平面向量中的一个定理及其应用

高中数学新教材的向量内容中有一个很重要的定理 ,其应用面也比较大 ,对向量知识的进一步理解和掌握也具有积极的意义 .一、定理的叙述与证明定理 :如果不共线向量 a,b,c有公共起点 ,满足 c=λa +μb.那么三个向量的终点在同一直线上的充要条件是λ +μ =1(这里λ,μ∈ R) .证明 :如图 ,设向量 a =OA,b = OB,c =OC.必要性 :如果点 C在直线BC上 ,设 BC =λCA (λ∈ R) ,则BC = λ1+λBA所以 c=b+BC= b +λ1+λBA =b+λ1+λ( a- b) =11+λa +λ1+λb,因此 11+λ+λ1+λ=1.充分性 :如果λ+μ =1,则λ=1-μ,所以 c=( 1-μ) a +μb =a …     

平面向量共线定理及其应用

新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1　　 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA …     

用“代数法”编题初探

所谓代数法,就是用字母代替数的方法。怎样运用这一方法编制一些数学题目呢?例1请你编一个一元一次方程,使它的解是5.解:第一步,写出一个含有数字5的数字等式,比如:23×5-100=3×5;第二步:用字母x代替等式中的数字5,得:23·x-100=3·x;第三步:整理,得所编的一元一次方程为:23x-100=3x.例2请你编一个二元一次方程组,使它的解是:a=21b=32.解:第一步:写出二个不同的且都含有数字12和32的数字等式。比如:2×21 3×23=3①5×21-6×23=-23②第二步:用字母a代替①式和②式中的21,字母b代替①式和②式中的32,得:2·a 3·b=35·a-6·b=-23第三步:整理…     

构造法在解数学竞赛题中的运用(二)

文[1]已从5个方面介绍了构造法在解数学赛题中的运用,本文再介绍4个方面.1构造解析几何模型例1已知a、b、c>0,且a2 ab b32=25,b23 c2=9,a2 aba2 ac c2=16.试求ab 2bc 3ac的值.分析:此题直接求解不易.观察方程组右边的数是一组勾股数,故可表示成一个直角三角形的三边,有两边互相垂直,于是,可建立平面直角坐标系,由直线的垂直关系和点到直线的距离来求解.图1解:建立如图1所示的直角坐标系.则A-33b,c,B23a,a 22c.有OA=3,OB=34a2 a2 4a4c 4c2=a2 ac c2=4,AB=5,OA2 OB2=AB2.故△ABC是直角三角形.又直线OA的方程为33by cx=0,且OA⊥OB,所…     

数学奥林匹克高中训练题(143)

第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知正实数a、b、c满足(1+a)(1+b)(1+c)=8.则abc+9/abc的最小值是____.2.设O是锐角△ABC所在平面内一点(在△ABC外),CD⊥AB于点D.若→OA=a,→OB =b,→OC=c,则→OD＝____(用a、b、c表示).3.函数f(x)=│sinx+1/2sin 2x｜(x∈R)的值域是____.     

错例点拨平面向量

正学习平面向量,最为主要的数学思想是等价转化思想,但在解决实际问题中常易发生下列错误.1.混淆向量运算与实数运算例1已知a,b都是非零向量,a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,试求a与b的夹角.错解由题意得{(a+3b)(7a-5b)=0(a-4b)(7a-2b)=0整理得2a·b=(b)2,所以2a=b.     

例说平面向量与解析几何的结合

高考命题注重知识的整体性、综合性 ,常在知识的交汇处设计试题 .高中新教材增加了平面向量这一新内容 ,由于平面向量既具有几何形式 ,又具有代数形式 ,因而它成为中学数学知识的一个交汇点 ,备受命题者的青睐 .平面向量与解析几何的结合将是高考命题的趋势 .本文通过例题说明用平面向量解决解析几何问题 ,使二者达到完美结合 .一、基本知识( 1)向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 b =λa.推论 :OA ,OB是平面内两不共线向量 ,对于向量OP总存在 a,b满足 :OP =a OA + b OB( a,b∈ R) ,则A、P、B…     

2005年河南省数学竞赛(高二)

一、选择题(每小题5分,共30分)1.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中,与BM相等的向量是().(A)-12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)-12a-12b+c(D)12a-12b+c2.等差数列{an}中,Sn是前n项和,且S3=S8,S7=Sk.则k为().(A)2(B)11(C)4(D)123.已知点P在直线y=x+2上运动,点A(2,2)、B(6,6)满足∠APB取得最大值.则点P的坐标是().(A)(0,2)(B)(1,3)(C)(2,4)(D)(3,5)4.已知1+2×3+3×32+…+n×3n-1=3n(na-b)+c,对一切n∈N+都成立.那么,a、b、c的值为().(A)a=0,b=c=14(B)a=b=c=14(C)a=12,b=c=14(D)不…     

坎迪定理在圆锥曲线上的推广

将平面几何中著名的蝴蝶定理推广便有:坎迪定理如图1(甲),过圆的弦AB上任意一点M引任意两条弦CD和EF,连ED、CF交AB于P和Q．若AM=a,BM=b, PM=x,QM=y,则1/a-1/b=1/x-1/y (1)特别地,a=b时即得蝴蝶定理．     

