四边形中的一个定理及应用

定理在凸四边形ＡＢＣＤ中,对角线ＡＣ与ＢＤ交于Ｏ点,设△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ、△ＤＯＡ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４,则有Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４．图１证明如图１,∵Ｓ１Ｓ２＝ＡＯＯＣ,Ｓ４Ｓ３＝ＡＯＯＣ,∴Ｓ１Ｓ２＝Ｓ４Ｓ３,即Ｓ１·Ｓ３＝...     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

应用重叠原理解题例说

重叠原理　设两个同类量Ａ、Ｂ,其重叠部分的量为Ｃ,则Ａ、Ｂ两量的总量Ｖ＝Ａ＋Ｂ－Ｃ（重叠部分只计一次）．有些数学问题用重叠原理来解,显得新颖巧妙,简捷明快．一、直接应用图１例１　如图１,两个半径为１的１４圆扇形Ａ′Ｏ′Ｂ′和ＡＯＢ叠放在一块,ＰＯＱＯ′是正方形,则整个阴影图形的面积是　　．（１９９８年希望杯初一赛题）解：由重叠原理Ｓ阴＝２Ｓ扇ＡＯＢ－Ｓ正方形ＯＰＱＯ′＝π－１２．例２　如图２,Ｒｔ△ＡＢＣ,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ点在ＡＢ上,ＡＤ＝ＡＣ,ＢＥ＝ＢＣ,则∠ＤＣＥ的大小是（　　）．Ａ…     

基本图形解题功能探析

在平面几何问题中,根据基本图形性质寻找证题思路,往往能收到事半功倍之效。本文试就此作一探讨。　　如图１,Ｒｔ△ＡＣＢ中,ＣＤ⊥ＡＢ,则（１）∠１＝∠Ｂ,∠２＝∠Ａ;（２）△ＡＣＢ∽△ＡＤＣ∽△ＢＤＣ;（３）ＣＤ２＝ＡＤ·ＤＢ,ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ,ＢＣ２＝ＢＤ·ＡＢ;（４）ＡＣ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＢＤ,ＣＤ２∶ＢＣ２＝ＡＤ∶ＡＢ,ＡＣ·ＢＣ＝ＣＤ·ＡＢ。这是平面几何中的一个重要基本图形,在解决一些有关线段的问题中,利用如上性质,能较快找到证题思路,达到迅速、简洁解题的目的。　　例１－如图２,Ｏ为正方…     

证明线段等积式常用方法举隅

初中平面几何中关于证明线段等积式的问题 ,是常见的一种题型 ,它是教学的一个重点．现举例介绍八种常用方法．一、利用平行线分线段成比例定理例１ 如图（１） ,ＡＤ是△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线 ,交ＢＣ于Ｄ点 ,求证ＡＢ·ＤＣ＝ＢＤ·ＡＣ．ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．四、利用射影定理例４ 如图（４） ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ＝ＡＣ ,以ＡＢ为直径作圆交ＢＣ于Ｄ ,Ｏ是圆心 ,ＤＭ是⊙Ｏ的切线交ＡＣ于Ｍ ,求证ＤＣ２ ＝ＡＣ·ＣＭ．思路分析 :证明△ＡＤＣ是Ｒｔ△ ,并且ＤＭ⊥ＡＣ ,就可利用射影定理证得结论．五、利用圆幂定理例５ 如图（５…     

一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…     

求二面角的题型与对策

二面角是立体几何的重要概念之一,也是高考数学重点内容．求二面角的大小,关键是确定二面角的平面角,不同类型的题目所作二面角的平面角（辅助线）的方法也不同,本文针对求二面角的常见题型研究其解题对策,与读者商榷．方法一　根据定义直接作二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．例１　空间四边形ＡＢＣＤ,ＡＣ⊥ＢＤ,且△ＡＢＣ的面积为１５ｃｍ２,△ＡＣＤ的面积为９ｃｍ２,若ＡＣ＝６ｃｍ,ＢＤ＝７ｃｍ,求二面角Ｂ－ＡＣ－Ｄ的大小．图…     

