在整体关联中感悟运算的一致性——“分数乘整数”教学片断与思考

<正>“分数乘整数”是苏教版教材六年级上册的教学内容。这部分内容是在学生学习了分数的意义和分数加、减法的基础上进行教学的。学生根据分数乘整数的意义,容易想到把分数乘整数转化成同分母分数相加,“分子和整数相乘的积作分子、分母不变”。对于学生而言,掌握计算法则并不困难,但这并不代表他们能深刻理解其中的道理。《课程标准（2022年版）》在课程内容中指出：“数的运算重点在于理解算理、掌握算法”,     

凸显计数单位,感悟运算的一致性——“乘法回头看”教学实践与思考

<正>“乘法回头看”是在六年级总复习阶段开展乘法运算一致性教学的一次尝试。本节课从意义、算理和算法角度进行乘法运算的整体回头看。一是运算意义角度。现行教学中,对于整数乘整数,从相同加数的和或倍的角度理解其意义;到了小数乘小数,并没有经历意义的学习,直接进入算理、算法的探究;对于分数乘分数,则在相同加数的和的基础上,从一个数的几分之几的角度进行理解。因此,有必要对意义进行回顾,让学生认识到无论整数乘法、     

在自主探索中提升学生的运算能力——“不含括号的三步混合运算”教学片断与思考

<正>“数与运算”是数与代数领域的主要内容，包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。《数学课程标准（2022年版）》指出：“运算教学的重点在于理解算理、掌握算法。”学生需要经历算理和算法的探索过程，在理解算理、掌握算法的基础上，感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。下面以苏教版教材四年级上册“不含括号的三步混合运算”教学为例，     

“儿童立场”下的深度学习——观吴正宪老师“分数乘法”教学有感

培养小学生的运算能力,不仅要让学生掌握运算的技能,更要让学生经历思维的过程,即理解算理的过程。分数运算的算理和算法,尤其是困扰一线教师的症结,老师经常说不清楚,学生也不好理解。吴正宪老师借用五年级上期的“分数乘法”教学,通过制造认知冲突、探究通则通法、整合提炼算法等环节,让学生在“三探”中运用新的分数单位产生的过程,说明分数计算的算理与整数和小数的计算是一回事儿,即通过计算单位个数的运算,可以解决分数、小数和整数运算的一致性问题,真正理清知识间的连接点与脉络,有效地帮助学生建构知识链接的完整体系。     

“分数乘整数”教学片断与思考

<正>“分数乘整数”是苏教版教材六年级上册第二单元“分数乘法”中的教学内容。本节课主要帮助学生理解分数乘整数的意义、算理与算法。在此之前，学生已经学过“分数的意义”“分数加法和减法”，也有计算整数乘法和小数乘整数的学习经验。这些已有的知识经验能为学生在本节课理解分数乘整数的算理提供必要的基础。     

在追根溯源中体会加、减法运算的一致性——“异分母分数加、减法”教学片断与思考

<正>《课程标准（2022年版）》指出,计算教学要让学生“经历算理和算法的探索过程,理解算理,掌握算法”,“感悟数的运算以及运算之间的关系,体会数的运算本质上的一致性,形成运算能力和推理意识”。以加、减法运算为例,无论是什么数的运算,其算理与算法的理解都要追溯到运算意义的一致性。在教学“异分母分数加、减法”时,通过课前调查,我们发现,学生对整数加、减法和小数加、减法的计算本质有了初步的了解,但并没有形成清晰的认识。大部分学生还不能主动将“计数单位相加、减”的算理迁移到同分母分数的加、减法中来,更不用说迁移到异分母分数的加、减法中。因此,我们将“相同计数单位,才能直接相加减”这一规则作为“异分母分数加、减法”教学的突破点,让学生在对比中体会加、减法运算的一致性,帮助他们理解加、减法运算的本质。     

