一道复数例题的新解

题 z∈C,z/(z-1)是纯虚数,求z在复平面内对应点的轨迹. 这是贵刊编写的(高三数学教学与测试)(上册)第133例1,我们若注意到“非零复数z_1、z_2对应点为Z_1、Z_2,则z_1/z_2为纯虚数ki(k∈R,k≠0)便可给出更简捷的新解:     

高三数学模拟试题(二)

一、选择题 :(本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共6 0分 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 如果直线ax+by=4与圆C :x2 +y2 =4有两个不同的交点 ,那么点P(a ,b)与圆C的位置关系是 (　　 ) A 点在圆外　　B 点在圆上C 点在圆内　　D 不确定2 以下四个命题 ,其中真命题是 (　　 ) ①若 ( 1+i) n 是实数 ,则正整数n的最小值是4 ;②若z是虚数 ,则z+1z ∈R ｜z｜ =1;③若z1、z2 都是非零复数 ,z1≠z2 ,且复平面上O为原点 ,点A和B分别与z1+z2 和z1-z2 对应 ,∠AOB= 90°,则 ｜z1｜=｜z2 ｜ ;④若复数z满足｜z- 2｜…     

源于中垂线方程的两个复数命题

1　问题的提出文 [1]有命题 :设 z,w∈ C且 z± w≠ 0 ,则 z wz- w为纯虚数 | z| =| w| .文 [2 ]利用文[3]的方法将其推广为 :设 z,w1 ,w2 ∈ C,且 z≠ w1 ,w2 ,则 z- w1 z- w2 为纯虚数 z- w1 w22 =| w1 - w2 |2 ,这里提出的问题是 :文 [3]的方法中隐含着什么 ?2　结论及解释经研究 ,文 [3]用的是文 [4]的命题 ,即文[1]推论 4:z∈C,a∈R,且 az≠ 0 ,则| z a| =| z- a| z为纯虚数 .其实 ,该命题还可作如下深化 :定理 1　设 z,w∈C,w不为纯虚数且 z· w≠ 0 ,则 | z w| =| z- w| z为纯虚数 .证明　 | z w| =| z- w| | z w|…     

复平面上圆方程的若干等价命题

我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1　下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献   

纯虚数的一个性质在解题中的应用

众所周知,若z≠±1,则z-1/z 1为纯虚数的充要条件是│z│=1.由此不难得到如下定理:     

例析复数的解题策略

已知复数z满足：使ω=z 4/z-4是纯虚数，求|z|的值。     

复数

课时一　复数的概念及其向量表示 基础篇 诊断练习一、填空题1.正整数集 N*、自然数集 N、整数集 Z、有理数集Q、实数集 R、复数集 C之间有包含关系 .2 .复数 z =a +bi( a、b∈ R) ,当且仅当时 ,z为实数 ;当且仅当时 ,z为虚数 ;当且仅当时 ,z为纯虚数 .3.如果 a、b、c、d∈ R,那么 a +bi =c +di .两个复数不全为实数时 ,不能比较它们的大小 ,只能为 .4 .建立了复平面后 ,复数 z =a +bi( a,b∈ R)与复平面上的点 Z( a,b) ,与复平面内以原点 O为起点 ,点 Z( a,b)为终点的向量 OZ .向量 OZ的长度叫做 ,记为 |z|,故有 |z|=|OZ|=.二、选…     

2023届新高考数学模拟卷(三)

<正>一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足z(1-i)=1+2i，则在复平面内复数z对应的点在()．A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．     

解复数题的策略与技巧

本文举例介绍解复数问题时常用的策略与技巧.1.取值估算【例1】　当23相似文献   

怎样求辐角主值的最值（高二、高三）

1.用图形 例1 已知z·z-+(3+3～(1/3)i)z+(3-3～(1/3)i)z-+9=0,求argz的最值及相应的复数. 解由已知,得即所以所以z对应的点的轨迹是以。C(-3,3～(1/3))为圆心,3～(1/3)为半径的圆,如图所示,设OA、OB分别与圆C相切于A、B两点,则argz的最小值与最大值分别是A、B对应复数z1、z2的辐角主值.     

四个思路,各有千秋(高二、高三)

题已知复数z满足:使ω=(z+4)/(z-4)是纯虚数.求|z|的值. 在一堂复数课中我出示了上述的题目,同学们踊跃讨论,得出了如下的四种解法,它集中概括了解决复数问题的基本策略. 解法1 设z=x+yi(x,y∈R),则有     

巧解一个最值题

问题 复数z_1满足|z_1-3| |z_1 3|=10,而复数z使(z-z_1)/z-3)为纯虚数,求|z|的     

利用"商为纯虚数"的条件解题

设复数ｚ1和ｚ2 在复平面上所对应的点分别为Ｚ1和Ｚ2 ,则商 ｚ1ｚ2或 ＯＺ1ＯＺ2为纯虚数的充要条件是直线ＯＺ1⊥ＯＺ2 ,其中Ｏ为原点。恰当地利用这个充要条件并注意到向量的可平移性 ,可使许多问题的解决更为简明而有趣味。例 1　设ｚ为虚数 ,求证 :ｚ -1ｚ 1 为纯虚数的充要条件是 |ｚ| =1。证　设 -1、1、ｚ在复平面上分别对应点Ａ、Ｂ和Ｐ ,由条件Ｐ不与Ａ、Ｂ重合 ,|ｚ| =1 ,当且仅当Ｐ在以ＡＢ为直径的圆上 ,当且仅当ＡＰ⊥ＢＰ ,当且仅当向量之比 ＢＰＡＰ为纯虚数 ,即复数 ｚ-1ｚ 1 为纯虚数。注　本题是一道经典题。上述证明…     

