小题大做,借题发挥--从两道习题讲评看数学解题后的思考

全日制普通高中教科书(必修)数学第二册上第96页习题4：△ABC的两个顶点的坐标是(-6，0)、(6，0)，过AC、BC所在直线的斜率之积是-4/9，求顶点C的轨迹方程：第108页习题1：△ABC一边的两端点是B(0，-6)和C(0，6)，另两边所在直线的斜率之积是4/9，求顶点A的轨迹．从两次作业的反馈，信息来看，绝大多数同学都能顺利解决这一问题，习题课上笔者进一步引导学生思考下面两个问题：能否从上述解答中得到有益的启示?能否从它们的轨迹是椭圆或双曲线概括出一个一般的结论?     

关于一次方程组的解法归类

高中新教材《数学》第二册 (上 ) ,第 1 0 8页习题有这样一道题目 :△ABC一边的两个端点是B( 0 ,6)和C( 0 ,-6) ,另两边所在直线的斜率之积是49,求顶点A的轨迹 .容易求得顶点A的轨迹方程是y23 6-x281 =1 (x≠ 0 ) ,它表示中心在原点 ,焦点在y轴上的双曲线 (除去与y轴的交点 ) .这是一道看似平凡但很有内涵的题目 ,有必要作进一步的思考 .为此 ,我们将原题中的数字字母化 ,结果将会怎样呢 ?△ABC一边的两个端点是B( 0 ,a)和C( 0 ,-a) (a >0 ) ,另两边所在直线的斜率之积是常数m(m ≠ 0 ) ,求顶点A的轨迹 .解 :设顶点A的坐标为 (x ,y) ,…     

在过程学习中培养创造性思维

高中数学课本（上册）第96页有这样一道题：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)、(6，0)，AC、BC所在直线的斜率之积等于-（4/9），求顶点C的轨迹方程。     

对两道课本习题的探究性设计

题1(课本96页第4题)△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在的斜率之积等于-49,求顶点C的轨迹方程.(答案:x236+y216=1(x≠±6))题2(课本108页第1题)△ABC边的两端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是49,求顶点A的轨迹方程.(答案:y236-x281=1(x≠0))以上两道题看似简单,但却蕴藏着一定的联系与规律,引导学生对它们进行深入探索,必能有所发现、有所收获,从而能极大地调动学生的积极性,提高学生的探究能力和创新意识.1对习题的探究提出问题上面两道习题的结论是否具有一般性?什么情况下轨迹为椭圆?什么…     

一道课本习题的引申与推广

题目 △ABC的两个顶点A．B的坐标分别是（-6．0）,（6,0）．边AC．BC所在直线的斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程。     

由课本习题得出的几个结论

（人教版高二数学106页练习4）△ABC的两个顶点A,B坐标分别是（-6,0）,（6,0）,边AC,BC所在直线斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程．     

一道课本习题与两道高考题

在新教材第二册(上)96页(椭圆部分)有一道练习:“△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程.”这道题本身并不难,我们往往在做过、讲过之后也就随手扔掉了,并没有去挖掘这道题背后的丰富内涵.在教材的108页(双曲线部分),又出现了这样一道习题:“△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是4/9,求顶点A的轨迹.”前者的轨迹是一个椭圆,而后者的轨迹是一条双曲线.实际上教材就是在提示我们:这两个问题蕴涵着一个一般的规律,应该做进一步的挖掘和推广.然而很少有人能意识到教材的这一提示.自然的,我们可以从以下两方面加以挖掘(想必读者自己也会给出答案,本文略去证明):     

2003年一道高考试题的课本探源与拓展

我们先来看课本上的两道习题: 1.△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在直线的斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程.(试验修订本·必修,第二册P96)     

晓一声而操千曲 观一剑而识兵器— 一道习题的推广及应用

一、题目△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6,0）、（6,0）,边AC、BC所在直线的斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程。     

对一道习题探究后的思考

1.问题的提出人民教育出版社出版的高中数学第二册(上)P96练习4是这样一个问题:△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-6,0),(6,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-94,求顶点C的轨迹方程.解:设点C(x,y),则由题意得:x-y6·x y6=-49,化简得:3x62 1y62=1(y≠0),即为所求点的轨迹方程.2.     

