例析值域中的3类错误

1　把值域当有界例 1　求证 :y=x2 - x 1x2 x 1的值域为[1/3,3].错证　因 (x2 - x 1x2 x 1- 13) (x2 - x 1x2 x 1-3) =(2 x2 - 4 x 2 ) (- 2 x2 - 4 x- 2 )(x2 x 1) 2 =-4 ( x-1) 2 ( x 1) 2( x2 x 1) 2 ≤ 0 ,所以 13≤x2 - x 1x2 x 1≤3(x∈R) ,即 y=x2 - x 1x2 x 1的值域为 [13,3].分析　上面证明显然是把值域当成了 y值有界 ,而并未证明 [1/3,3]是 y的值域 .因为作为值域 ,y值必须具备下面 2点 :(1) y∈[1/3,3];(2 ) y值充满区间 [1/3,3].下面证明 y=x2 - x 1x2 x 1函数值充满 [13,3]: y0 ∈ [13,3],将函数式变形 ,(y0 - 1) x2…     

求函数值域的六种常用策略

一、直接法例1求函数y=1/(2+x2)的值域. 解∵x2的最小值为0, ∴y的最大值为1/2. 又∵当x无限增大时,y接近0,但总是大于0, ∴函数的值域为{y|0相似文献   

无理函数值域求法

研究函数,常要求函数值域。本文介绍一些无理函数值域求法。 1.y=(ax b)~(1/2)(a≠0)型分析 这种类型的无理函数是最基本的。从观察不难看出值域为{y|y≥0且y∈R}. 2.y=px q±(ax b)~(1/2)型 例1 求y=x 4 (2x 4)~(1/2)的值域。 解令t=(2x 4)~(1/2)(t≥0)则x=(t~2-4)/2(t≥0). ∴原函数为y=(t~2-4)/(2) 4 t=((t 1)~(2) 3)/2 (t≥0), ∴y≥2,原函数值域为{y|y≥2且y∈R}.     

从求值域的一道习题探求另一类函数的值域

问题已知f(x)的值域是(-5,-12],求y=1f(x)的值域.探究因为y=f(1x)在(-∞,0),(0, ∞)上都是单调递减函数,由题意知-5f(1x)≥-2,所以y=f(1x)的值域为[-2,-51).反思升华1若改变f(x)的值域为[12,5),求y=f(1x)的值域.探究因为y=f(1x)在(0, ∞)上是单调递减函数,由21≤f(x)<5,可得2≥f(1x)>51,所以y=1f(x)的值域为(51,2].反思升华2又若改变f(x)的值域为(-5,12],求y=f(1x)的值域.探究1因为f(x)∈(-5,21]不是y=f(1x)的单调区间,所以必须把f(x)的范围分成(-5,0),{0},(0,21].当f(x)=0时,y=f(1x)无意义(舍去);当f(x)∈(-5,0)时,f(…     

利用Δ法求函数值域应注意的问题

在求形如 y =ax2 bx cdx2 ex f的值域时 ,可将函数转化为关于x的二次方程 ,通过判别式求出函数的值域 .但利用Δ法求函数值域时应注意以下两个问题 .1 .如果函数 y =ax2 bx cdx2 ex f(d≠ 0 )的分母含关于x的二次三项式 ,分子的最高次是二次或一次或零次 ,函数的定义域为R ,可采用Δ法求函数的值域 .例 1　求函数 y=2x2 2x 3x2 x 1 的值域 .解 :令 g(x) =x2 x 1 ,其Δ =1 2 -4=-3 <0 ,∴故 g(x) =x2 x 1 >,函数 g(x)的定义域为R .∴已知函数可化成(y -2 )x2 (y -2 )x y -3 =0 .∵x∈R且 y≠ 2 ,∴关于x的方程应有Δ =(y…     

求函数值域的几种常用方法

函数是中学教学中的重点内容之一 .由于函数的值域在教材中阐述其求法甚微 ,因而有不少的同学在求函数的值域时 ,无从着手 .为了帮助同学们在求值域时有一套较系统的方法 ,在这里归纳几种常用方法 ,供读者参考 .1　反函数法如函数 y =f (x)有反函数 ,则 y =f -1 (x)的定义域也就是 y =f (x)的值域 .例 1　求 y =f (x) =2 x2 x + 1的值域 .解 :原函数的反函数为y =f -1 (x) =log2x1-x.其定义域由 x1-x>0来确定 ,所以 0 相似文献   

轻松突破求函数的值域

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a};     

借助模式 思路宽阔——对“一道分式函数值域题错解纠错”的纠错

文献[1]在对一道分式函数值域的错解进行纠错时,不慎又给出了一个错误答案.摘录如下:问题求函数 y=(1-x~2)~(1/2)/(2 x)的值域.错解原式变形为(x 2)y=(1-x~2)~(1/2),两边平方整理得(y~2 1)x~2 4y~2x 4y~2-1=0,因为 y~2 1>0且 x 是实数,所以△=16y~4-4(y~2 1)(4y~2-1)≥0,从而|y|≤1/3~(1/2),即原函数的值域是[-(3~(1/2)),3~(1/2)].剖析原函数在化为整式及去根号时,扩大了定义域,从而扩大了函数的值域.解因为函数的定义域为-1≤x≤1,所以 x 2>0,可得0≤((1-x~2)~(1/2))/(x 2)≤1/2.当 x=±1时,左端等号成立;当 x=0时,右端等号成立,所以函数的值域为[0,1/2].在高中数学教学中,常遇到一些分式函数的值域求解问题.学生的解题错误率较高,有的甚至感觉     

