用函数对称性解2012年全国高考四川卷(文、理)12

y=f(x)的抽象函数方程中,有些方程有特定的几何意义,如f(x)=f(2a -x),f(x)+f(2a-x)=2b分别是轴对称(对称轴x=a)中心对称(对称中心(a,b))函数,特别地,a=b=0时,分别是偶函数和奇函数,f(x+T)=f(x)是周期函数,记住它们对解决问题很有意义.本文用这几个抽象函数方程给出2012全国高考四川卷(文、理)数学12题的快捷解法.     

偶函数的周期性和对称性

引理如果函数y=f(x)的图象关于直线x=a与直线x=b(a≠b)都对称,那么函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(a-b)     

抽象函数的周期性研究

关于抽象函数的周期性研究,多见于报刊,但都不够全面,现将常见的类型归结于下,供参考．1．若函数f（x）（x∈R）满足f（x＋a）=f（x＋b）,则以f（x）（x∈R）是周期为a-b的函数．证明 令x’=x＋b,贝x＋a=x＋b＋（a-b）=x′＋（a-b）,由已知条件f（x＋a）=f（x＋b）得f（x′）=f（x′＋（a-b））,即a-b为函数f（x）的一个周期．     

利用函数对称性与周期性的关系解题

<正>函数图象的对称性和周期性是函数的两个重要性质,许多函数问题常常需要利用两个性质的关系来求解．本文先归纳、证明这两个性质关系的几个基本结论,再举例说明这些结论在求解相关问题中的应用．一、基本结论结论 1若函数y=f(x)的图象分别关于两条直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b|为y=f(x)的一个周期．     

抽象函数周期性的确定

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(…     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是:f(x) f(2a-x)=2b推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是:f(x) f(-x)=0定理2.函数f=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是:f(x)=f(-x)定理3①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4｜a-b｜是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b-f...     

巧用周期函数解“2005”趣题

先简介周期函数的一个重要结论如下：设定义在实数R上的函数f(x)，对任意x∈R，恒有f(x+a)=-f(x+b)(a≠b)成立，则函数f(x)是以2|a-b|为周期的周期函数．     

函数的周期性与其它性质之关系初探

近年来,经常出现函数的周期性与函数其它性质相关的题目。那么函数的周期性与函数的其它性质有无本质的内在的关系呢?现讨论如下: 一、几个定理 定理1:设函数y=f(x)定义在R上,其图象关于x=a,x=b(a≠b)对称,则f(x)是以2|b-a|为周期的周期函数。 证明:不妨设a相似文献   

抽象函数试题研究

<正>抽象函数,一般理解为没有给出解析式,间接给出函数的性质的一种函数的给出形式.下面以近年的高考试题为例,探讨抽象函数的一些学习的方法.1常见的抽象函数性质1.1对称形如f(x+a)=f(b-x),函数具有对称性,对称轴为x=a+b2.形如f(x+a)=-f(b-x),函数具有对称性,对称中心为a+b2,()0.例1(2012年辽宁省高考11题)设函数f(x)(x     

对一个有关函数"三性"的命题之论证

文[1]中定理5给出三个条件(a≠b)：(1)函数f(x)的图像关于点(a，0)对称；(2)函数f(x)的图像关于直线x=b对称；(3)函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)是它的一个周期．以其中任两个论断为条件，另一个论断为结论，得到的三个命题均为真命题．文[1]只证明了由(1)、(2)推出(3)，那么，另外两个命题是否正确呢?     

浅谈函数对称性、奇偶性、周期性之间的关系

研究函数 ,主要是研究函数的性质 .近年来 ,高考试题中抽象函数占有相当的比重 ,给出抽象函数的方法除结构关系式外 ,更重要的则是给出对称性、奇偶性、周期性这“三性”中的两个 .利用已知的两性能否推出第三性呢 ?我们有以下几个命题 .命题 1　偶函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f (x)满足 f (x) =f (- x) ,f (x) =f (2 a- x)(a≠ 0 ) ,则f (x) =f (2 a- x) =f [- (x- 2 a) ]=f (x- 2 a) .可见 ,周期 T=|2 a|.命题 2　奇函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f(x)满足 f(x) =- f(- x) ,f(x) =f(2 a…     