一道练习题的推广

引导学生对典型的题目进行剖析、引申、推广,不仅能拓展他们的知识,而且能培养他们的创新意识和创新能力. 高中数学新教材第二册(上)第96页有一道练习题:△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),边AC,BC所在直线的斜率之积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程.     

从一道课本习题得出的几个有趣结论

1 问题的提出全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第二册(上)习题8.3有如下一道习题: △ABC一边的两个顶点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是4/9,求顶点A     

到两定点连线斜率之积为定值的轨迹

上海教育出版社出版的高二数学教材配套练习册中有这样一道题：己知△4BC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），AC、BC边所在直线的斜率（假定直线的斜率均存在，以下不再说明）之积等于-4/9，求顶点C的轨迹方程．     

对一道课本习题的探索和反思

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2—1（苏教版）第39页习题2．3（1）第4题：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率之积为9/4，求顶点A的轨迹．     

椭圆与双曲线的第三定义

问题:△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在的直线的斜率乘积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程。1.解这个问题,并书写解答过程;2.请在查阅数学资料的基础上改变原题中的条件,形成新的数学命题;     

利用《几何画板》探究课本习题

高中《解析几何》课本上两个相似的习题:△ABC一边的两顶点是B(0,-6),C(0,6),另两边的斜率乘积是-,求顶点A的轨迹;△ABC一边的两顶点是B(0,-6),C(0,6),另两边的斜率乘积是,求顶点A的轨迹。对这两个习题的深入探讨研究,不仅可以巩固圆锥曲线的基本知识,而且可以培养学生发现问题、提出问题的能力,提高学生探究和创新的能力。在习题的基础上,将条件开放得到的一类轨迹探索问题:P点与两个定点D(-a,0),D'(a,0)的连线的斜率乘积为定值m,则P的轨迹是什么?一、轨迹作法⑴作出直角坐标系;⑵在x正半轴上任意作点D及其关于(0,0)的对称D';⑶以D…     

圆锥曲线的轨迹问题解析

例1 △ABC的一边的两端点是B（0，6）和C（0，-6），另两边的斜率的乘积是-4/4，求顶点A的轨迹.     

椭圆与双曲线的另一定义

一、任务 问题 ΔABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在直线斜率的积等于-4/9,求顶点C的轨迹方程。 1.解这个问题,并书写解答过程; 2.请在查阅数学资料的基础上改变原题中的条件,形成新的数学命题; 3.把你所改编的数学问题给出解答,并指出轨迹方程所表示的曲线; 4.在你所改编的数学问题中,因条件不同而导致的结论有何不同?能否从问题及其解答中得到有益的启示?     

它们的轨迹是椭圆(高二、高三)

1.到两定点距离之和为定值m(m大于两定点间的距离)的点的轨迹. 例1 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 分析在图1中,由△ABC     

浅谈联想和想象在数学解题中的作用

对数学概念、判断、推理进行加工 ,需要运用分析、综合、归纳、演绎等逻辑思维方法 ,而对闪现在脑海中的数学形象进行加工 ,则需要运用形象思维的方法 ,联想和想象是数学形象思维的两个主要方法 .本文拟以徐州市高二年级一道期末考试压轴题为例 ,谈谈联想和想象在探索解题思路中的作用 .题目 :设△ABC的两个顶点的坐标分别为C( 0 ,0 ) ,A( 2 3 ,0 ) ,三个内角A ,B ,C满足 2sinB =3 (sinA sinC) .( 1 )求顶点B的轨迹方程 ;( 2 )过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P ,Q两点 ,当θ∈ ( 0 ,π2 )时 ,求△APQ面积S的最大值 .图…