一道题的发散思维训练

20 0 3年 1月下半期《数学教学通讯》P76 周周练中有这样一道题 :点 B、C在线段 AD上 ,M是 A B的中点 ,N是 CD的中点 ,若 MN =a,BC =b,则 AD的长是 .安徽教育出版社的初一《几何基础训练》P16也有类似的一题 ,但是它给出了图形 :和被选答案 :( A) a +b.　　　　 ( B) a +2 b.( C) 2 a - b. ( D) 2 a +b.AD =AM +MN +N D=BM +MN +CN=( BM +CN ) +MN=( a - b) +a =2 a - b显然答案选 ( C) .周周练中给出的参考答案也是 2 a- b.笔者认为这道题作为未给图形的填空题答案不唯一 .可作发散思维的训练 .点 B、C在线段 AD上 ,B…     

高一数学第二学期期末测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若角α和角β的终边关于x轴对称,则α和β的关系是()(A)α+β=2kπ(k∈Z)(B)α-β=2kπ(k∈Z)(C)α+β=kπ(k∈Z)(D)α-β=kπ(k∈Z)2.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=()(A)-12a+23b(B)12a-23b(C)32a-21b(D)-32a+21b3.在&ABC中,若∠A=60°,边AB的长为2,&ABC的面积为23,则BC边的长为()(A)7(B)7(C)3(D)34.已知边长为1的正三角形ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+c·a的值为()(A)-32(B)0(C)32(D)35.化简sin(s2inαα+β)-…     

平面向量常见错误例析

初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12…     

正确理解定义是区分正误的关键——《对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑》的质疑

正人教版A选修2-1P98有一道习题:已知空间向量→a,→b,→c是空间的一个单位正交基底,向量→a+→b,→a-→b,→c是另一个基底.若向量→p在基→a,→b,→c下的坐标为(1,2,3),求→p在基底→a→+b,→a-→b,→c下的坐标.《教师用书》给出的答案是:→p在基底→a+→b,→a-→b,→c下的坐标为(32,-12,3).《数学通讯》2012年第12期的《对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑》认     

高考平面向量试题考点解析

平面向量是解决代数、三角、几何等问题的现代化工具,因而倍受高考命题专家的青睐,已成为近四年高考新课程卷的重要考查内容.为帮助考生了解高考题型变化和发展趋势,下面介绍平面向量试题的考点及其求解思路与方法.考点1　向量概念和性质正误判断例1　(2000年新课程卷高考题)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则1(a.b)c-(c.a)b=0→;2|a|-|b|<|a-b|;3(b.c)a-(c.a)b不与c垂直;4(3a+2b).(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,其中真命题的有(　　)(A)12.　(B)23.　(C)34.　(D)24.解析:在实数与向量积和向量内积的两种运算中,满足乘法交换律和乘…     

一个典型题目的典型错解

题目:已知:1≤a-b≤2,且2≤a b≤4,求4a-2b的范围.对于上述题目,不少同学采用下面的方法求解:由于1≤a-b≤2,2≤a b≤4,两式相加得3≤2a≤6,即23≤a≤3,6≤4a≤12,两式相减得,0≤b≤32,得-3≤-2b≤0,故3≤4a-2b≤12上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的,那到底是为什么呢?我们先看不等式4a-2b≥3,什么时候取等号,由上述解题过程可知,当a=23且b=23时,才能取等号,而此时a-b=0,不满足1≤a-b≤2,因此4a-2b是不可能等于3的,同理可验证4a-2b也不能等于12,出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不…     

拨开“迷误”看“夹角”

平面向量的数量积是高中数学的重点内容,而2个向量的“夹角”又是数量积中的一个重要概念,因此充分理解“夹角”的含义是解决有关数量积问题的关键.两个向量的“夹角”定义如下:已知两个非零向量a与b,过O点作向量OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a,b的夹角.当且仅     

巧用平面向量解立体几何问题

平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1如图1,AB、CD为异面直线,CD平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN∥平面α.证明:因为CD平面α,AB∥平面α且所以在α内存在a、b使AB=a,CD=b,且a、b不共线,由M、N分别是AC、BD的中点,得MN=21(MB…     

向量夹角不可忽视的两个问题

两个向量夹角的定义：已知非零向量a与b,作^→OA=a,^→OB=b,则∠AOB=θ（0&#176;≤θ≤180&#176;）叫做向量a与b的夹角．两个向量的数量积定义：两个非零向量a与b的夹角为θ,我们把｜a｜b｜cosθ叫做a与b的数量积,记作a&#183;b=｜a｜b｜cosθ.     

对一道向量问题的探讨

题目已知不共线向量OA=a,OB=b,令OA1＝pa,OB1=qb;     

对几道习题解法的质疑

在实施 (1 998- 1 999学年度 )两省一市高一课改试验《数学》的教学过程中 ,发现有几道习题的表述不太严谨 ,或解法有漏洞 .现提出如下质疑 ,并与同行商榷 .一、已知 a b= c, a- b= d,求证 :| a|=| b| c⊥ d (《数学》第一册 (下 )第1 73页复习参考题 B组第 4题 ) :答案提示 : c⊥ d ( a b)· ( a- b) =0 a2 - b2 =0 a2 = b2 | a|=| b|(人教社版《教师教学用书》)质疑 :这道题的本意是考查向量的内积、垂直充要条件、向量相等等知识 .本是一道很有价值的习题 .然而 ,美中不足是题意中忽略了 a= b或 a=- b,两种特殊情况 .事…