三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

垂足三角形中的几个不等式

本刊82年第6期宗岳老师编译的《几何重观§1.9(下简称文[Ⅰ])中指出:从△ABC内任意点P分别作BC、CA、AB的垂线,则垂足A′、B′、C′组成的△A′B′C′叫做△ABC关于点P的垂足三角形.在文[Ⅰ]的启发下,我们得到了关于点P的垂足三角形中的几个不等     

垂足三角形与原三角形的一些关系

所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、     

平行线足三角形性质初探

受垂足三角形启示,本文提出新的内接三角形概念.定义:设 P 是△ABC 内点,过 P 分别作 BC、CA、AB的平行线,与 CA、AB、BC 分别交于 A′、B′、C′,则称 A′、B′、C′为平行线足.△A′B′C′为关于 P 点的平行线足三角形.     

利用“共底”三角形巧解中考面积最大问题

<正>"共底"三角形的构造如图1,在△ABC中,直线MN经过点A,交BC于点D,过点B、C分别作MN的垂线,垂足分别是E、F.则△ABD和△ACD构成"共底"三角形."共底"三角形的面积△ABC的面积就是"共底"△ABD和△ACD之和.过C作JQ∥MN,延长BE,交     

关于重心的垂足三角形的性质

设P为△ABC所在平面上的任意一点，A＇，B＇，C＇分别为P到BC，CA，AB各边所作垂线的垂足，则△A＇B＇C＇称为△ABC关于P点的垂足三角形.关于三角形与其垂足三角形面积之间的关系，文［1］，［2]等已给出讨论.但对于象周长、外接圆半径、内切圆半径等不变量，三角形与其垂足三角形之间有什么关系，在作者所见到的国内外文献中均未发现一般性的结论.对于特殊情形，当P为锐角三角形的垂心时，作者在［3］中得到了锐角三角形与其关于垂心的垂足三角形的不变量之间的若干关系式；当P为三角形的内心时，莫颂清在［4］中进行了相应的讨…     

三角形若干共点线的问题探究

三角形中三条角平分线(高、中线、边垂直平分线)共点,在三角形中还有其它一些三线共点的问题,举例如下:问题1以△ABC的三边为底,分别向外(内)作三个相似的等腰三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,则'AA、'BB、'CC三线共点.问题2以△ABC的三边为底,分别向外作三个三角形△'ABC、△'BCA、△'CAB,使'BACCAB=?'ABCCBA=?'BCA'ACB=?则'AA、'BB、'CC三线共点.问题3设P为△ABC内的一点,由P向BC、CA和AB三边作垂线,垂足为'A、'B、'C,则(1)当P为内心时,有'AA、'BB、'CC三线共点;(2)当P为外心时,有'AA、'BB、'CC三线共点…     

探寻未被覆盖的相似三角形

将三角形的某个顶点沿一条直线折叠,顶点落在对边上,未被覆盖的两个三角形相似吗?若相似,相似是唯一的吗?如何准确地找到折痕呢?若不相似,适当增加一些条件后,能相似吗?笔者针对上述问题展开研究,希望能得到一般性的结论,撰文如下,抛砖引玉,期盼同行斧正.1正三角形用纸剪一个正三角形ABC,然后如图1折叠,使直线FE∥BC,点A落在BC边上的一点D上(点A落在三角形ABC内部,未被覆盖的部分不直接构成三角形不研究)那么,点D一定是BC的中点,并且△BDF≌△CED(自己完成证明),如果直线EF与BC不平行(图2),显然,点D不再是BC的中点,△BDF与△C…     

相似三角形测试题

(时间:45分钟;满分:100分)一、坟空题(每空4分,共32分),榨L 1.若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形2.已知△ABC与△A’B’C的相似比为2:3,则△A’君C与△ABC的相似比为月乙。D :乙F应图户,侧Z即盛巧B,‘、工,、︶A净..essees山D )C 3.如图I,△ABC叻△DEF,则相似比     

