题库(十八)

1．已知函数f(x)=ax-b/x-2ln x,f(l)=0. (1)若函数f(x)在其定义域为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1= f'(1/an-n+1)-n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较1/1+a1+1/1+a2+1/1+a3+…+1/1+an与1/5的大小, 并说明你的理由． 2．设f1(x)=2/1+x,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=fn(0)-1/fn(0)+2,基中n∈N．     

一类无理函数值域的新求法

文 [1 ],[2 ]各用一种方法介绍了形如函数 f( x) =ax2 + b- x( x≥ 0 ,a>1 ,b≥ 0 )(下称函数 )的最小值的求法 ,文 [3]用三种不同策略研究了比函数 更一般的函数f( x) =m x2 + 1 + nx(其中 mn<0 ,且 | nm|<1 ) (下称函数 )的值域 .本文再给出函数 的值域的一种新求法 .用待定系数法将 f( x)变形为f( x) =m+ n2 ( x2 + 1 + x) + m- n2( x2 + 1 - x) .( 1 )若 m>0 ,n<0 ,则由 | nm| <1得- m0 ,m- n2 >0 ,又　　 x2 + 1 + x>| x| + x≥ 0 ,x2 + 1 - x=1x2 + 1 + x>0 ,故由基本不等式得　f( x)≥ 2·m+ n2 ( x2 + …     

一道高考压轴题题源探寻与拓展

1 问题来源 题1 (2013年高考广西卷理科压轴题)已知函数f(x)=In(1+x)-x(1+λx)/1+x.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{an}的通项an=1+1/2+…+1/n,证明a2n-an+41/n＞ In2. 笔者在研究上述高考试题时,感觉似曾相似,发现它是2010年高考湖北卷理科压轴题的拓展与延伸. 2 题源探寻 题2 (2010年高考湖北卷理科压轴题)已知f(x)=ax+b/x+c(a＞0)在(1,f(1))处的切线为y=x-1.(1)用a表示b、c;(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的范围;(3)证明:1+1/2+…+1/n＞ln(n+1)+n/2(n+1).     

用分离常数法解2012年高考陕西卷压轴题

高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;     

错解不是无情物 化作春泥更护花——一道“任意”与“存在”混搭问题的解法辩析

在最近笔者所在学校参与的一次高三联考中,出现了如下一道关于函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题.题目已知函数f(x)=aln x+x^2+x-2(a∈R).(1)若f(x)在[1,+∞)单调增,求实数a的取值范围;(2)当a=2时,对于任意的λ∈[1,2],存在正实数x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),求x1+x2的最小值.     

函数图像的割线斜率与切线斜率的关系

不少高考题都涉及函数图像的割线斜率,并且我们知道,一般来说,函数图像的割线斜率与切线斜率的取值范围不一样,但究竟有怎样的准确关系呢? 题1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数f(x)=(a+ 1)ln x+ax2+1,a＜-1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4 | x1-x2|,求a的取值范围.     

用定积分直接简证高考理科压轴题

2013年高考全国卷理科压轴题 已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1+λx/1+x).(Ⅰ)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=1+1/2+1/3+…+1/n,证明:a2n-an+1/4n＞ln 2. 另解 (Ⅰ)先证当λ≥1/2时,f(x)≤0(x≥0)恒成立,即证(1+x)In(1+x)≤x(1+1/2x)(x≥0),即1/2x2+x-(x+ 1)ln(x+1)≥0(x≥0). 设g(x)=1/2x2+x-(x+1)ln(x+1)(x≥0),得g’(x)=x-ln(x+1)(x≥0).     

两类函数的周期性的探讨

一设A、B、λ是非零实数.考虑函数方程 f(x+λ)=Af(x)+BF(x-λ.(1)试问:在什么条件下,满足(1)的f(x)是以mλ(m∈N)为周期的函数? 将x换成x+(n-1)λ(这里n∈N,且n≥2),则等式(1)可以改写成 f(x+nλ)=Af(x+(n-1)λ)+Rf(x+(R一2)λ)。因此,若设F_n=f(x+nλ)     

一类绝对值不等式的求解策略及应用

<正>一、问题背景与策略分析引例(2010年辽宁高考题)已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设a<-1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求实数a的取值范围.策略分析转化是解决问题的重要杠杆.为解问题(2),首要的是去掉绝对值符号.     

2011年江苏高考数学卷第19题第二小问的别解及思考

题目:已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax,g(x)=x2+bx,f’(x)和g’(x)是f(x),g’(x)的导函数,若f’(x)g’(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设a<0,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.     

抽象函数题的类型

一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y).     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

一样的情境,不一样的解答

1 在函数中的例子 题1 (1)若定义在区间(1,2)上的函数f(x)= ex/2x2+a不单调,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)= ex/2x2+a在区间(1,2)上不单调,求实数a的取值范围.     

08年高考试题研究 1．全国卷Ⅰ理科第19题

题目已知函数f(x)=x~3+ax~2+x+1,x∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在区间(-2/3,-1/3)内是减函数,求a的取值范围.     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

求函数解析式的十种思维方法

1待定系数法例1若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=2,求f(x).解依题意:2,12,n mn n mm n-----++==解得m=-2,n=-1,∴()f x=x2+2x-1.注如果已知函数式的构造模式,通常根据题设用此法求出函数式的待定系数.2换元法例2已知f(x+1)=x+1,求f(x).解令x+1=t,则x=(t-1)2(t≥1),∵f(t)=(t-1)2+1(t≥1),即f(x)=t2-2t+2(x≥1).注如果已知复合函数f(g(x))的表达式,求f(x)的解析式;先令g(x)=t,得f(x),但值得注意的是在进行变量替换时,应求出新变量的取值范围,否则容易出现错误.3代入法例3设()1f x=1-x,求f(f(f(x)))的解析式.解∵(())11f f x=1-f(x)=1-1/(1-x)1x x…     

数形结合思想在高考中的应用

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景,在代数与几何的结合上寻找解题思路·最常用的是以形助数的解题方法,其实质就是对图形性质的研究,使要解决的数的问题转化为形的讨论,实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归·例1(2005年高考全国卷Ⅱ)函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,求使f(x)≥22的x的取值范围·解:f(x)≥22,也即|x+1|-|x-1|≥32·设函数g(x)=|x+1|-|x-1|=-2(x≤-1),2x(-1相似文献   

恒成立问题的常见解法

在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1　 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析　若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而…     

一道高考选择题的解法及推广

函数f(x)=∑9n=1|x-n|的最小值为().A·190B·171C·90D·45解法1利用不等式|a|+|b|≥|a+b|∵∑9n=1|x-n|≥|x-1+19-x|+|x-2+18-x|+…+|x-9+11-x|+|x-10|=90+|x-10|≥90,当且仅当x=10时所有的等号成立,∴[f(x)]min=90.选C.解法2借助绝对值的几何意义由绝对值的几何意义知:问题即求数轴上x代表的点与1,2,3,…,19代表的点的距离之和的最小值,易知当x≥19时,f(x)=19x-190≥f(19),当x≤1时,f(x)=190-19x≥f(1),因此使函数f(x)取得最小值的x∈[1,19],且此时|x-1|+|x-19|为定值18,故欲使f(x)最小必须且只需|x-2|+…+|x-18|最小即可,由以上推理知…     

几例“错”题剖析

在高三数学复习中 ,我们在流传甚广的一些数学资料中发现了几道错题 .现剖析如下 .例 1　数列 {an}满足an相似文献