巧用三角代换 简证一道竞赛试题

正赛题(第四届北方数学邀请赛试题)已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使(a~3+b~3+c~3)/(abc)≥k成立的k的最大值.文[1]利用加拿大第一届数学竞赛题:已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求证:a+b≤2c~(1/2).给出以下证明:     

一道奥赛题的另证及上确界

题目(第三届北方数学奥林匹克邀请赛)设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a+b+c=3,求f(a,b,c)=a~2+b~2+c~2+4/3abc的最小值.文[2]给出三种均值不等式解法,经研究,笔者再给出一种恒等变形解法,顺便得到f(a,b,c)的上确界.     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

也谈一道联赛题

（2008·全国联赛吉林区预赛题）已知正数a、b、c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值.文[1]从运用均值不等式的角度合理拆分变元,文[2]运用配方法进而转化为函数问题,受两文启发,笔者运用主元与次元的思想重新考虑该问题.     

一道伊朗数学奥林匹克试题的拓展

正2002年第20届伊朗数学奥林匹克竞赛第三轮有这样一道代数不等式试题:题已知a,b,c∈R+,且满足a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.安振平老师在文[1]中通过代数变形与三元均值不等式给出了一种代数证法;之后在文[2]中运用抽屉原理又给出了一个令人拍案叫绝的简证;张俊老师在文[3]中利用三角代换给出了该赛题的另一绝妙证法,并很好的揭示了该不等式的渊源.文[1]中由条件a2+b2+c2+abc=4出发,得到一系列有趣     

赏析一类竞赛题的解法

安振平老师在文[1]中分别用特值法和待定参数法解决了两道竞赛题(文中的例1和例2).经笔者研究,此类问题均可以用三角换元解决.现整理成文,供读者参考.例1设a、b、c为直角三角形的三边长,其中,c为斜边长.求使得(a~3+b~3+c~3)/abc≥k成立的最大k值.(第四届北方数学奥林匹克邀请赛)解由a~2+b~2=c~2,令a=ccosθ.b=csinθ(θ∈(0,π/2)).则f=(a~3+b~3+c~3)/abc     

一个代数不等式的修正

文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时,     

一个条件不等式的推广

<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n     

从一个看不懂到看得懂的解答引出的思考

题目 已知正数a,b,c满足a＋2b ＋3c≤abc,求5a＋22b＋c的最小值.文[1]用很难想到的配凑和多元均值不等式解答,由于太略,使人看不懂,文[2]把文[1]的太略详尽出来,虽然看懂了,但技巧之高,难度之大让人莫及,那么这样的题有没有好想也比较好做的解法呢？若有,何必去强求很难想到的技巧呢？其实,用导数求函数的值域（最值）就可自然的解答.     

一个不等式的简证及推广

文[1]给出如下不等式猜想:若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1:由二元均值不等式得a~2/2+a+2+a/9≥2/3a(?)a~2/2+a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2+b≥5b/9-2/9;c~2/2+c     

一个关于三角形边长的不等式链

<正>近日,笔者发现了一个关于三角形边长的不等式链,现介绍如下.命题在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥(4-2r/R)abc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.     

一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

一类分式函数最小值的求导处理及推广

函数f（x）=a/x-c＋b/d-x（a,b,c,d∈R^＋,c〈x〈d）,求其最小值,文[1][2]采用均值不等式或三角换元变换去求解,     

一道数学奥林匹克问题的简证与推广

《中等数学》2008年第7期"数学奥林匹克问题"高229题如下:问题已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+b/1+c/1+3/a+b+c≥4.文[1]、文[2]分别通过构造函数和换元法等给出了证明,解题过程都比较复杂,多数学生理解起来有一定难度.笔者经过探究,利用基本不等式得到了一种简单证法.     

一道奥赛题的简证

题目（第三届北方数学奥林匹克邀请赛）已知ΔABC的三边为a、b、c,且满足a＋b＋c=3,求f（a,b,c）=a2＋b2＋c2＋4/3abc的最小值.文[1]给出了一种新的证明,笔者觉得技巧性较强,不够自然.下面笔者再给出一个自然简单的证明.     

一个不等式的推广

文[1]建立了一个新的代数不等式: 若a,b,c为不大于1的正数,n为正整数,则 1/n√1 a 1/n√1 b 1/n√1 c≤3/n√1 3√abc.     

关于三角形中线长的一个不等式的加强及其对偶不等式

文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简…     

利用基本不等式求最值典型错误分析

应用 a+b≥2(ab)~(1/2)和 a+b+c≥3(abc)~(1/3)求和的最小值,应用 ab≤(a+b/2)~2和 abc≤(a+b+c/3)~3求积的最大值,这是中学阶段高考中比较重要的知识点,也是解决函数值域最值问题的常用方法.利用基本不等式求最值要遵循“一正二定三相等”的原则,即:①a,b,c 均为正数,②运用不等式后积(或和)为定值,③等号成立的条件必须具备.学生虽然都能将以上原则及不等式的应用形式记住,但由于不能从实质上理解其内涵要求,应用起来往往随意乱用,出现错误.请看下面几例:例1     

一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.