(1/2)+n~(1/2)-2~(1/2))+((n+2)~(1/2)+n~(1/2)     

用公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1)巧求sum from k=1 to n(k~2)和sum from k=1 to n(k~3)

由公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1),可得:C_2~2 C_3~2 … C_n~2=C_(n 1)~3,sum from k=2 to nC_k~2=C_(n 1)~3,     

自然数冪和的一个应用

下面三个公式,是大家所熟悉的: 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 (1) 1~2+2~2+3~2+……+n~2=(n(n+1)(2n+1))/6 (2) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=[(n(n+1))/2]~2 (3) 在未指出它们的应用之前,先介绍(2)(3)两公式一种在图形上的意义。为此,我们考虑下面一个问题: 在一平面上有m+1条间隔相等,且相互平行的直线,与另一组n+1条同样的平行线相直交。     

利用函数的单调性巧解方程

有些方程用常规方法解答很困难,若将方程问题转化成函数问题,利用函数的单调性来解决,会使方程巧妙获解。 例1 已知n∈N,求方程(1 x)~(2n) (1-x)~(2n)=4~n的解. 解 将原方程化为 (1 x)/2))~(2n) (1-x)/2))~(2n)=1 (1)当-1相似文献   

求自然数方幂和的递推式的一种方法

现行高中代数(下册)封面上醒目地给出等式1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)。又在第47页练习和第124页习题上相继出现1+2+3+…+n=1/2n(n+1)与1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2的求证式。这些结论之间是否存在相关性?下面作出了肯定的回答。     

2001年TI杯全国初中数学竞赛

一、选择题(每小题5分,共30分) 1.化简(2~(n 4)-2(2~n))/(2(2~(n 3))),得( )。 (A)(2~(n 1))-(1/8) (B)-2~(n 1) (C)7/8 (D)7/4 2.如果a、b、c是三个任意整数,那么,(a b)/2、     

Stirling公式的一种证明

Stirling公式(?)=2~(1/2π)或n!～n~ne~(-n)(2nπ)~(1/2)事实上n!=(?)(n+1)=integnal from　n=0 to +∞(e~(-x)x~ndx)     

初二代数1989/1988第二学期期终试题

一、填空题:(每小题3分,共30分) 1.在实数范围内分解因式a~2-4__, 2.m为实数(m~2 4m—5)~0=1成立的条件是____。 3.用科学记数法表示0.0000000185是___,数12570000的近似数为____(保留二个有效数字)。 4.如果1/2(x 1)~(20) 3(y-2)~(1/2)=0,那么(x—1)~2 (y 2)~2=_____. 5.解方程(x-1)~(1/2) (1-x)~(1/2)=0得x=___。 6.若4~x=1/8,则x~2=____。 7.已知a、b是实数且在数轴上的对应点如图,则((a b)~(2n))~(1/2n) ((ab)~(2n))~(1/2n)=_____。 (n为自然数)     

n阶排列的一个性质及其应用

证明了n阶排列的一个性质:(-1)~(r(~i1~i2~(…i)l-l~i~il 1~(…i)n)=(-1)~(l i)l(-1)~(r(~il~i2~(…i)l~il 1~(…i)n)并举例阐述了其在高等代数中的应用。     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

从一道竞赛题得到的三角恒等式

武汉市1957年中学生数学竞赛第二试中,有这样一道题:设方程x~n-1=0的n个根是1,a_1,……,a_(n-1),求证: (1-a_1~2)(1-a_2~2)…(1-a_(n-1)~2)=(0,当n为偶数时当n为奇数时)其中n≥2,(试题见福建人民出版社《历届中学生数学竞赛题解》)。这题的证明并不很困难,现证明如下: 证明:当n是偶数时,方程x~n-1=0的实根有两个:1和-1。因此在a_1,a_2,……,a_(n-1)中有一个为-1;这样在1-a_1~2,1-a_2~2,……1-a_(n-1)~2中,必有一个为零。因此,当n为偶数时,(1-a_1~2)(1-a_2~2)……(1-a_(n-1)~2)=0;     

一类不等式的妙证

本文介绍一类不等式的证明方法。这种证法简洁,有章可循。下面举例说明: [例1] 证明不等式 1/2·3/4…(2n-1)/2n<1/((2n+1)~(1/2))。证明:令S_n=1/((2n+1)~(1/2))则 S_(n-1)=1/((2n+1)~(1/2)) ∵ S_n/S_(n-1)=((2n-1)~(1/2))/((2n+1)~(1/2))=(2n-1)/((4n~2-1)~(1/2))>(2n-1)/2n。(n≥2) 而S_1=1/(3~(1/2))>1/2。故:1/2·3/4…(2n-1)/(2n)相似文献   

算术根及其应用

根据算术根定义知,当a≥0时(a~n)~(1/n)=a(n∈N)而当a<0时(a~(2n))~(1/(2n))=-a(n∈N),在这个问题上,一定防止((-2)~2)~(1/2)=-2,4~(1/2)=±2等错误发生。根据多年教学实践可知,算术根概念是较难掌握而又有广泛应用的重点内容之一。为了较好地理解这个概念,现介绍它在许多方面的应用。 1.算术根与方根 从根式基本性质到根式运算都与算术很有密切关系,在应用算术根定义时,必需细心以防出现差错。 例1 把(a~2 b~2)~(1/2),(b-a)~(1/3)化为同次根式。 解(a~2 b~2)~(1/2)=((a~2 b~2)~3)~(1/6), 例2 约简((a-b)~4)~(1/(12))中被开方数的指数和根指数。     

从一道易错的习题看双基的重要性

熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且