在比较中感悟运算本质的一致性——“小数加法和减法”教学设计与思考

<正>《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出,数的运算教学,要让学生经历算理和算法的探索过程,理解算理、掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系,体会数的运算本质上的一致性,提高运算能力和推理能力。“小数加法和减法”是苏教版小学数学教材五年级上册的教学内容,如何引导学生深刻体会整数加减法与小数加减法运算本质上的一致性呢？教师要深研教材,重组教材,精心设计,多次对比,引发学生深度思考,沟通小数加减法、整数加减法在算理和算法上的联系,     

新课标视野下的“除法内容”相关问题探讨

<正>数与代数是义务教育阶段学生学习的重要领域,在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题,“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及运算。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）指出：数的运算重点在于理解算理、掌握算法。学生在经历算理和算法的探索过程中,感悟数的运算以及运算之间的关系,体会数运算本质上的一致性,形成运算能力和推理意识。     

基于运算一致性的作业设计与实施——以“小数和整数相乘”的教学为例

<正>数的运算是小学数学中的主要内容，贯穿于小学数学教学的始终。《数学课程标准（2022年版）》将“数与代数”领域重新进行整合，对数的运算提出了新的教学要求：“数的运算重点在于理解算理、掌握算法”，要让学生“经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法”，并“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。可见，运算教学需要追本溯源，更要体现运算本质上的一致性。     

在慎思、明辨中感悟整数乘法运算的一致性——以“三位数乘两位数”为例

<正>“三位数乘两位数”是义务教育阶段整数乘法最后一节新授课，有必要对整数乘法的算理和算法进行整理与回顾。但在日常教学中，教师往往忽略了已有整数乘法经验的有效迁移，仍然将“三位数乘两位数”当作全新的课展开教学，导致学生无法从整体上理解和掌握乘法运算的一致性。如何引导学生感悟从未知到已知的转化？如何引导学生理解算理与算法的一般性？下面谈谈具体的实践与思考。     

把握概念本质 发展核心素养——“10的认识”教学片断与思考

<正>《数学课程标准（2022年版）》指出：“学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”数概念本质上的一致性主要体现在以下两个方面：一是整数、小数、分数都是对数量的抽象，二是整数、小数、分数都可以从计数单位和计数单位个数的视角来认识。“10的认识”是人教版一年级上册的教学内容，是学生学习数的认识的重要内容之一。     

“两位数乘两位数”教材整合与教学构想

<正>“两位数乘两位数”是苏教版教材三年级下册第一单元的教学内容。在此之前，学生在三年级上册已经探索并掌握两、三位数乘一位数的计算方法；在此之后，学生在四年级下册还将进一步学习三位数乘两位数的计算方法。这部分内容是整个乘法运算学习过程中的关键环节之一。这主要是因为，理解并掌握两位数乘两位数的算理和算法，不仅有助于学生自主类推出三位数乘两位数以及位数更多的整数乘法的算理和算法，     

经历探索过程,体会运算一致性——“小数乘小数”教材分析与教学建议

<正>“小数乘小数”是北师大版四年级下册第三单元“小数乘法”的关键内容,也是乘法运算教学的难点。《数学课程标准（2022年版）》指出：“数的运算重点在于理解算理、掌握算法,数与运算之间有密切的关联。学生经历由数量到数的形成过程,理解和掌握数的概念;经历算理和算法的探索过程,理解算理,掌握算法。初步体会数是对数量的抽象,感悟数的概念本质上的一致性,形成数感和符号意识;感悟数的运算以及运算之间的关系,体会数的运算本质上的一致性,形成运算能力和推理意识。”因此,数运算的对象是数,     

基于学习路径分析的“三位数乘两位数”单元整体教学——如何做好算理算法的迁移

数的运算一直是我国小学数学教学中的重要内容。运算能力有丰富的内涵,如基本口算、理解算理、掌握算法、运算策略等“。三位数乘两位数”作为小学阶段整数乘法的最后一个单元,教学重点指向算理与算法的迁移,以及理解积的变化规律并形成运算策略。基于教学目标和学生的学习起点,对本单元的例题教学做了前后顺序的调整,重新设计了教学路径。     