数学中考综合训练题

数学中考综合训练题陕西师大附中边团结一、选择题１．如果３ｘ－２ｙ＝０，则ｘｙ为（）．Ａ．２３Ｂ．３２２Ｃ．２３或无意义Ｄ．无法确定２．如图１，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ梯形ＤＢＣＥ，则ＤＥＢＣ为（）．Ａ．１２Ｂ．２２Ｃ．１４Ｄ．２３３．...     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

勾股定理及其逆定理的综合应用

勾股定理及其过定理是几何中十分重要的两个定理，它们在解题中应用比较广泛．现举几例说明它们在几何解题中的综合运用．一判断三角形形状例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，且ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ．求证：△ＡＢＣ为直角三角形．证明在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，由勾股定理得ＡＢ２＝ＢＤ２＋ＡＤ２，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＤ２＋２ＡＤ２＋ＣＤ２．ＡＤ２＝ＢＤ·ＣＤ，ＡＢ２＋ＡＣ２＝（ＢＤ＋ＣＤ）．即ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．根据勾股定理的逆定理知△ＡＢＣ为直角三角形．二求角度例２如图２，ＡＢＢＣ，ＣＤＡ…     

巧补形妙解题

补形方法是几何中的一种重要方法。掌握好补形的技能或技巧，有利地培养自己构作辅助线的能力，从而提高平面几何的解题水平。 １．把不规则图形补成规则的特殊图形 例 １如图 １，ＡＢ＝ＡＣ＝ ＡＤ，则ＢＤＣ等于（）。 （Ａ）ＤＢ；（Ｂ）ＤＡ； （Ｃ）ＢＡＣ；（Ｄ）ＢＡＣ 解析：根据 ＡＢ＝ ＡＣ＝ ＡＤ，可联想以Ａ为圆心，ＡＢ为半径的Ａ。由同弧上的圆周角、圆心角关系，得ＢＤＣ＝ＢＡＣ。故选（Ｄ）。 例２如图２，点Ｃ在半径为Ｒ的半圆上，ＡＣ＝ ＢＣ，过 Ｃ作 ＣＤ切 Ｏ于 Ｃ，且ＣＤ＝Ｒ，连结ＡＤ。求阴影部分的面积。 解析…     

勾股定理在几何计算中的应用

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它在解有关直角三角形的问题中有广泛的应用．现举例说明它在几何计算中的应用，供同学们参考．例１如图１，凸四边形ＡＢＣＤ中，四边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ和ＤＡ的长分别是３、４、１２和１３，∠ＡＢＣ＝９０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积是多少？（第七届“希望杯”竞赛试题）分析由题设ＡＢ＝３，ＢＣ＝４且∠ＡＢＣ＝９０°，连结ＡＣ得Ｒｔ△ＡＢＣ，根据勾股定理易求ＡＣ＝５．在△ＡＣＤ中根据勾股定理的逆定理可以判定△ＡＣＤ为直角三角形．计算两直角三角形面积之和即为四边形ＡＢＣＤ的…     

三角形内角和定理及推论的应用

《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵　∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴　∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ　∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ…     

三角形外角性质的应用

我们知道,三角形的外角有这样的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,大于任何一个与它不相邻的内角．这个性质是研究三角形的重要基础知识,应用也非常广泛．现分类举例说明．一、计算角度例１如图１,Ｄ是△ＡＢＣ中ＣＢ的延长线上一点,ＤＯＡＢ于０,Ｃ＝４０°,Ｄ＝３０°,求１和Ａ．解１＝９０°＋Ｄ＝９０°＋３０°＝１２０°,Ａ＝１８０°－１２０°－４０°＝２０°．例２如图２,△ＡＢＣ中,ＢＤ平分ＡＢＣ,１＝３,４＝５,求５的度数．解设１＝３＝ｘ,则２＝ｘ,５＝４＝１＋３＝２ｘ．在△ＢＣＤ中,…     

