求T_n值的一个通项公式

文 [1]得到Ｔｎ=ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ 4π7 ｃｏｓｎ 6π7的一个递归式 :Ｔｎ 3 =- 12 Ｔｎ 2 12 Ｔｎ 1 18Ｔｎ.本文给出 {Ｔｎ}的一个通项公式Ｔｎ=- 12 72 ｎ ｋ∈ＫＣｋｎ [1 ( - 1) ｎ] 72 ｎ 2 Ｃ[ｎ2 ] ｎ ,( )其中Ｋ ={ｋ|ｎ - 2ｋ =7ｍ ,0≤ｋ≤ [ｎ - 12     

对比值sinnx/sinx下界的再改进

本刊 1 999年第 1 1期刊出邵、高两位老师对ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ下界的改进 ,本文给出定理　设ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 ,0 <ｎｘ <π2 ,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ >1ｓｉｎ π2ｎ.证明 :由已知得 0 <ｘ <π2ｎ.下面证明 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ 在区间 (0 ,π2ｎ)上为减函数 ,事实上 ,有ｆ′(ｘ) =ｎｃｏｓｎｘｓｉｎｘ -ｓｉｎｎｘｃｏｓｘｓｉｎ2 ｘ =ｕ(ｘ)ｓｉｎ2 ｘ,则　　ｕ′(ｘ) =(-ｎ2 ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ)　 -(ｎｃｏｓｎｘｃｏｓｘ -ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ)=-(1 -ｎ2 )ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ <0 .∴ｕ(ｘ)在 (0 ,π2ｎ)上…     

高一数学单元测试(任意角的三角函数)

一、选择题1.下列各组中 ,终边相同的角是 (　　 )　 (Ａ) 3π5 和 2ｋπ -3π5 (ｋ∈Ｚ)　 (Ｂ) -π5 和2 65 π　 (Ｃ) -7π9和11π9　 (Ｄ) 2 0π3 和12 2π92 .若｜ｓｉｎｘ｜ｓｉｎｘ +｜ｃｏｓｘ｜ｃｏｓｘ +｜ｔａｎｘ｜ｔａｎｘ =-1,则角ｘ一定不是 (　　 )　 (Ａ)第四象限角　 (Ｂ)第三象限角　 (Ｃ)第二象限角　 (Ｄ)第一象限角3 .若ｓｉｎαｔａｎα>0且ｃｏｓαｃｏｔα<0 ,则 (　　 )　 (Ａ)α∈ 2ｋπ ,2ｋπ +π2 (ｋ∈Ｚ)　 (Ｂ)α∈ 2ｋπ+π2 ,( 2ｋ+1)π (ｋ∈Ｚ)　 (Ｃ)α∈ ( 2ｋ+1)π ,2ｋπ +3π2 (ｋ∈Ｚ)　 (Ｄ)α…     

解三角问题的一个重要策略

在解三角函数有关问题时 ,常常需要把所给定的三角式化为一个角的某个三角函数 .本文以近年来的高考题为例说明这一策略的应用 .一、用倍角公式化为一个角的某个三角函数例 1　 ( 1 996年全国高考题 )若ｓｉｎ2 ｘ >ｃｏｓ2 ｘ ,则ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) {ｘ｜2ｋπ-34π<ｘ<2ｋπ +π4,ｋ∈Ｚ}(Ｂ) {ｘ｜2ｋπ +π4<ｘ <2ｋπ+54π ,ｋ∈Ｚ}(Ｃ) {ｘ｜ｋπ-π4<ｘ<ｋπ +π4,ｋ∈Ｚ}(Ｄ) {ｘ｜ｋπ +π4<ｘ <ｋπ+34π ,ｋ∈Ｚ}解　∵ｓｉｎ2 ｘ >ｃｏｓ2 ｘ ,∴ｃｏｓ2 ｘ-ｓｉｎ2 ｘ<0 .即ｃｏｓ 2ｘ<0 .∴ 2ｋπ +π2 <2ｘ<2ｋπ+3…     

2003届高中毕业班第一次教学质量检测数学(理科)参考答案

一、选择题1.Ｂ　 2 .Ｃ　 (新 )Ｂ　 3.Ｄ　 4 .Ａ　 5.Ｂ　 6 .Ｄ7.Ｃ　 8.Ｂ　 9.Ａ　 10 .Ａ　 11.Ｄ　 12 .Ｂ二、填空题13.ｘ - 2 ｙ +3=0　 14 .ｘ =2　 15.16　 13.(新 ) 12 0 　 16 .ａｎ =2 +( - 1) ｎ 2ｎ 或ａｎ =1　ｎ为奇数3　ｎ为偶数 　或ａ =2 +ｓｉｎ2ｎ +12 π三、解答题17.解 :ｔａｎ2θ =2ｔａｎθ1-ｔａｎ2 θ=- 2 2 ,解得ｔａｎθ =-22 或ｔａｎθ =2因为 2π <2θ <3π ,所以π <θ <3π2 则ｔａｎθ >0 ,所以ｔａｎθ =- 22 (舍去 ) ,所以ｔａｎθ =2 .原式 =ｃｏｓθ-ｓｉｎθｃｏｓθ +ｓｉｎθ=1-ｔａｎθ1+ｔ…     