小学计算教学算理与算法结合的策略研究——以“两位数乘两位数”的教学为例

数学是小学学习的重要科目之一，其中，使学生掌握计算技能，形成良好的计算能力是学习数学的重中之重。而运算能力的培养不仅仅是使学生会算，更应该让学生理解计算的算理过程。要知其然，更知其所以然。本文以“两位数乘两位数”的教学为例，探究计算教学过程中怎样让学生掌握算理算法，进一步使学生真正提高数学的运算能力。     

程序性知识课程设计的新视角:算理贯通,算法统整

程序性知识课程设计的关键是解决"算理贯通、算法统整"问题,而"分数运算算理贯通、算法统整"是关键中的关键。从公理、定义、运算律和性质出发,基于"演绎推理",推演分数加、减、乘、除运算的算理,以不变的算理来推导万变的算法,实现分数运算内部算理的一致性,从而实现分数、小数运算算理的一致性。同时,基于"计数单位",推导分数运算的算法,以不变的算法来统整有理数的运算,实现分数运算与整数、小数运算前后算法的一致性。然后,以分数除法中"一个数除以分数"为例,重构利于学生理解算理、统整算法的教学设计,例说上述两个一致性是如何实现的。最后给出程序性知识课程设计的建议。     

程序性知识课程设计的新视角:算理贯通,算法统整

程序性知识课程设计的关键是解决"算理贯通、算法统整"问题,而"分数运算算理贯通、算法统整"是关键中的关键.从公理、定义、运算律和性质出发,基于"演绎推理",推演分数加、减、乘、除运算的算理,以不变的算理来推导万变的算法,实现分数运算内部算理的一致性,从而实现分数、小数运算算理的一致性.同时,基于"计数单位",推导分数运算的算法,以不变的算法来统整有理数的运算,实现分数运算与整数、小数运算前后算法的一致性.然后,以分数除法中"一个数除以分数"为例,重构利于学生理解算理、统整算法的教学设计,例说上述两个一致性是如何实现的.最后给出程序性知识课程设计的建议.     

依托主题大概念 建构单元大整体——“分数与整数相乘”教学实践与思考

“数与运算”主题教学的重点包括让学生感悟数的认识与数的运算之间的密切联系，理解四则运算之间的关系，感悟运算的一致性等。“分数与整数相乘”是这一主题的重要内容，包含乘法的意义、算理一致性和分数特殊性三个方面的大概念。文章根据上述分析的主题大概念对“分数与整数相乘”的教学进行了流程探究，旨在为广大教师提供教学借鉴。     

联结“位”与“值” 渗透运算一致性——以人教版教材三年级下册“两位数乘两位数（笔算乘法）”为例

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出,数的运算重点在于理解算理、掌握算法,数的认识与数的运算之间有密切的关联,要让学生体会数的运算一致性。教学人教版教材三年级下册“两位数乘两位数（笔算乘法）”时,教师在对整数乘法的整体分析和学情诊断的基础上,通过联结“位”与“值”,渗透运算一致性。具体表现为：体会表征“多元化”到“统一性”的图式联结;经历笔算“个性化”到“规范化”的理法联结;打通方法“多样性”到“普适性”的策略联结;感悟笔算“位表征”到“值表征”的程序联结。     

小学数学教学“运算一致性”的探索

<正>数的运算重点在理解算理、掌握算法,数与运算之间有密切的关联,学生需通过多种维度感悟数的运算与运算之间的联系,体会数的运算一致性。尽管整数、小数、分数的加法、减法、乘法、除法在具体的运算法则上存在差异,但基本的加减乘除四则运算规则在本质上是一致的,基于计数单位进行的操作也是一致的。为此,教学中教师要引导学生弄清数的运算之间的关联,突出“数”与“运算”的一致性。