关于丢番图方程x3+y3=2z2与x3+y3=2z4

获得了丢番图方程x3+y3=2z2的通解公式,证明了方程x3+y3=2z4仅有适合(x,y)=1的整数解x=y=z=1对广义Fermat猜想的研究具有重要作用.     

关于丢番图方程x~3±y~6=Dz~2(Ⅱ)

设D是无平方因子且不被 6k+1形素数整除的正整数 ,证明了丢番图方程x3±y6 =3z2 ,x3+y6 =6z2x3-y6 =z2 ,x3-y6 =2z2 均无yz≠ 0的整数解 ,方程x3+y6 =z2 仅有整数解 1+2 3=32 ,方程x3+y6 =2z2 和x3-y6 =6z2 均有无穷多组正整数解 ,并且获得了全部正整数解的通解公式 ,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展     

方程w~3+x~3+y~3+z~3=w+x+y+z=4的整数解

<正>文[1]给出3元3次方程x3+y3+z3=x+y+z=3①仅有4组整数解(x,y,z)=(1,1,1),(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5)的证明.本文将方程1进一步推广为4元3次方程w3+x3+y3+z3=w+x+y+z=4②的形式,并得到它的全部整数解,当w=1时方程2退化为方程1.首先,引入著名的马尔可夫方程     

方程组解法归类

一、设比值法 例1解方程组{x＋y＋z=800,①2x＋8y＋4z=1600,②x：z=2：3③ 解析：本题中的第三个方程是比例式，根据比例式的性质可设z=2k（k≠0。本理同）。z=3k。那么由原方程组可得{5x＋y=800,④2k＋y=200⑤     

高等数学综合练习

1填空题 1）向量a=（-3,0,4）的单位向量是_。 2）若直线4/x-1=3/y+2=1/z与平面Ax+3y-5z+1=0平行,则A=_。 3）方程2x2+y2+3z2=1所表示的曲面是_。 4）函数z= 　的定义域是_。 5）空间曲线x=x（t）、y=y（t）、z=z（t）在t=to处的法平面方程为_。 6）设 　,则     

巧解填空题

纵观近两年各地初中数学升学考试试卷新颖试题较多,涉及的能力也比较广泛,一些填空题已经不局限于“送分”,而考查了较多能力.因此同学们在平时解题时,如何探索解题规律,讲究解题方法,注意培养自己观察、比较、联想等思维能力是非常重要的.1 观察法 例1 若x 2y 3z=10、4x 3y 2z=15,则x y z=____. 析解1:墨守陈规的学生从解方程组入手,先从已知的两个方程消去x,得y=5-2z,然后分别代入己知的两个方程可得x=z,从而得x y z=z (5-2z) z=5.     

数学奥林匹克初中训练题(58)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1 .两位数x5与三位数 3yz之积等于 7850 ,则数字x、y、z分别为 (　　 ) .(A)x =2 ,y =1 ,z=2　 (B)x =3 ,y =1 ,z=2(C)x =2 ,y =1 ,z=4　 (D)x =4 ,y =1 ,z=22 .如果方程 (x -a) (x -b) =M的两根为α、β ,那么 ,方程 (x -α) (x - β) =-M的两根平方和为(　　 ) .(A)a2 +b　　　　　　 (B)a +b2(C)a2 +b +b2 (D)a2 +b2图 13 .如图 1 ,EF∥BC ,S     

一个不等式和两个国际数学奥林匹克题

定理:如果x,y,z∈R+,那么x3+y3+z3+3xyz≥x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y(当且仅当x=y=z时取"="号)     

方程为多元搭桥

面对含二元、三元 ,甚至多于三元未知问题时往往会令我们束手无策 ,但方程思想为我们指明了一条光明大道 .【例 1】　已知x ,y ,z∈R ,x+y +z=π ,x2 +y2 +z2 =π22 ,求证0 ≤x≤2π3 ,0 ≤y≤ 23 π ,0 ≤z≤ 23 π分析 :x ,y ,z为三元尽管具有对称性但让我们无从下手 .怎样才能减少变元从而化归为我们所熟悉的问题呢 ?且看方程解 :由题知　y+z =π-x ①y2 +z2 =π22 -x2 ②①2 -② y·z =x2 -πx+ π24= (x -π2 ) 2 ③由①③可得y·z是方程t2 -(π-x)t + (x-π2 ) 2 =0的两实数根 .∴Δ =(π -x) 2 -4 (x -π2 ) 2 ≥ 0 x· ( 3x-2π)…     

一道数学奥林匹克题的简证及推广

1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证　由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而　 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明　推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称…     