2000年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.设全集是实数集 ,若Ａ ={ｘ|ｘ -2≤0 } ,Ｂ ={ｘ | 10 ｘ2 - 2 =10 ｘ} ,则Ａ∩Ｂ是(　　 ) .Ａ .{ 2 }　　　　　　Ｂ .{ -1}Ｃ .{ｘ|ｘ≤ 2 }　　Ｄ . 2 .设ｓｉｎα >0 ,ｃｏｓα <0 ,且ｓｉｎ α3>ｃｏｓ α3,则 α3的取值范围是 (　　 ) .Ａ .(2ｋπ π6 ,2ｋπ π3) ,ｋ∈ＺＢ .(2ｋπ3 π6 ,2ｋπ3 π3) ,ｋ∈ＺＣ .(2ｋπ 5π6 ,2ｋπ π) ,ｋ∈ＺＤ .(2ｋπ π4,2ｋπ π3)∪ (2ｋπ 5π6 ,2ｋπ π) ,ｋ∈Ｚ3.已知点Ａ为双曲线ｘ2 -ｙ2 =1的左顶点 ,点Ｂ和点Ｃ在双曲…     

对一道选择题的分析思考

题目　已知ｓｉｎｘｃｏｓｙ =1 /2 ,则ｃｏｓｘｓｉｎｙ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [-1 /2 ,1 /2 ]　　 (Ｂ) [-3 /2 ,1 /2 ](Ｃ) [-1 /2 ,3 /2 ]　　 (Ｄ) [-1 ,1 ]错解 1　令ｃｏｓｘｓｉｎｙ =ｔ,则有ｃｏｓｘｓｉｎｙ ｓｉｎｘｃｏｓｙ =ｔ 12 ,即ｓｉｎ(ｘ ｙ) =ｔ 12 。     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

单位根的性质及其应用

我们把 1的任何一个ｎ次方根叫ｎ次单位根或单位根 (ｎ∈Ｎ) .以单位根为背景的题目是数学竞赛的热点内容 .1　ｎ次单位根的常用性质设ｎ个单位根为ε0 ,ε1,ε2 ,… ,εｎ-1,其中ε0 =1,εｋ =ｃｏｓ2ｋπｎ +ｉｓｉｎ2ｋπｎ =εｋ1(ｋ∈Ｎ)则有(1) ｜εｋ｜ =1;(2 )εｋ·εｊ =εｋ+ ｊ(ｋ、ｊ∈Ｚ) ;(3) (εｋ) ｍ =εｍｋ(ｍ∈Ｚ) ;(4) εｋ =εｎ-ｋ;(5 ) 1+ε1+ε2 +… +εｎ-1=0 ;(6 ) 1+εｍ1+εｍ2 +… +εｍｎ-1=ｎ (ｎ｜ｍ)0 (ｎ ｍ) .2　应用例 1　 (2 0 0 1年全国高中数学联赛题 )若 (1+ｘ+ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ…     

对比值sinnx/sinx下界的改进

定理　设ｎ∈Ｎ,ｎ＞２,０＜ｎｘ＜π２,则ｓｉｎｎｘｓｉｎｘ＞ｎ＋３ｎ．（１）证明：ｎ＝３时,应用ｓｉｎ３ｘ＝３ｓｉｎｘ－４ｓｉｎ３ｘ,０＜ｘ＜π６,从而０＜ｓｉｎ２ｘ＜１４,即知（１）成立．设ｎ＝ｋ时,（１）成立,ｓｉｎ（ｋ＋１）ｘｓｉｎｘ＞ｋ＋１＋３ｋ＋１ｓｉｎ２（ｋ＋１）ｘ＞（ｋ＋１＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ２（ｋ＋１）－ｓｉｎ２ｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘ１－ｃｏｓ（２ｋ＋２）ｘ－１＋ｃｏｓ２ｘ２＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉｎ２ｘｓｉｎ（ｋ＋２）ｘ·ｓｉｎｋｘ＞（ｋ＋３ｋ＋１）ｓｉ…     