高中数学测试题

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.已知全集J={2,3,5,7,11 f,A={2,l a--5 1,7},A:{5,1 I}则盘的值为( ) (A)2 (B)82.已知直线z+3y一7=0与直线点z-3, 等于( ) 。(D)一2或82=O垂直;则足的值 (A)一3 (B)3 (C)一6 (D)63.已知直线z与平面a所成的角是60。,直线m(二=平面a,且直线7,2 与直线Z无公共点,则Z与m所成的角的最大值为( ) (A)30。 (B)60~ (C)90。 (D)120。4.设z是复数,且满足z2+l z 1 2=O,则z是( )高中戡学教与学20012年 (A)实数 (B)零 (C)纯虚数 (D)纯虚数或零5.在极坐标系中,圆』D=2sin 0的圆心的极坐标是( ) (…     

数学题选(综合训练题)

一、选择题(答案唯一正确) 1.设集合M={z||z-2i|≤2,z∈C},集合N={z|0≤argz≤π/4,z∈C},则M∩N在复平面上对应的图形面积是( ) (A)2π-1; (B)2π 1; (C)π-2; (D)π 2. 2.函数y=x~(-2/3)与y=-x~(3/2)在同一坐标系中的图象是( )     

利用Z·=|Z|~2=||~2及共轭复数性质解题

解复数题，一般先设z＝a＋bi（a，b∈R）或z＝r（cosa＋isin），但有时解的过程显得冗长，若利用z·z＝|z|～2＝|z|～2及共轭复数性质来解，则有简单明快之效.例1已知z1，z2∈C，且z1≠O，z2≠0，一定是纯虚数.分析只要证证明由亦即整理得一定是纯虚数.例2三个复数a，β，γ满足是实数.分析只要证共轭复数就是其本身即可.证明同样可得例3已知z1，z2∈C(z1·z2≠0），在复平面内对应的点为P、Q，又z—1～2-z1z2＋z—2～2＝0，试确定△OPQ的形状（O为坐标原点）.故△OPQ为正三角形.例4已知复数z和w，|z|≤1，|w|≤1.问A，B可比较大小否…     

在复平面内求动点轨迹的方法

一、化实法一般将所求点对应的复数写成复数的代数形式,再根据条件转化为实数方程. 例1复平面内点A、B对应的复数分别是1和i,过A、B的直线为l,设l上的点对应的复数为z,求1/z所对应的点的轨迹.     

公式z=│z│~2的应用

例1已知复数z的辐角为60°,且｜z-1｜是｜z｜和｜z-2｜的等比中项,求｜z｜.解设z=r(cos60°+isin60°)=r2+3姨2ri,则z的实部为r2.∴z+z=r,zz=r2.由题设知,｜z-1｜2=｜z｜·｜z-2｜.由公式zz=｜z｜2得(z-1)(z-1)=｜z｜·｜z-2｜2姨.∴(z-1)(z-1)=｜z｜穴z-2雪(z-2)姨,∴zz-(z+z)+1=｜z｜zz-2(z+z)+4姨,∴r2-r+1=r·r2-2r+4姨.化简整理得r2+2r-1=0.解得r=2姨-1,r=-2姨-1(舍去).∴｜z｜=r=2姨-1.例2求证:｜z1+z2｜2+｜z1-z2｜2=2(｜z1｜2+｜z2｜2).证明由公式zz=｜z｜2得｜z1+z2｜2=(z1+z2)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2)=z1z1+z1z2+z2z1+z2z2=｜z1｜2…     

2003年全国高考数学理科第17题别解

试题 已知复数z的辐角为60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z|. 《参考答案》给出的解法是设z=r(cos60°+sin60°),则知道复数z的实部为r/2,且有z+z=r,z·z=r2.由题意容易得到|z-1|2=|z|·|z-2|,但要进一步得到(z-1)(z-1)=|z| 却比较困难(从实→虚→较简单     

对2003年全国卷理科第（17）题的探讨

(17)已知复数 z的幅角为 6 0°,且 |z- 1|是 |z|和 |z- 2 |的等比中项 .求 |z|.解法 1　由“|z- 1|是 |z|和 |z- 2 |的等比中项”,得 |z- 1|2 =|z|· |z- 2 |.式子 |z- 1|2 =|z|· |z- 2 |左、右两边是二次齐次式 ,同除以 |z|2 ,得 1- 1z2 =1· 1- 2z ,若把 1z看作一个整体 ,且 argz=6 0°,arg 1z=30 0°,可设 1z=a- 3ai(a>0 ) ,代入上式得 |1- a+3ai|2 =|1- 2 a+2 3ai |,即 (1- a) 2 +3a2 =(1- 2 a) 2 +12 a2 .两边平方并整理得 4 a2 -4 a- 1=0 ,a=1+22 ,即 1z =2 a=1+2 ,则 |z|=12 a=11+2 =2 - 1.(楼可飞　供稿 )解法 2　设 z=r2 +32 ri,…