狄利克莱函数在分析中的应用

狄利克莱函数是著名数学家狄利克莱提出的一个函数 :D (x) =a,x为有理数 ;b,x为无理数 .其中 a,b为实数 ,a≠ b.在数学分析教学中 ,这个函数有着很独特的性质 ,在实际中有特殊的应用 .1　 D(x)是周期函数 ,任意有理数都是它的周期 .证 :设 T是任一有理数 ,则有x T=有理数 ,x为有理数 ;无理数 ,x为无理数 .从而 f (x T) =a,x为有理数 ;b,x为无理数 =f (x) .证毕 .此性质说明 ,周期函数中不存在有最小正周期的函数 .2　定义在全实轴 .在任意小的局部区间上都不具有单调性 .它在任意小的局部区间上总有无限多次 (在有理点处 )取值为 a,也有无…     

例析周期函数的定义及性质

函数是高中数学的主线,是每年高考必考查的重点内容之一。函数的周期性问题在历年高考中屡见不鲜,备受青睐,许多同学在解这一类问题时,难以找到适当的突破口,因而这一类问题得分率较低.对此笔者总结一些经验教训,从以下几个方面谈谈供广大师生参考.一、周期函数的定义及重要结论1.周期函数定义设函数y=f(x)的定义域为D,若存在常数T≠0,使得对一切x∈D,且x T∈D时都有f(x T)=f(x),则称y=f(x)在D上的周期函数,非零常数T叫这个函数的周期.2.两个重要结论(1)设定义在实数R上的函数f(x)对任意x∈R恒有f(x a)=f(x b)(a≠b)成立,则函数f(x)是以…     

利用导数探究抽象函数的单调性从何处入手构造函数

有一类导数条件下的抽象函数问题,需要构造抽象函数,方能获解.许多同学找不到突破口,构造不出合理的抽象函数.下面就此问题作一些探讨.一、从和差的求导法则入手例1设函数f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,在区间(a,b)内可导,且f′(x)     

由f(a+x)=±f(b±x)判定函数的对称性与周期性

对于函数y=f(X),本文证明了:①若满足f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x=(a+b)/2对称;②若满足f(a+x)=-f(b-x),则其图象关于点((a+b)/2,0)对称;③若满足f(a+x)=f(b+x),则其周期为a-b;④若满足 f(a+x)=-f(b+x),则其周期为 2(a-b)     

函数图象的对称问题综述

结论一：设a、b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a b/2对称．     

三角中的数学思想

三角函数是中学数学的重要分支,我们在学习这部分内容时,应注意运用数学思想和方法来解决相关的问题． 1．函数与方程的思想例1 设 f(x)=asinωx bcosωx(a,b,ω∈R ) 的周期T=π,最大值(?)=4,求ω,a,b的值．解 (?) 由T=π易求出ω=2,     

简解一类“恒成立”高考题

定理:(1)若函数f(x)在x=a处可导,且x∈[a,b)时f(x)≤(≥)f(a)恒成立,则f’(a)≤(≥)0;(2)若函数f(x)在x=b处可导,且x∈(a,b]时f(x)≤(≥)f(b)恒成立,则f’(b)≥(≤)0.初步感知若f(x)≤f(a)(a≤x相似文献   

广义奇(偶)函数的单调性及其应用

文 [1]介绍了广义奇 (偶 )函数的概念与性质 :定义　对于函数 f(x) ,若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =- f(b-x)成立 ,则称 f(x)为广义奇函数 ;若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =f(b -x)成立 ,则称 f(x)为广义偶函数 ,性质　对于函数 f(x)定义域的任意x ,f(a+x) =- f(b-x) f(x)的图像关于点 (a+b2 ,0 )对称 ;对于函数 f(x)定义域内的任意x ,f(a+x) =f(b-x) f(x)的图像关于直线x =a+b2 对称 .实际上 ,将上述广义奇 (偶 )函数 f(x)的图像平移 n=(- a +b2 ,0 ) ,即成为对应的奇 (偶 )函数的图…     

联想模型 探索思路(高一)

例1 函数f(x)定义域为R,对任意a、b∈R.有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b).且存在c>0,使f(c/2)=0,试问f(x)是不是周期函数?如果是,找出它的一个周期;如果不是,说明理由.