“分子常数化”在求分式函数值域上的应用

我们都知道函数y=k/x(k≠0)的值域为{y | y≠0},函数y=x k/x(k＞0)的值域为y∈(-∞,-2√k]U[2√k, ∞),借这两种函数原型,可用"分子常数化"来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:     

使用判别式要谨慎

用判别式解题,由于诸种因素的相互制约,稍不留意.就出差错,今给出几例,剖析如下. 例1 求函数y=(x~2-x-1)/(x~2-x 1)的值域. 错解:将原式化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0,∴ x∈R,故有N=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0,解得-(5/3)≤y≤1.∴原函数的值域为-5/3≤y≤1. 剖析:上述解答的错误源于忽略了当y=1时,方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解的情况. 正解:∵x~2-x 1=(x-1/2)~2 3/4≠0.∴原等式可化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0.∵x∈R,故有△=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0.解得-5/3≤y≤1.∵ 当y=1时.方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解,∴y≠1.故原函数的值域是-5/3≤y<1.     

函数值域求法的策略

一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合…     

小心使用Δ求函数值域和最值

有一类函数的值域或最值可用实系数一元二次方程的根的判别式Δ去求解 .在解题过程中 ,我们要小心使用Δ .例 1　求函数 y =x2 -x - 1x2 -x 1(x∈R)的值域 .错解 :原式可化为 (y - 1)x2 - (y - 1)x y 1=0 .因为x∈R ,所以Δ =[- (y- 1) ]2 - 4 (y - 1) (y 1)≥ 0 ,解得 - 53≤y≤ 1,故原函数的值域为 - 53≤y≤ 1.分析原式在化为关于x的方程 (y - 1)x2 - (y - 1)x y 1=0后 ,在使用Δ时 ,忽略了二次项的系数 y - 1≠ 0的条件 ,须知只有限定 y - 1≠ 0时 ,才能用根的判别式Δ去求解 .正解 :因为x2 -x 1=x - 122 34≠ 0 ,所以原式可化…     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

十种求函数值域的常用方法

一、观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图像的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.例1求函数y=2+1x2的值域.解由上式可知,定义域为R.当x缀R时,2+x2≥2,所以0<12+x2≤12.故函数的值域为｛y｜0相似文献   

函数值域、范围问题常见错解剖析

一、忽视定义域致错例1求函数y=x-(1-2x)~(1/2)的值域.错解由y=x-(1-2x)~(1/2)得X~2 (1-y)x y~2-1=0.因为关于x的二次方程恒有实根,所以有△=[2(1-y)]-4 (y~2-1)≥0,解得y≤1.故函数的值域为(-∞,1).剖析△=[2(1-y)]~2-4(y~2-1)≥0只能保证方程x~2 2(1-y)x y~2-1=0在整个R上有实根,而不能保证在(-∞,1/2](函数的定义域)上也有实根.     

“分子常数化”在求分式函数值域上的应用

我们都知道函数y=xk(k≠0)的值域为{y｜y≠0},函数y=x+xk(k>0)的值域为y∈(-∞,-2k]∪[2k,+∞),借这两种函数原型,可用“分子常数化”来解决分式函数的值域问题.以下举例说明它的用法:例1已知f(x)=54xx+-31(x∈R,x≠35),求f(x)的值域.解因为f(x)=54xx-+31=45(5x-3)+1575x-3=45+5x157-3,又因为51×5x17-3≠0,所以f(x)≠54,所以f(x)∈(-∞,54)∪(54,+∞).点评这是直接应用反比例函数的值域求解.例2已知f(x)=(xx+-11)2(x≥1),求f(x)的值域.解因为xx-+11=(xx++1)1-2=1-2x+1,又因为x≥1,所以x+1≥2,则0<1x+1≤21,所以0-2x+1≥-1,…     

聚焦三角函数的图像与性质

根据三角函数的图像分析其性质1.三角函数的定义域(1)函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ π/2,k∈Z}或(kπ-π/2,kπ π/2)(k∈Z).上述两种定义域的表示法都需要掌握,即角x不能取终边在y轴上的角.(2)函数y=sinx和y=cosx的定义域都是R.2.三角函数的值域(1)函数y=sinx和y=cosx的值域均为[-1,1],函数y=tanx的值域为R.(2)复合三角函数的值域问题比较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换然后再来求值域.一些常用的三角函数的值域要熟记.     

一类可由特殊点求出值域的函数——一道美国《数学月刊》征解题引发的猜想

原问题x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1,求x+y+z-xyz的值域.解读文[1]～[6]给出的各种初等解法,可谓"各显神通".原问题的条件:x,y,z∈(0,+∞)且x2+y2+z2=1,即点(x,y,z)在第一卦限的三维单位球面上,问题为求目标函数:f(x,y,z)=x+y+z-xyz的值域.     

求无理函数值域的常用方法

学生经常产生一些似是而非的错误,如: 例1 求函数y=x (x~2-3x 2)~(1/2)的值域。 错解 由y-x=x~2-3x 2)~(1/2) 可得 (y-x)~2=x~2-3x 2. 整理得　x=（2-y~2)/(3-2y)(y≠3/2). 因而函数的值域为{y|y∈R,y≠3/2}.     

一类无理函数值域求法探究

在函数中,我们常常会遇到求无理函数y=px +a±m((ax2+bx+c)~(1/2))的值域问题．本文通过一道例题探究这类函数值域的几种求法．例题求函数y=x+((x2-3x+2)(1/2))的值域． (2001年全国联赛试题) 方法1方程法函数值域就是使关于x的方程y=f(x)有解时 y值的集合．