凹四边形的一个面积公式

文 [1 ]证明了凸四边形的一个面积公式 ,本文应用类似的方法 ,证明了该公式也适用于凹四边形 .定理　设凹四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,对角线ＡＣ =ｍ ,ＢＤ =ｎ ,则其面积Δ =144ｍ2 ｎ2 -(ａ2 -ｂ2 +ｃ2 -ｄ2 ) 2 .证明 :不妨设Ｃ是凹顶点 (如图 ) .延长ＡＣ交ＢＤ于Ｅ ,记∠ＡＥＢ =θ ,ＢＥ =ｘ ,ＥＤ =ｙ ,ＣＥ =ｚ,则ｘ +ｙ=ｎ ,ＡＥ =ｍ +ｚ .由余弦定理 ,有ａ2 =ｘ2 +(ｍ +ｚ) 2 -2ｘ(ｍ +ｚ)ｃｏｓθ ,ｂ2 =ｘ2 +ｚ2 -2ｘｚｃｏｓθ,ｃ2 =ｙ2 +ｚ2 +2 ｙｚｃｏｓθ ,ｄ2 =ｙ2 +(ｍ +ｚ) 2 +2 ｙ(ｍ …     

高中数学测试题(文理)

一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 已知集合Ｍ ={ｘ｜ -1≤ｘ≤ 1},Ｎ ={ｙ｜-1≤ｙ≤ 1},则在下列图中 ,不是从集合Ｍ到集合Ｎ的映射的是 (　　 )2 设复数ｚ =ｉ(1＿ 3ｉ) ,那么ａｒｇｚ等于(　　 )　 (Ａ) 2π3 　 (Ｂ) 5π6　 (Ｃ) 4π3 　 (Ｄ) π63 已知α是第三象限角 ,则下列等式中可能成立的是 (　　 )　 (Ａ)ｓｉｎα +ｃｏｓα=1.2　 (Ｂ)ｓｉｎα+ｃｏｓα =-0 .9　 (Ｃ)ｓｉｎαｃｏｓα =3　 (Ｄ)ｓｉｎα+ｃｏｓα =-1.24 已知正ｎ棱台 (ｎ∈Ｎ ,…     

高一数学单元测试(三角函数的图象和性质)

一、选择题1 .设ｘ∈Ｚ(整数集 ) ,则 ｆ(ｘ) =ｃｏｓ π3 ｘ的值域是 (　　 )　 (Ａ) -1 ,-12 　　 (Ｂ) -1 ,-12 ,12 ,1　 (Ｃ) -1 ,-12 ,0 ,12 ,1　　 (Ｄ) 12 ,12 .下列函数中 ,既是区间 0 ,π2 上的增函数 ,又是以π为一个周期的偶函数是 (　　 )　 (Ａ) ｙ =ｘｔａｎｘ　　　 (Ｂ) ｙ=｜ｓｉｎｘ｜　 (Ｃ) ｙ=ｃｏｓ 2ｘ (Ｄ) ｙ=ｓｉｎ｜ｘ｜3 .函数 ｙ=ｓｉｎ 3πｘ +ｌｇ13 (　　 )　 (Ａ)不是周期函数　 (Ｂ)最小正周期为 π3　 (Ｃ)最小正周期为 23　 (Ｄ)最小正周期为2π34.ｆ(ｘ)是以 2π为一个周期的奇函数 ,且ｆ -π2 =-1 ,…     

由一道习题的误解引发的思考

现行高中数学新教材 (试验本 )第一册 (下 )的第1 0 7页上有这样一道复习参考题 :函数 ｙ =ｓｉｎ( -3ｘ π4 ) ,ｘ∈Ｒ在什么区间上是减函数 ?许多学生在作业中是这样求解的 :设ｚ =-3ｘ π4 ,则 ｙ =ｓｉｎｚ .∵函数 ｙ =ｓｉｎｚ在区间 [2ｋπ π2 ,2ｋπ 3π2 ]上是减函数 ,∴当 2ｋπ π2 ≤ -3ｘ π4 ≤ 2ｋπ 3π2 ,即　-23ｋπ -51 2 π≤ｘ≤ -23ｋπ -π1 2 (ｋ∈Ｚ)时 ,函数 ｙ =ｓｉｎ( -3ｘ π4 )是减函数 .所以 ,函数 ｙ =ｓｉｎ( -3ｘ π4 ) ,ｘ∈Ｒ在区间[-23ｋπ -51 2 π ,-23ｋπ -π1 2 ](ｋ∈Ｚ)上是减函数 …     

高考数学模拟试题(一)

