一道解析几何高考试题的题源探究与推广

正1问题再现题目如图1,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,联结OB1,过点A1作x轴的垂线与OBi交于点Pi     

第48届IMO试题

第一天1.给定实数a1,a2,…,an.对每个i(1≤i≤n),定义:di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n},且令d=max{di|1≤i≤n}.(1)证明:对任意实数x1≤x2≤…≤xn,有max{|xi-ai||1≤i≤n}≥2d.(2)证明:存在实数x1≤x2≤…≤xn,使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是∠DAB的平分线.(卢森堡供题)3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友,朋友关系是相互的.如…     

《平面向量》单元自测题

一、选择题(每题4分,共48分)1.已知向量a=3,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=().A32,21;B21,23;C14,343;D1,02.已知O、A、B3点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),点P在线段AB上且AP=t AB(0≤t≤1),则OA·OP的最大值为().A3;B6;C9;D123.已知向量a=(2cosφ,2sinφ),φ∈     

巧用抛物线的对称性解题

若点(x1,y0),(x2,y0)在抛物线上,则抛物线的对称轴为直线x=x12 x2.巧妙运用抛物线的这一性质,可简捷快速地解答一类试题.一、求点的坐标例1如图1,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),则点A的坐标是.(2005年宁厦)分析与简解显然点A、B关于直线x=1对称,设点A的坐标为(x1,0),则x12 3=1,从而x1=2-3,故点A的坐标为(2-3,0).例2抛物线y=ax2 bx c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是.(2005年山东)分析与简解由点A(-2,7),B(6,7)的纵坐标相同,知A、B关于抛物线的对称轴x=-2 62=2对称.故设…     

封闭折线顶点系重心性质新探

设Ai(i=1,2,…,n)是空间直角坐标系内的点,坐标为(xi,yi,zi),则A1,A2,A3的重心(即△A1A2A3的重心)坐标为(1/3 3∑i=1 xi,1/3 3∑i=1 yi,1/3 3∑i=1 zi).     

垂心为其顶点的圆内接闭折线的一个性质——兼擂题（65）解答

擂题 (65 ) (熊曾润提供 )　设闭折线A1A2 A3…AnA1内接于圆 ,若它的垂心是它的某个顶点 ,则称闭折线A1A2 A3…AnA1为直顶闭折线。试证明 :若R为直顶闭折线A1A2 A3…AnA1的外接圆半径 ,则∑1≤i相似文献   

几何自测试题(二)

曲线和方程 (一)填空 1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是一5,一9,那么AB二_,BA=_。 2.在x轴上有一点p,它与点A(一2,吐)的距离是5,则点p的坐标为_。 3。已知点Ml(3,一2),M:(O,一5),则IM 1 MZ!二_。 4.已知M:(2,一5),M:(一1,3),点M分M;MZ的比入=一2,点M的坐标是_。 5.已知B点分CA所成的比是3:7。那么,B点分CA所成的比是_;A点分BC_所成的比是_;C点分AB所成的比是_。 6.已知A(3,5),B(7,一2),那么线段AB的长度为_;中点坐标为 7.已知点p(一2,1)在曲线k“xZ一3y2一3丁“一Zkx一4y+s二0上,则K的值为__。 (二)下列各题所给四个答案中,…     

巧用“Δ”求最小值

例直线y一kx+(l一3k)与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点,△OAB的面积用S表示,求S的最小值.分析易知,直线与y轴的交点坐标为(0,1一3k),与x轴交点坐标为户钻卫,。卜 S一(1一3k)2 2k这里S不是k的二次函数,所以不能用二次函数的方法求最小值.我们不妨把k看成未知数,S看成已知数,利用“△”求出S的最小值.易知A、B两点的坐标分别是{一(1一3k)2 2k1一3k k,o{,(o,i一3、).则S-一化简整理得9k2+2(S一3)k+1一0. 关于k为未知数的一元二次方程必有实根,即△)0. 皿(S一3)了一4只9火l)o. (S一3)2)9,:。S)6或S簇0. S为△OAB的面积,…只能有S…     

高中解几综合测试题

.淮择题孟’以A(i,3)、B(一5,i)为端点的垂直平分线的方程是(3x一万 8“03x 红 4二0x 3穿一4“0义一3穿 8“0如果方程xZ ,2 Dx E, F=0线,那么m的取值范围是()。 A.水>3 B.一22或一33或一<二<27.椭圆一气星 (y一2) 9二1的两、,产.… A B CD (D’ E’一4F>o)所表示的曲线关于直锄=x对称,那么必有(). A .D=E B .D二F C .E=F D .D二E=F 3.△ABC三顶点的坐标是A(1,2)、B(4,1)、C(4,4).D是AB边上的一点,DE才BC交AC于点E.若DE把△ABC分成面积相等的两部分,则D点坐标是 ()。个焦点坐标是()。 A.(了下,0),…     

直角坐标系中的图形平移 课标人教版七年级

【题目】 如图1,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A(一3刁牙),B(一2,3涯),C(2,3涯),点D在第一象限. (1)求D点的坐标; (2)将平行四边形ABcD先向右平移涯个单位长度,再向下平移涯个单位长度,所得的四边形A,B,c,D,四个顶点坐标是多少? (3)求平行四边形ABCD与四边形A,B、CID,重叠部分的面积?李朗 【解答】 (1)’.’B、C的坐标为B(一2,3涯),C(2,3涯), :。BC一4. :.由A(一3,涯)向右平移4个单位长度得D(1,在); (2)A(一3,万),B(一2,3万),C(2,3涯),D(l,涯),先向右平移万个单位,分别得(一3…     

中点坐标公式“功不可没”(初三)

1.中点坐标公式已知A、B为线段两端点,点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),试求AB的中点C的坐标.     

