数学奥林匹克高中训练题(4)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.如果一个n面体中m个面是直角三角形,就说这个n面体的直度为mn.如果一个n(n≥4)面体的直度为1,棱数为k,那么,n与k应满足().(A)k=3n(B)k=23n(C)k=34n(D)k=2n图12.如图1,P为△ABC内一点,且满足AP=25AB+51AC.则△PBC的面积与△ABC的面积之比为().(A)21(B)32(C)53(D)523.设函数f(x)=2sinx+π4+2x2+x2x2+cosx的最大值为M,最小值为m.则M与m满足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=4图24.如图2,过双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P.若线…     

对凸多面体“直度”猜想的证明

多面体的所有面中,直角三角形的个数与总面数之比称为多面体的直度,本刊文[1]证明了:     

四面体在空间图形计算中的作用

任何一个多方面体都可分割成四面体,进而分割成四个面都是直角三角形的四面体(如图)。因此,可以认为一切多面体都可由基本的单一的四个面为直角三角形的四面体经过有限次组合而得到。本文就此谈谈笔者的一管之见. 首先指出,如图所示的四面体,如果知道其面角中的八个锐角和六条     

用类比法发现多面体的面角和与欧拉定理—兼谈欧拉定理的证明及应用

多边形是平面内的直线形,多面体是空间中的“平面体”,它们可能有一些性质相类似.多边形(凸多边形)有内角和定理,多面体(凸多面体)是否会有类似的性质呢? 一、多边形内角和的回顾 1.n边形有n个内角,每个内角都小于π.     

对一个猜想的证明之修正

《中学数学月刊》2005年第11期刊登了笔对张国棣老师的一个猜想：“n是偶数时，凸n面体的直度的最大值等于1”的证明．因疏忽，该证明出现了失误．由于二面角A1-PB—C与二面角C—P B—O都是直二面角，故A1，P，B，O其实是共面的．特此向读致歉．     

关于作柱锥台的截面

在立体几何中,作多面体的截面是学生感到棘手的问题.而解决好这个问题对于学生深刻理解空间平面与直线的位置关系,发展学生的空间想象力,认识和绘画空间图形很有帮助. “多面积的截面”是指用一个平面去截这个多面体所得截线围成的在多面体内部的平面图形.研究多面体的截面的依据是: 定理一如果一条直线上两点在一个平面内,那末这条直线上所有点都在这个平面内.     

直角四面体的一个性质

对应于平面几何中的三角形,立体几何中最简单而又重要的图形是四面体。如果一个四面体有一个直三面角,我们称它为直角四面体,直三面角的顶点称为直角四面体的直角顶点。直角四面体作为特殊的四面体,我们常把它与特殊的三角形——直角三角形进行类比。 我们知道,对于直角三角形,它有外接圆,其圆心在斜边的中点,半径是斜边的一半。那么,对于直角四面体,它是否存在外接球,若存在,球心在何处,半径是多少?下面的命题回答了这个问题。     

一道中考题的四种解法

题目在直角坐标系xy中,已知直线l经过点(4,0),且与x轴、y轴围成的直角三角形的面积等于8.如果一个二次函数的图象经过直线l与两条坐标轴的交点,以x=3为对称轴,且开口向下,求这个二次函数的解析式,并出它的最大值.     

由内接三角形引发的思考

1.问题的源头 如果一个三角形的三个顶点在一个封闭图形的边界上,那么我们把这个三角形叫做这个封闭图形的内接三角形.例如正方形有内接正三角形,直角梯形有内接等腰直角三角形.笔者对直角梯形中的内接等腰直角三角形（如图1）产生了兴趣，     

兰州一中高一期末考试立体几何试题

一、判断下列结论是否正确(在括号内填上“×”或“、//”): 1.直平行六面体的对角线长都相等。 ( ) 2.各棱相等的四棱柱是正方体。 ( ) 3.通过球面上任意两点,有且仅有一个大圆。 ( ) 4.在空间,如果两个不全等的相似三角形的对应边互相平行,连结它们的对应顶点所围成的多面体必是三棱台。 ( ) 5. “每个面都是有同数边的正多边形,在每个顶点都有同数棱的凸多面体”与“各面都是全等的正多边形的凸多面体”等价。 ( ) 二、填空: 1.等边圆锥侧面展开图是中心角为 的扇形; 2.若圆台的母线长是上下底半径之差的2倍,侧面积是1,则底面与母线的夹…     