相似三角形的性质与判定

[知识要点]1 相似三角形的性质: (1) 　　　　;(2) 　　　　;(3) 　　　　 　2 相似三角形的判定方法: (1) 　　　; (2) 　　　;(3) 　　　,两直角三角形相似的判定除上述方法外,还有　　　 典型考题解析例1　(2003年江苏省泰州市)在Rt△ABC 的直角边AC上有一点P(点P与点A、C不重合) 过点 P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线共有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1条　　　(B) 2条　　　　(C) 3条　　　　(D)4条例2　(2004年湖北省宜昌实验区)如图1,在平行四40　　　边形ABCD 中,…     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

怎样找全等三角形

对于能够完全重合的三角形,要使两个三角形重合,则需要搬动图形,通常是以某个三角形为基准(不动),把与其全等的另一个三角形通过平移、旋转或翻折三种方法使其与基准三角形重合。一、平移变形找全等三角形例1如图1,已知AB∥A′B′,AC∥A′C′,BB′∥CC′,求证△ABC≌△A′B′C′.分析:将△A′B′C′沿箭头方向平移使A′与A;B′与B,C′与C分别重合,记为A′→A;B′→B;C′→C.例2如图2,B、C、E在一条直线上,CE=BC,AB⊥BE,DC⊥BE,B、C为垂足,AC∥DE.求证△ABC≌△DCE.分析:将△ABC沿箭头方向平移后使A→D,B→C,C→…     

聚焦命题的四大考点

考点一命题的判定判断一件事情的句子,叫命题.命题的基本特征就是判断.“判断”就是肯定或否定某种事物的存在或指明它是否具有某种属性的完整的句子.辨别一句话是不是命题,关键就是看语句中是否含有判断的意思.例1下列语句:①三角形的外角等于两个内角的和.②好香的花呀!③△ABC的三边a,b,c满足a2+b2=c2,该三角形是直角三角形吗?④作△A′B′C′,使它与△ABC相似.⑤在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠B′,∠B=∠A′,则△ABC∽△B′A′C′,你认为这个结论正确吗?其中是命题的有(填序号).解析命题既然表示判断,不能既肯定又否定,因此,…     

“新题”赏析(高二、高三)

1.背景新 题1 已知△ABC内有2005个点,其中任意三点不共线,把这2005个点加上△ABC的三个顶点,共2008个点作为顶点,组成互不相叠的小三角形,则一共可组成小三角形的个数为( ) (A)2004.(B)2009.(C)4011.(D)4013. 分析 设△ABC内有n个点时,小三角形有an个. 现增加一个点,则此点必落入某一个小三角形内,且此点把此小三角形分成三个与原来     

浅谈一道中考试题的推广与应用

<正>2018年淄博市中考数学试题命制了这样一道具有明显甄别与选拔功能的压轴题目,呈现如下:原题(2018年山东淄博)如图1,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到△ABC三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5,则△ABC的面积为().     

对一道中考数学综合题的分析及反思

原题呈现对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.例如,如图1,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同,因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似;如图2,△ABC∽△A’B’C’,且沿周界ABCA与A B C A环绕的方向相     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…     

垂足三角形的几个有趣性质及其猜想

设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(如图).并设△ABC的三内角为A、B、C;三边BCa=、CAb=、ABc=;0EFa=、FD0b=、0DEc=.分别设△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R、0R、1R、2R、3R;r、0r、1r、2r、3r;P、0P、1P、2P、3P和D、0D、1D、2     

第32届IMO预选题及解答

1 (菲律宾)设 P 是△ABC 内任一点,P_1和 P_2分别是从 P 到边 AC 和 BC 的垂线的垂足,Q_1和 Q_2分别是从 C 到 AP 和 BP 的垂线的垂足.求证三条直线 Q_1P_2,Q_2P_1和AB 共点.证易知 C,P_1,Q_2,_P,Q_1,P_2六点共圆.由于 CP_1与 PQ_1交于点 A,Q_2P 与P_2C 交于点 B,应用巴斯卡定理可知 Q_1P_2与 Q_2P_1的交点在直线 AB 上,即直线 Q_1P_2,Q_2P_1和 AB 共点.2.(日本)已给锐角三角形 ABC.设     

三角形内等斜角三角形及其性质

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有