二元一次方程组

基础篇课时一　一次方程组有关概念及解法诊断练习一、填空题1.在方程:xy=4,x+y=2,x2-y=3,x+y=z,x+1y=1中,属于二元一次方程的是.2.方程3x+2y=-1的一个解中x=2,则这个解中y=.3.已知方程12x-13y=1,用含x的代数式表示y=.4.在求解二元一次方程组x=2y,2x-3y=4时,用的方法消去未知数x简便,消去未知数x后,就把问题转化为问题.二、选择题1.若关于x,y的二元一次方程2kx+y=1的解是x=2,y=-7.则k的值为(　　)(A)4.　(B)2.　(C)3.　(D)-2.2.下列方程组中是二元一次方程组的是(　　)(A)x+y=1,xy=3.　　(B)3x+y=2,2y+z=5.(C)x+3y=4,x+1y=3.(D)x=3,2x-3…     

关于Diophantine方程ax(x+1)…(x+z)=y(y+1)…(y+z)

设a是大于1的正整数。本文运用Pell方程的基本性质证明：当a是平方数时,方程ax（x＋1）…（x＋z）=y（y＋1）…（y＋z）仅有有限多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2;当a是非平方数时,该方程有无穷多组正整数解（x,y,z）适合y-x=2。     

方程(x4+y4+z4)2=2(x8+y8+z8)的整数解

给出了方程(x4 y4 z4)2=2(x8 y8 z8)的所有整数解(x,y,z).     

关于不定方程组7x2-5y2=2,24y2-7z2=17

研究了不定方程组7x2-5y2=2,24y2-7z2=17,给出了求此不定方程组正整数解的一种方法.并求出了此方程的两个解:x=y=z=1;x=131,y=155,z=287.     

计算机数学基础(A)综合练习

1　选择题( 1)设z =2xy3 ,则2y=(　　)。　A 2 z y2 　　　　　　　B 2 z x2　C 2 z x y　　D 2 z y x( 2 )设z =2xy3 ,则z y x =2y =2 =(　　)。　A 8　B 32　C 2 4　D 4 8( 3)函数z=ln( 4 -x2 - y2 )x2 +y2 - 1的定义域为(　　)。　A x2 +y2 <4　B x2 +y2 >1　C 1相似文献   

第二十一届俄罗斯中学生数学奥林匹克试题与解答(续)

十年级 1.求方程组{xy z=94,x yz=95}的整数解.解 x=95,y=0,z=94或x=31,y=2,z=32. 第二个方程减第一方程,得 (x-z)(1-y)=1。依题意,x,y,z应为整数,故仅有两种情形: 1)x-y=1,1-y=1,于是y=0,代入方程组得x=94,x=95。     

分式求值 灵活消元

同学们在学习分式的时候,经常会遇到有关多元的求值问题,解答时,可以利用消元的方法,化难为易.一、取值消元法例1已知abc=1,那么aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=.解:不失一般性,取a=1,b=1,c=1,则原式=13+13+13=1. 二、主元消元法例2已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,则5x2+2y2-z22x2-3y2-10z2等于(A)-12 (B)-192 (C)-15(D)-13 解:以x、y为主元,那么4x-3y=6z,x+2y=7z .∴x=3z,y=2z.∴原式=5×9z2+2×4z2-z22×9z2-3×4z2-10z2=-13.选D. 三、比值消元法例3已知x2=y3=z4,则x2-2y2+3z2xy+2yz+3zx的值是.解:设x2=y3=z4=k,得x=2k,y=3k,z=4k…     

高等数学综合练习

1　填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分…     

竞赛题中的求最值问题

二次函数y =ax2 +bx +c(a≠ 0 )配方后可变为标准形式y =a(x + b2a) 2 + 4ac-b24a (a≠ 0 ) ,由此可以很快求出y的最值 ,初中数学中 ,有不少的最值问题 ,常常可以转化为二次函数来求解 ,下面通过几个例子来介绍几种求解方法。一、主元代入法例 1.　已知x、y、z均是实数 ,且满足x + 2y -z =6x -y + 2z =3求x2 +y2 +z2 的最小值。 (2 0 0 1年安庆市竞赛题 )解 :原方程组变为 :x + 2y =6 +zx -y =3- 2z,解得 x =4 -zy =z+ 1于是x2 +y2 +z2=(4-z) 2 + (z+ 1) 2 +z2=3z2 - 6z+ 17=3(z - 1) 2 + 14当z=1(此时x =3,y =2 )时 ,x2 +y2 +z2 取到最小值…     

排序法解题数例

所谓排序法就是对问题中的某些元素按照一定的顺序进行排列,通过对这种顺序关系的研究,而使问题获得解决的一种思考方法。排序法作为一种思维方法,在中学数学中有着广泛的应用,下面举例加以说明。例1 求方程w!=x!+y!+z!的所有正整数解。解:设x≥y≥z,则有w≥x+1, ∴(x+1)!≤w!=x!+y!+z!≤3x! ∴x+1≤3,即x≤2。因此,只能是x=y=z=2,w=3。例2 如果自然数x_1,x_2,x_3,x_4,x_5