巧用相似三角形证线段倍半关系

证明线段倍半关系是常见的几何证明．常用的方法是；作一线段等于短线段（或长线段）的2倍（或一半），然后证明这条线段等于长线段（或短线）．这样的一类问题如果利用相似三角形去解，可使证明方法更简便．例1在凸ABC中，AB—ZAL？，AD平分，————‘＿，＿＿。＿、＿＿＿l＿＿／BAC，P是AD的中点．求证：PC一青BD．———““—”“——““—”“’‘””””“”“”—－2——一分析若用全等三角形来证，可以将线段折半．取BD的中点E（见图1）证凸PEDgy凸ACP来完成．或过P作PE斤BD交AB于E（见图2），通过证凸APE公凸…     

证明线段比例式的思路分析

在《相似形》这一章中,证明线段比例式（或等积式）是必须掌握的基本技能之一．那么,证明线段比例式（或等积式）有哪些基本思路呢？一、利用相似三角形证明利用相似三角形的对应边成比例是证明线段比例式的基本思路之一．例且如图l,在凸Me中力是跟上一点,且AC’。＿。＿＿、＿ABBC。AB·AD．求证：s二失．－‘一‘——”－”’——”AC－CD“分析由相似三角形的定义可知,相似三角形的＿＿＿＿,。＿＿,,。。、＿用肥＿＿、＿＾．＿＿对应边成比例,因此,欲证兰一9．只须证凸ABC一’”————————”“’——一’—“一…     

怎样确定相似三角形

证明比例线段或等积式,都会遇到确定相似三角形的问题．一般地,确定相似三角形h以下几种方法：一、由比例式或等积式运用“三点定形法”确定相似三角形例1（1997年无锡市中考试题）如图1,AD、CE是△ABC的高且它们相交于H．求证：AB·CD＝AD·CH．分析要证AN·CD＝AD·CH,只须证ABAD＿＿＿＿＿＿＿＿,,＿。＿示一天．AN、AI）和CH、CD分SIJ是凸ABDCHCD“—”‘——”一、v～／,／J,J。－。—一和西CHD的两条边,因而只须证凸W＿。。。r＿。,ABADI、、、,。ABCHm凸CHD．由于生一失也可写作生一兰,因—“…     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

初二(上)几何段考复习训练题

一、模空题（每题5分．共25分）：1．已知三角形的两条边长分别为a＋l、a一1（a＞1）．则第三条边的长。·的范围是2．等腰三角形的局长为24CC，一腰＿L的中线将其周长分为3：5两部分，则腰和底的长分别为3．如图（l），以（B八’为内用的三角形是．．＿．以／＊工”为外角的三角形是4．如图（2）．D是b。IBt”的边B”L一点．／B一／ADB．／t”。会／B若／f”一25”，则／DAC”一度．5．如图（3）．已知AB一t”D．AD—Bt”．‘／l（与BI）相交手（7．那么．要证明OA—OC”．OB一OD．只要证明西三业．为此．须先证凸当凸．二、…     

整边正三角形的二剖分

三边长度均为整数的三角形叫做整边三角形，三边都相等的整边三角形叫做整边正三角形．如图1，点D在整边正△ABC的边BC上，若线段AD把△ABC分成的两个三角形（△ABD，△ACD）都是整边三角形，则称整边正△ABC能二剖分，这种剖分叫做整边正三角形的二剖分．图1中，若p，q，p－q，ZeN十问证。一户一q），就记作此时把边长为户的整边正凸＊＊C二剖分成～，q，Z），（户，产一q，Z）．关于整边正三角形的二剖分，文［fi已得到：定理1边长为k‘＋Zk（kEN＋，k＞1）的整边正三角形可二剖分成（kZ＋Zk，kZ－1，k’十足十1），（kZ＋Z…     

三角形重心的一个性质在空间的推广

在平面几何中，有如下命题：过凸ABC的重心G任作一直线，分别交＿，＿，＿。ABAC边AB，AC于产，C’两点，则于带十千三一3．将之推广到空间，我们得到命题过三校锥A－BCD的重心G，任作一平面，分别交三条侧棱AB，AC，AD于。＿．＿，＿。ABB‘，C‘，D’，则5＝＝．一”一”—””“AB’证明如图所示，连结AG并延长交底面BCD于H，则H为凸BCD的重心．故由G为三校锥的重心易知三式相加得三角形重心的一个性质在空间的推广@杨波$陕西省城固师范学校!7232001杨波.一道竞赛题的推广.中学数学,1999,6…     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