解析几何综合训练题(附答案)

一、直线和圆 (一)选择题 1.已知点A(一3,s)和B(2,2),在x轴上求一点M,使冈何卜}BM{为最短,那么点M的坐标是() (A)(一1,0);(B)(1,O); (C)(吐.4,0);(D)(0,4 .4). 2.在坐标平面上选一点(x,妇,使它到x,刀轴和直线x 刀二2白勺距离都相等,那么这点的坐标是().(盛)、/万一i;(B)告;(C)1     

平面闭折线k号心的一个有趣性质

本文在贵刊文[1]的基础上,探讨平面闭折线A(n)关于点P的k号心与它的一级顶点子集V j(1≤j≤n)关于点P的k号心之间的关系.定理1设闭折线A(n)关于P的k号心为Q.闭折线A(n)一级顶点子集V j关于点P的k号心为Q j(1≤j≤n),过点P任作一直线l,且Q、Q j、Aj三点到直线l的有向距离分别为d(Q)、d(Q j)、d(Aj),则d(Q)=d(Q j)+d(A j)/k.证明以任意一点P为原点建立平面直角坐标系xPy,则可设直线l的方程为ax+by=0.设各点的坐标分别为:Ai(xi,y i),Q(x,y),Q j(x'j,y'j)(i=1,2L,n且1≤j≤n),则11niix=k∑=x,y=1k∑in=1yi,'1j1(ni j)ix=k∑=x?x,y'j=…     

精选范例一题多解

例题己知直线L与椭圆4x2+9少一36相交于两点A,B,弦月召的中点的坐标是为(1,1),求直线L的方程 分析:这一道典型的中点弦问题,由于弦月召的中点坐标为(1,1),由椭圆的对称性知,直线L的斜率k存在,若设A、B两点的坐标为(x:,y,)和(xZ,yZ),则x,笋x2. [解法I」:设点A、B的坐标为A(xl,yl),B(x2,yZ)因A、B在椭圆4尹+9尹一36上,则有,仁解法Iv习:设直线L的参数方程为:{’一于+‘e,sa气y一1一卜‘s一na(t为参数,a为倾角且 厂_a关只二~) 乙4xzZ+9少12一364x22+9少22=36①一②:4(x;2一x22)+9(少12一少22)一。利用中点坐标和斜率公式有:*一粤·-,·-…     

对称问题的研究

对称问题是高考热点,包括点关于点的对称、直线关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于直线的对称,我们应熟练掌握。一、点P(x1,y1)关于点C(a,b)的对称点的坐标是(2a-x1,2b-y1)。点关于点的对称实质是中点坐标公式的应用。[例]已知点A(4,5),B(2,3),试求A点关于B点的对称点A’的坐标。解:设A’点坐标为(x,y),由中点坐标公式有:     

诺伊曼边界条件下的n-维耦合振子格点系统的渐近同步性

1Introduction Inthispaper,weconsidertheasymptoticsynchro nizationbehaviorinann dimensionallatticedynami calsystemofcouplednonlinearoscillatorsasfollows:櫣i c1(A u)i c2(Au)i ki ui αiui=fi(u,u) gi(t)(1)withtheNeumannboundarycondition:u(i1,…,ij-1,0,ij 1,…,in)=u(i1,…,ij-1,1,ij 1,…,in),u(i1,…,ij-1,m 1,ij 1,…,in)=u(i1,…,ij-1,m,ij 1,…,in),for1≤j≤n,and1≤i1,…,ij-1,ij 1,…,in≤m,andtheinitialconditions:ui(0)=ui0,ui(0)=ui,10,wherei=(i1,i2,…,in)∈Znm,andZnm=Zn∩{1≤i1,i2,…,in≤m},u=(ui)i…     

关于四面体重心的一个不等式

在四面体A1A2A3A4中,Ai对面为Si(1≤i≤4),Si、Sj的夹角为θij(1≤i＜j≤4),表面积为σ,内切球半径为r,体积为V.     

反比例函数y=k/x (k≠0)中k的几何意义

一、经典试题 例1 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.已知反比例函数产k/x(k＞0)的图像经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴,垂足为B,且△AOB的面积为1. (1)求k和m的值; (2)若点C(x,y)在反比例函数k/x的图像上,求当1≤x≤3时,函数值y的取值范围. 解:(1)∵点A(2,m)在反比例函数y=k/x(k＞0)的图像上,且△AOB的面积为1, ∴1/2×2×m=1,解m=1. ∴点A的坐标为(2,1),∴k=xy=2×1=2.     

四元数矩阵的奇异值的几个不等式

本文证明了长方四元数矩阵奇异值的一些不等式:设H为四元数体,A∈H~(n×m),B∈H~(m×k),S=min{n,k},1≤l≤s,则 sum from i=1 to l σ_i(AB)≤sum from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅰ) sum from i=1 to l σ_s _(i+1)(AB)≥sum from i+j=m+s-l+1 σ_i(A)σ_j(B) (ⅱ) multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_(m-i+1) (B)≤multiply from i=1 to l σ_i(AB)≤multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅲ) 其中,σ_1(A)≥σ_2(A)≥…≥σ_m(A)≥0是A的从大到小的奇异值,当i>m时,σ_1(A)(?)0。不等式(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)包含或加强了文[3]、[4]、[5]的一些基本结果。     

两道课本例习题的探究——斜率乘积为定值e~2-1的有心二次曲线的性质赏析

1.题目呈现1.1人教A版数学教材选修2-1第41页例3:如图1,设点A、B的坐标分别为(-5,0)、(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程.1.2人教A版数学教材选修2-1第55页探究:如图2,设点A、B的坐标分别为(-5,0)、(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是4/9,试求点M的轨迹方程.并由点M的轨迹方程判