内切球半径公式的应用

若n面体有一内切球,把球心与n面体的顶点连结,就得到n个小棱锥,这n个小棱锥体积的和等于已知n面体的体积,每个小棱锥的高都等于已知n面体内切球的半径r.如果S是n面体的表面积,那么n面体的体积     

勾股定理逆定理的应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c,且有a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理,有着广泛的应用。下面举例说明。一、用于判断三角形的形状例1 如图1,△ABC中．BC=a=2n+1,AC=b= 2n2+2n,AB=c=2n2+2n+1, 求证:△ABC是直角三角形     

’99高考两道立几题的剖析

1选择题第10题:如图1,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF// AB,EF与面AC的距离为2.则该多面体的体积为()V·一音S△·…告h一告V·一故V·一音V··P一警·…选(D)9一2 A(B)5(C)6 因ABCDEF是不规则多面体,没有图1公式直接计算,故需要将它进行分割或补形成规则多面体.为以下解题方便,给出一个预备知识. 如果一个三棱柱一个侧面的面积为S,这个侧面与对棱的距离为a,则这个三棱柱的体,。,,1。、~,。_二积V一资as.证明略. 2-一一,二.。 现在来解第10题. 解法一:(分割法)如图2,取AB、CD的中点分别为G、H,连GH、E…     

对一道试题解法的探究

<正>问题一个三棱锥的4个面中有两个等腰直角三角形,一个边长为1的正三角形,这样的棱锥的体积等于多少?此题大多数同学做得不完整,现给出此题的完整解答:不妨记这个三棱锥为S-ABC,此题的关键词为有"两个等腰直角三角形,一个边长为     

会用图形的展开与折叠

日常生活中,我们见到的几何图形和几何体举不胜举,可你注意到许多关于立体图形的问题可以转化为平面图形来解决,而利用平面图形的知识也可以解决有关立体图形的问题了吗?没有亲身经历,相信你一定半信半疑.下面就结合例题和同学们一起“释密”.例1如图1,一个多面体的展开图中,每个面内的大写字母表示该面,被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱.(1)说出这个多面体的名称;(2)写出所有相对的面;(3)若把这个展开图折叠起来成立体时,哪些被剪开的棱将会重合?思路:选取面X相对固定,将面R,面Y想像折起,再遮挡面Q,Z,P即成.解答:(1)这个多面体是正…     

“双等腰直角三角形”模型在解题中的应用

<正>等腰直角三角形是几何中常见的基本图形,而以两个等腰直角三角形为背景的几何问题也屡见不鲜.解决此类问题时,如果我们能抓住这个模型及模型中的常见结论,则可实现问题的有效突破.一、"双等腰直角三角形"模型呈现如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,点E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,连结DE,DF,EF,则有如下结论:     

根据含30°角的直角三角形的性质解题

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个性质是由等边三角形的性质得出来的,它的主要作用是解决直角三角形中的计算问题.下面举例说明它的应用.     

对一个数学问题的进一步引申

本文讨论的"数学问题"是<数学通报>2000年12月号问题1288,即 "在一个正三角形中内接一个边长分别为1,2,5的直角三角形,求该正三角形面积的最大值."     

由欧拉公式所想到的

有这么一道题:如果用形状、大小完全相同的正多边形作为面,所围成的多面体是正多面体,正多面体只有五种:图1请你数一数图1中每一个多面体的顶点数(V),棱数(E)和面数(F),并把结果记入表1中:表1名　称各面形状顶点数(V)面数(F)棱数(E)V+F-E正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体　　表1中其余各项好填,而顶点数和棱数填到正十二面体和正二十面体时,如果直接从立体图形去数,是很容易出错的.事实上,由V+F-E=2,即欧拉(Euler)公式:顶点数+面数-棱数=2,即可正确填出.那么,可否整体考虑正多面体的各面形状,面数(F),棱数(E)和顶点数(V…     

用基本量方法破解平面几何问题

若在一个问题系统中,存在着n个量,使其余量都可以用这n个量来表示,而这n个量中的任何一个量不能用其它的n-1个量表示,则我们就称这n个量为这个问题系统中的基本量．例如,一般的三角形有三个基本量,直角三角形、等腰三角形有两个基本量,等腰直角三角形、正三角形仅有一个基本量,即多一个附加条件可以减少一个基本量;又如各类四边形的基本量的个数如下表：