一、选择题 (每小题 5分 ,共 6 0分 )1 .设集合Ｐ ={1 ,2 },则满足Ｍ∪Ｐ {1 ,2 ,3}的集合Ｍ的个数是 (　　 ) .(Ａ) 1　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 7　 (Ｄ) 82 .如果ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ 2 ) =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ｒ) ,且当 -1 ≤ｘ≤ 1时ｆ(ｘ) =ｘ2 3,则当ｘ∈〔2ｎ-1 ,2ｎ 1 ) ,(ｎ∈Ｚ)时 ,函数的表达式是 (　　 ) .(Ａ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｂ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｃ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 1(Ｄ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 13.已知ｆ(ｘ)是奇函数 ,ｇ(ｘ)是偶函数 ,且ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) =ｘ2 2ｘ 3,则ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)等于 (　　 ) .(Ａ)ｘ2 2ｘ 3　　 …     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）

一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .1 .函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎ 2ｘｃｏｓｘ 的最小正周期是 (　　 ) .Ａ .π2 　　Ｂ .π　　Ｃ .2π　　Ｄ .4π2 圆 (ｘ -1 ) 2 ｙ2 =1的圆心到直线 ｙ =33 ｘ的距离是 (　　 ) .Ａ .12 　　Ｂ .32 　　Ｃ .1　　Ｄ .33 .不     

联想、猜想与证明培养学生思维的广阔性

在数学教学中 ,启发引导学生、深入观察大胆猜想和联想 ,不仅可以培养学生灵活应用数学知识 ,开拓解题思路 ,提高解题能力 ,而且可以培养和发展学生的思维能力 ,还有利于促进和发展学生发明创造能力的形成。1　巧用倍角公式ｓｉｎ2α=2ｓｉｍαｃｏｓα例 1 :求　ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π7的值解 :ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π7=2ｓｉｎ2π7ｃｏｓ2π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π72ｓｉｎ2π7ｓｉｎ4π7ｃｏｓ4π7ｃｏｓ6π72ｓｉｎ2π7=ｓｉｎ8π7ｃｏｓ6π72 2 ｓｉｎ2π7=ｓｉｎ(π+π7)ｃｏｓ(π- π7)2 2 ｓｉｎ2π7=(-ｓｉｎ π7) (-…     

擂台题(45,46)的评注

1　擂题 4 5的评注　　擂题 (4 5 ) (李建潮提供 )　注 :本刊 2 0 0 0年第 5期将本擂题作者姓名误为李建明 ,特此更正 )证明或否定 :在△ＡＢＣ中 ,有ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ ｃｏｓｎＣ≥ｓｉｎｎ Ａ2 ｓｉｎｎ Ｂ2 ｓｉｎｎ Ｃ2(ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 )①本擂题奖金获得者是吴善和 (福建省资源工业学校 ,3 64 0 1 2 )。现刊登吴善和先生的来稿 ,作为本擂题的解答。证明 :　根据待证不等式①关于Ａ、Ｂ、Ｃ的对称性 ,不妨设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,则π/3≤Ａ <π ,0 <Ｃ≤π/3。不等式①等价于ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ -2ｓｉｎｎ Ｃ2 ｃｏｓｎＣ ｓｉｎ…     

关于擂题(45)的对偶命题

《中学数学教学》2 0 0 1年第 4期“擂题 ( 4 5 )的评注”的文后刊出了王扬先生提出的关于擂题 ( 4 5 )对偶命题的一个猜想 :在△ＡＢＣ中 ,设ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 3,则ｓｉｎｎＡ ｓｉｎｎＢ ｓｉｎｎＣ≤ｃｏｓｎ Ａ2 ｃｏｓｎ Ｂ2 ｃｏｓｎ Ｃ2①事实上 ,以Ａ =Ｂ =ε,Ｃ =π -2ε代入①式 ,得2 ｎｓｉｎｎ ε2 ( 1 2 ｎｃｏｓｎε)≤ 2 ,分别令ε→ 0、ε→π/ 2 ,得 0 <ｎ≤ 2。因此 ,猜想不成立。本文提出并证明如下命题 :命题　设λ∈Ｒ ,0 <λ≤ 2 ,则ｓｉｎλＡ ｓｉｎλＢ ｓｉｎλＣ≤ｃｏｓλ Ａ2 ｃｏｓλ Ｂ2 ｃｏｓλ Ｃ2…     

2003年高考数学模拟试题

一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 (　　 ) .Ａ .1　　Ｂ .4　　Ｃ .7　　Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 (　　 ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ　　Ｂ .ｂ >ｃ >ａ　　Ｃ .ｃ >ｂ >ａ　　Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 (　　 ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα　　Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα　　Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα　　Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,…