三角形外接圆·内切圆半径的求法

在重大考试中经常出现求三角形的外接圆和内切圆半径的问题．因此，考生在平时要熟练掌握其计算方法，现扼要介绍如下：1．三角形外接圆半径的求法门）根据九艾初中几何第三册P206复习题七第5题的结果．只要已知三角形，边及对角，可用公式ZIt一一～＝．ZR一＿．ZIC。，、J。，J，IJ。。一、—“”、illA”—““、illB—“”一十、求得．hilt”“““I、。（2）利用几何第三册94页例2的结果．＿＿＿AB·At＿．AB·AC”一月E·AD——AE一上工＞上．其中。l—。。、。l—““““““一AD～AE是凸ABC”的外接圆直径．AD是凸A…     

中考数学模拟试题(二)

一、填空题（每小题3分,总分54分）！．已知关于x的方程x‘＋nzx－2二0有一根为1,将。‘＋。－2分解因式得＿．2．点P（l,m）在一次函数y二2。－l的图象上,则。二。3．已知一组数据为0,－l,l,－2,豆,那么这组数据的众数和中位数分别为＿、＿．奄．点P（－2,－3）关于X轴对称的点产的坐标是（‘）,点P到r轴的距离为一．5．凸ABC中,ZC二邮,且tgA·ig20二l,那么LA二．度．6．如果已知反比例函数y二上的图象经过一点p．由点p向。轴、＊轴作会线．会足分别为A、B．矩形AOBp的面积为3,则这个反比例函数的解析式为、．7．若…     

从三角形到四面体

本文将四面体与熟知的三角形进行类比,得出四面体的有关性质．性质1（维维阿尼定理）正三角形内任一点到三边的距离之和为定值．正四面体内任一点到四面距离之和为定值．证明如图1,设P点到四个面的距离分别为a、b、c、d,连结PA、PB、PC、PD．因VABCD＝VPABC＋VPBCD＋VPCDA＋VPDAB＝面体的高,为定值）．性质2（勾股定理）在△ABC中,C为直角,设AB＝c,BC＝a,人C＝b,则／一a’十月．在四面体O—ACB中,O—ABC为宜三面角,设S。。一S．、Snosc一S．、S。。。S．、S。。a—S。,则证明如图2,作CD上AB交AB于D…     

利用三角形内角和定理解题

三角形内用和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系，这些关系对于解决有关三角形的角的问题有着很重要的作用．下面举例说明它在解题中的若干应用，供同学们学习时参考．一、求三角形内角的庭教。l、，。＿。，＿，、。。‘1例1已知凸ABC中．／A一音／B．－，——————－——－2“－：／B一手／C．求全C的度数．。1—一7———、—————、，————解设／t”的度数为。，则／B的度数为之。／A的度数为：。、．”“？一“““”“’“”“”“q“””由三角形内用和定理得／／1＋／B＋／t”一1800，即gi［…     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…     

初二(上)几何期考模拟题

一、判断题（正确的打“V”，错误的打“x”；每小题2分，共12分）：1．三角形的角平分线是射线（）2．三角形的高一定在三角形的内部．（）3．三角形的外角大于任何一个内用．（）4．全等三角形的对应边相等，对应角也相等．（）5．等腰三角形的底角一定是锐角．（）6．等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．（）二、填空镜（每小题4分，共32分）：1．在凸ABC中，若／B一SZA，／C一3LA，则／B的度数是．‘2．在凸ABC中，若／C的外角是120o，且ZB—2／A，则上A的度数是＿．3．若等腰三角形两边的长分别是scm和6cm，则它的周长是cm…     