利用比值法解面积题

利用比值参数解面积题 ,快捷简便 ,特别是求解那些较难的中考压轴题、数学竞赛题 ,更起到了事半功倍的效果。1 基本原理设Ｄ是△ＡＢＣ中ＢＣ边上的一点 (图 1 ) ,已知ＢＤ/ＢＣ =Ｋ(Ｋ为 0 <Ｋ <1 )则容易证明 :Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＢＤ =ＫＳ△ＡＤＣＳ△ＡＢＣ =1 -ＫＳ△ＡＢＤＳ△ＡＤＣ =Ｋ1 -Ｋ式中的参数Ｋ是两条线段的比值 ,故称比值参数。比值参数Ｋ的设法有许多 ,可得到诸多的面积公式。例 :四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＣ交ＢＤ于Ｏ(图 2 )若ＡＯ/ＯＣ =Ｋ ,则 Ｓ△ＡＢＤＳ△ＢＣＤ=Ｋ从而得到 :Ｓ△ＡＯＤ·Ｓ△ＢＯＣ =Ｓ△ＡＯＢ·Ｓ…     

应用垂径定理解题

垂径定理的基本功能是证明两条线段相等和两段弧相等． 例１ 如图１，已知ＡＢ为的直径，且ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ，ＣＤ＝８，ＡＭ＝２，则ＯＭ＝（２０００年江苏省南京市中考题） 分析… ＡＢ⊥ＣＤ，ＣＤ＝８， ∴由垂径定理可知 ＣＭ＝ＭＤ＝４ＡＭ＝２，… 欲求ＯＭ，只需求出半径ＯＡ的长即可．为构成直角三角形，应连结 ＯＣ．设 ＯＡ的长为ｘ，则 ＯＭ＝Ｘ－２．于是，在ＲｔＯＭＣ中，根据勾股定理列出关于ｘ的方程，得ｘ２＝（ｘ－２）２＋４２．解此方程，得ｘ＝５．从而可求得ＯＭ＝３．解略． 若已知图形中没有垂径定理的基本…     

平几题怎样添加辅助线

一道几何题的证明,往往要用到不少定理,但仔细分析就会发现,其中起关键作用的常是一两个主要定理。当这些定理不能直接运用时,就得借助辅助线沟通其与已知条件的联系。本文试就此作一探讨。 例已知：如图, Ｏ与 Ｏ’相交于Ａ、Ｂ,ＡＣ是 Ｏ的直径,ＣＡ、ＣＢ的延长线分别交 　 Ｏ’于Ｄ、Ｅ,且ＢＣ＝ＡＤ,ＡＣ＝１２,ＢＥ＝３０。 求：ＤＥ的长,　Ｃ的度数及阴影部分的面积。 解：连接ＡＢ、ＯＢ 　ＡＣ是　Ｏ的直径,　,又Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｄ四点共圆, 设 ＢＣ＝ ＡＤ＝ ｘ,由割线定理ＣＢ·ＣＥ＝ ＣＡ· ＣＤ解之得Ｘ＝－２４…     

成果集锦

ｗｈｃ１７５的限定《初等数学研究的问题与课题》中的ｗｈｃ１７５是叶中豪提出的如下问题：设ＰＱＲＳ是四边形ＡＢＣＤ的内接四边形,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别为ＳＰ、ＰＱ、ＱＲ、ＲＳ的中点,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′、ＤＤ′共点的充要条件是什么？本文将其极特殊化（令Ｄ重合于Ｃ）,得到定理　设△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ,Ａ′、Ｂ′、Ｃ′分别是ＲＰ、ＰＱ、ＱＲ的中点．记ＡＰＰＢ＝λ１,ＢＱＱＣ＝λ２,ＣＲＲＡ＝λ３,则ＡＡ′、ＢＢ′、ＣＣ′共点的充要条件是λ１λ２λ３＝１．ＢＱＣＡＰｙ图１Ａ′′ＣＢ′ｘＲＯ证明…     

对角互余四边形的一个性质推广

文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论     

三棱柱内接平行六面体的一个性质及其应用

文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１　△ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２　△ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,…