用函数不动点原理破解数列单调性

对于函数f（x）,方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点．通过不动点原理、函数单调性以及数学归纳法,可以破解、揭示出一些精彩的数列不等式串的命题玄机．笔者尝试给出两个相关定理和两个推论,并予以证明,再用近几年的竞赛题、高考题以及模拟题来说明这两个定理适用的广泛性．     

函数单调性在解题中的应用策略

函数的单调性是函数的重要性质之一。在解决求函数的值域和参数的范围、解(证明)不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;在历年的高考中对函数的单调性考查都有涉及;灵活应用函数单调性解题,能取到事半功倍、简捷明快之效果。下面分类探讨一下应用函数单调性解题的策略。     

不动点定理与Picard迭代数列的收敛性 ——不动点方法在大学生数学竞赛试题解题中的应用

给出了一类连续函数的不动点定理及其Picard迭代的收敛性.作为应用,给出了历届大学生数学竞赛试题的一种新的解答,该解答不同于官方网站或参考资料提供的标准解答,同时指出了这些试题中的共同特点是Picard迭代收敛于相应函数的不动点.     

数学归纳法在解题中的技巧

数学归纳法作为一种特殊的计算技巧和方法,在高考试题中的应用十分广泛．为此,本文将结合几道典型的例题来阐述数学归纳法的应用．     

浅谈不动点在解决数列的单调性及收敛性的应用

近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐,如求数列的通项公式,利用不动点研究数列的单调性等等．本文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性,并借此解决一些高考题．     

例谈数列单调性在解题中的运用

数列单调性是数列的核心内容之一 ,也是高考中重点考查的知识 ,为进一步帮助学生对数列单调性建立全面、系统的知识 ,本文结合高考题 ,对数列单调性加以归纳总结 ,以备复习中选用。1　利用等比数列的单调性解题一般地 ,在等比数列 {ａｎ}(公比为 ｑ)中 :(Ⅰ ) {ａｎ}是递增数列     

函数中的不动点问题

函数是贯穿在中学数学中的一条主线，是学好高等数学的基础，每年的高考对函数问题的考查所占的比例都相当大，可以说是常考常新．其中涉及函数的“不动点”问题，是高考命题的新动向．下面笔者从全国部分省市高考模拟试题和近年的高考试题中精选出四道典型例题并予以解析，旨在探索解题规律，总结解题方法．     

求导数法在高考题中的应用分类简析

近年来新课程改革的高考试卷体现了以下命题特点与趋势:①向新增内容倾斜,如向量、导数、概率等内容占到44%左右;②对新增内容的考查,主要是以方法的形式出现,重在考查运用数学思想的意识与能力;③强化代数推理,淡化几何证明;④降低应用题的难度.     

函数不动点在解题中的应用(下)

2 .2　利用函数不动点解方程例 7　若α、β是二次函数F(x) =Ax2 +Bx +C的两个不动点 ,则α、β也是四次函数F(F(x) ) =A(Ax2 +Bx +C) 2 +B(Ax2 +Bx +C) +C的两个不动点 .证明 :由Aα2 +Bα +C =α ,Aβ2 +Bβ +C=β消去B、C ,可得F(x) =x +A(x-α) (x - β) .则F(F(x) ) -x=F(x) +A[F(x) -α][F(x) - β]-x=A(x -α) (x - β) +A[x +A(x -α)·(x - β) -α][x +A(x -α)·(x - β) - β]=A(x -α) (x - β) {[1 +A(x - β) ]·[1 +A(x -α) ]}.所以 ,α、β是F(F(x) )的两个不动点 .从例 7的证明中看出 :F(F(x) )的另两…     

“共线向量定理”在解题中的应用

近几年的高考试题，很多都是以向量知识为背景，与三角函数、数列、解析几何、立体几何等知识交汇的综合性问题向量作为数学的一种工具，在中学数学解题中的作用越来越被人们所重视本就“共线向量定理”在解题中的应用加以探究，不妥之处敬请同行斧正。[第一段]     

性质迁移在解题中的应用

本在论述函数的性质及其迁移的基础上，通过多个实例说明了性质稳定移在求函数解析式，求值、判断函数的单调性、比较大小、证明不等式，解方程等解题教学中的实际应用。     

导数法在高考题中的应用归类分析

新编高中教材试验修订本的第Ⅲ册增加了导数的内容，这部分内容是研究函数性质的强有力工具，是高考命题的一个新热点，本文就近几年的高考试题，例谈导数在解高考题中的应用．     

例说函数迭代与不动点理论在中学数学中的应用

20 0 1年上海高考数学试题第 (2 2 )题 ,2 0 0 2年上海春季高考数学试题第 (2 2 )题均是以高等数学中的函数迭代与不动点理论作为素材的“高观点题” ,作为一名中学数学教师应当知道这些题的高等数学背景及其求解原理的科学依据 ,这样才能看得透 ,讲得清 .本文简单介绍这一定义     

函数不动点在解题中的应用(上)

设F(x)是关于x的一个代数函数 ,称方程F(x) =x的根为函数F(x)的不动点 .本文以实例来说明求函数不动点的方法和函数不动点在数学解题中的应用 ,供读者参考 .1　求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧 ,才能使问题迅速获解 .例 1　M是形如f(x) =ax +b(a、b∈R)的实变量x的非零函数集 ,且M具有下列性质 :(i)若f、g∈M ,则g f∈M ,其中定义(g f) (x) =g[f(x) ];(ii)若f∈M ,且f(x) =ax +b ,则反函数f-1也属于M ,这里f-1(x) =x -ba ;(iii)对M中每一个f,存在一实数xj,使得f(xj) =xj.求证 :总存在一个实数k ,对所有f∈M有f…     

求“不动点”问题

探求了数学分析中某些不动点问题的解题途径、规律和策略。     

导数在不等式中的应用

导数是研究函数的工具,从高考试题来看,往往是融函数、导数、不等式、方程等知识于一体,通过演绎证明,运算推理等理性思维,解决单调性、极值、最值、切线、方程的根等问题,这类问题综合性强,内容新,背景新,方法新,是高考命题的丰富宝藏,在教学中应引起足够重视.例1设函数f(x)=(     

函数单调性在解题中的应用

单调性是函数的一个基本性质．该性质有广泛的应用,主要用于如下几个方面．一、比较两个数的大小 例1比较log2（x＋1）与log2（2x＋3）的大小．     

求导数法在高考题中的应用分类简析

近几年来新课程改革的高考试卷体现了以下命题特点与趋势:①向新增内容倾斜,如向量、导数、概率等内容占到44%左右;②对新增内容的考查,主要是以方法的形式出现,重在考查运用数学思想的意识与能力;③强化代数推理,淡化几何证明;④降低应用题的难度.以上4点均与导数的教学与考查密切相关,且看近3年新课程高考卷对导数的考查细目表(理科):