一个新的三角不等式

《中等数学》1998年第3期“数学奥林匹克问题”栏高中第65号题为：在△ABC中,求证：B．C＿sinA＋Zsin子十3sin子＜3．（l）－———一一2——一？”－’原刊1998年第4湖上,江苏张延卫老师给出了该题的构图证法．这里,我们给出类似于（1）式的一个新结果,并且给出其代数证法．定理在△ABC中,有BC＿＿＿COSA＋＋COSW＋3COS子＜3／3．（2）———””——一2’——一3——”—””“”证明”．”A,B,C是凸ABC的内角,B＿＿．”．0＜A十号＜A＋B＜n,2～‘——～,,故（2）式获证．从上述证明过程不难看出,当且仅当ABtr…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

证明圆中的线段比例式（或等积式）是几何证明的重要内容．本文浅谈这类问题的证明途径．一、利用相似三角形图中有许多角度的相等关系，利用这些条件寻找相似三角形，是证明园中线段比例式或等积式的主要思路．例1如图1．已知P是等边凸ABC”的——外接回BC上的一点，CP的延长线和AB的延长线相交于D，连结BP．求证：（1）ZD一Zt”BP；（2）AC’一CH·CD．（199．成都市）思路点投（l）ZI＋zZ一上A一z3一zZWezD，故if一iD；（2）由（1）知if一iD．又zZ一上2．故凸BCP①凸rtw．所以CP·CW一C？BZ＝ACZ证明（1）“．“凸AB…     

三角形的定形问题

三角形的定形问题，是指根据已知条件，判定三角形的形状的问题。解决这类问题，应熟练掌握三角形内角和定理，正弦定理、余弦定理，勾股定理及其逆定理，三角公式等相关知识内容。另外，还应注意灵活运用上述定理、公式，把已知的边和角的三角函数关系变换成只合边或只含角的关系式，化简后，再考察边或角之间的关系，进而确定三角形的形状。例l、在凸ABC中，如sinBsinC—cOSZtr，试确定三“““”一‘———’—”一‘”——””“——一2””””‘——一角形的形状。则面ABC为等腰三角形。例2、在凸ABC中，已知acosA—bcosB试确…     

(二十六)综合模拟测试卷(B卷)

一、判断题（每小题1分，共8分）：1．任何实数都有倒数；（）2．近似数1994精确到百位数且有两个有效数字，用科学记数法表示为2OXIO’；（）3．如果la—－a，则a＜o；（）4．直线的基本性质是：两直线相交只有一个交点：（）5．式＿i／gsgs与6b．＾／具（b＿O）＿＿同＿Th次报文；（）——””3—一”一VZb”—”一’——”“‘一。”＊‘—、，6如果方程X’－4X十在一O的两根之和等于两根之积，那么走一4；（）7C0s＼18r一叶十。。S＼gr一a）一1；（）8若a、b‘c表示凸ABC的三边，且a’＋hi—c’，则凸ABC是直角三角形．（）二、…     

面积法解题初探

1利用三角形面积公式解几何证明题最基本的几何知识的积累是从古埃及人们文星和计算土地面积开始的,这就使面积与几何的研究结下不解之缘．我国古代数学家也利用面积法证明了句股定理．实践证明,利用面积法可为许多不易证明的几何题找到解题出路．例1求证正三角形内的任一点到三角形三边距离之和为一定值．证如图1,正三角形ABC的三边长为a．点P在△ABC内,P到BC,CA,AB三边的距离顺次为Z,y,Z．显然有S。一十5。删十例2在／A内有一定点P,过P作直线交两边于B,C,问9k十六响时取值最大？（美国1979年数学奥林匹克竞赛题）证如…     

用三角法证几何题举例

运用三角知识证明几何题，在多数情况下，不需要添作辅助线，而且证题思路清晰、简明．用三角知识证几何问题的一般步骤是：（1）设辅助角；（2）用辅助角的三角函数及有关线段表示结论中各元素；（3）用三角公式计算得证．下面列举数例，供同学们参考．例1已知。、b是Rt凸ABC的两直用边，＿L，、．＿。，，＿。L、＿111h是斜边AB上的高，求证：士十台一台．例2在矩形ABCD中，AP上BD于P，PE入BC于E，PF入DC于F．求证：PA‘一BH·PE·PF．证明设／ADP—a，则ZBAP一LPBE一ZHPF一。‘BD一BP＋PD，BD＝PA·tga＋PA·ct…