素数个数问题的三种新证法

我们已熟知欧几里得和欧拉给出过素数无穷多的证明,据说目前已有十几种证明方法,笔者现在提供三种新证法。 文[1]介绍了笔者发现并整理的素数公式——埃拉托塞尼筛法的公式。埃氏筛法是用素数p_1,p_2,…,p_k去筛p_(k 1)~2以内的合数,     

一类特殊等差数列中的素数个数问题

欧几里得在古希腊时期用反证法证明了在自然数序列中存在无穷多个素数,本文是该命题的一种推广.注意到自然数序列是一个首项为1公差为1的等差数列,本文证明把公差1换做任意一个正整数,保持首项为1不变,则得到的等差数列中仍然存在无穷多个素数.     

欧几里德与素数个数的无限性

种种事例表明,不确切的传闻能潜入人们的意识,久而久之则为人们所司空见惯。比如,欧几里德的《原本》卷四命题20,是一个真正的数学杰作,在这个欧几里德对“素数个数无限性”的众所周知的证明中,我们发现了一件逻辑(推理)珍品,著名英国G.H.哈代称颂为“象它被发现时一样新颖和意义深远——两千年来没有     

三点共线问题的一种证法

定理同底、同侧、等积的三角形的第三顶点共线,此线平行于底边. 定理易证,用处却不小.     

三种水果的个数

有雪梨、苹果、桔子各一堆，它们的个数从小到大顺次排列成三个连续的二位数（20以内），已知雪梨7分一个，苹果5分一个，桔子《分一个，各堆水果的总价（以分为单位）皆是二位数，组成这三个数的六个数码是4、5、6、7、8、9．你能说出各堆水果的个数吗？答案设雪梨有（10＋x）个，苹果有（11＋x）个，桔子有（12＋x）个，则雪梨总价为（70＋7x）分，苹果总价为（55＋5x）分，桔子总价为（48＋4x）分．由（55＋5x）知x必是偶数（若x为奇数，则雪梨总价的个位数为0，与已知的4、5、6、7、8、9不符），易知当x＝4时满足条件．故雪梨有14个，苹…     

素数的个数是有限的吗

在自然数列中,究竟哪些是素数呢？公元前300多年,希腊学者埃拉托斯特尼提出了一种方法,他在一张纸上写上自然数列的数字,把它贴在一个框子上,然后把其中的1及合数一个个地挖去,得到一个有许多小孔的像筛子一样的东西,把素数留了下来,得到一张表,这张表叫做“埃拉托斯特尼筛子”。     

关于素数个数的又一个不等式

对于正实数x,设π（x）表示适合p≤x的素数p的个数.对于正整数k、n,设fk（n）=π（x）＋π（2kx）＋…＋π（nkx）及Sk（n）=1k＋2k＋…＋nk.证明了：当x≥4且n≥[（k＋1）e1.2]时,fk（n）≥π（Sk（n）x）.     

素数分布的一种新筛法

通过给出奇合数的分解公式,揭示了奇合数与奇素数的构成规律,并在此基础上提出了寻求素数分布的一种简便易行的新筛法。     

关于Ramsey数下界的一个证明思路

已知图K3的4色Ramsey数的上下界是51≤r4(3)≤62,利用"无和集"划分,提出改进其下界的一个证明思路。     

关于极限公式lim↑n→∞[1＋1／n]^n=e的两种新证法

利用导数知识的经济意义和罗彼达法则，给出了重要极限公式lim↑n→∞[1 1/n]^n=e的两种新证法．     

质数及其判定

介绍了质数及质数个数是无穷的判断方法,结合同余式与不定方程的求解中与质数形状有关的问题进行了归纳总结,有助于克服判断一个整数是合数还是质数以及质数的形状这个数论学习难点.     

巧思妙解与数学证明

对数学题巧思妙解的追求，体现了数学崇尚简捷的理念．“简捷的思路、简捷的方法、简捷的计算、简捷的证明以及简捷的陈述等伴随着机思、妙想、巧解、奇证，成为数学的组成部分，是数学领域中的七彩光环……”本从数学证明的角度，向读介绍巧思妙解的案例。     

自然数幂和通项公式证明的新方法

针对自然数幂和问题,利用多项式和矩阵理论,得到了一种计算自然数幂和通项公式的方法,给出了该方法的具体推导过程．此方法的优点是将自然数幂和问题转换为了线性方程组求解问题,更浅显易懂．     

关于奇完全数的素因子次数

介绍了与完全数有关的概念和结论,利用数的标准分解式给出了奇完全数的素因子次数的特征.     

关于正整数数列中素数的分布规律

把正整数数列或奇数列中的指定素数i的倍数用“●”表示、其它数用“○”表示 ,构成单行阵列Mi,亦称图排 ,通过若干个素数值小于i的图排的迭加投影 ,求得由“●”和“○”表达的正整数数列或奇数列的图排 ,其中的“●”为合数、“○”即为素数 ,初步研究了Mi的一些特性和素数在正整数数列中的的分布规律     

素数分布等倍函数

通过对欧拉乘积和黎曼猜想的探讨,发现一个素数分布逼近原理。这个原理表示：不大于x的素数个数,x越大,越逼近π（x）数值。在此基础上,得到素数分布的基础函数。然后转换为两个函数。s（x）函数是其一,称为等倍函数。这个函数虽然与素数定理Li（x）不相同,但是,其本源是欧拉乘积和黎曼猜想。这就是说,函数s（x）与Li（x）都有一个共同的原理。这里给出素数分布等倍函数与计算、数值和分析。     

数学中三种新的数量形式

分析了传统无穷理论体系及与之相关的数学内容中的缺陷，提出数学中三种新的数量形式，并构造了一个与新无穷观相对应的新数谱。