抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

也谈中点弦所在直线方程

很多数学报及兄弟刊物都介绍过中点弦所在直线方程问题.有的甚至给出了公式式的结论,但结论较为复杂不易记忆.本文介绍两种更为行之有效的方法. 我们先证明一个命题:二次曲线F(x,y)=0,以定点P(x0,y0)为中点的弦所在的直线方程为:F(2x0-x,2y0-y)=0.然后便可套用结论,直接得出方程. 证明:设以P(X0,y0)为中点的二次曲线F(x,y)=0的弦的两个端点分别为A、B,且A(x,y),则B(2x0-x,2y0-y),由于A、B均是二次曲线F(x,y)=0上的点,从而可得 F(x,y)=0 ① F(2x0-x,2y0-y)=0 ②     

周界中点三角形的两个性质

本文获得了与周界中点三角形有关的两个有趣的不等式。     

中点弦存在的充要条件及其方程

<正>~~     

抛物线中点弦的一个性质及巧用

文[1]中谈了椭圆和双曲线中，弦AB的中点为N，斜率为k，则有k·kON=e^2-1．受其启发，笔者对抛物线作了类似的探究，结果虽不是定值，用之解题却也有另一番风味．     

周界中点三角形两个面积等式

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,如图所示,△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF面积分别记为△、△A、△B、△C、△0,则有△≥4△0,△^3≥64△A△B△C．文[1]将它们分别加强为     

周界中点三角形两个面积不等式的加强

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点，△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积分别记为△、△A、△B、△C、△O．文[1]、[2]分别证明了不等式。     

抛物线的弦的中点与弦长及面积的有关性质

文章给出了抛物线y2=2px(或y2=-2px)的弦的中点、弦长及抛物线与弦所围成的面积之间的关系.这些关系基本上是充要条件.     

变中点 巧训练

原题：如图1，已知△ABC的面积为1，BD：CD=2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为_____。     

此中点非彼中点

题图1表示某时刻两列水波的波峰和波谷的位置,实线表示波峰,虚线表示波谷．相邻实线与虚线之间的距离为0．2m,波速为1m／s,在图示范围内可以认为这两列波的振幅均为1cm,A、B是两波源连线的中垂线上分别位于相邻波峰与波谷上的点,C是A、B连线的中点．则（ ）     

对一类抛物线中点弦问题的探讨

题目:定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y~2=x上移动,记线段AB的中点为M,求M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.抛物线弦的中点最值问题是高中数学中有关弦的常见题型之一,其解法灵活多样.本文从多个角度出发,探讨该题的多种解法,并     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点平分三角形的周长，人们则称这一点为三角形的周界中点，并将以3个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．文[1]、[2]分别给出了周界中点三角形的一些有趣性质，近来经研究，我们又发现了周界中点三角     

中点的自述

我叫中点,我家住在线段上,位于其中心地带。我很公平地将我所住的线段平均分成两段相等的部分。就象鱼儿离不开水一样,线段是我赖以生存的地方,一旦我离开了线段,我就会失去自我。     

二次曲线中点弦理论的简化和推广

对一般常态二次曲线Γ:F(x,y)=a11 x2 2a12xy a22y2 2a23x 2a13y a33= 0 (1)有关中点弦和弦中点的研究文章很多,如[1]、[2],但论证过程太长,事实上相关的结论都可以非常简便地加以证明,从而篇幅可大为减少,为使这一理论更严谨,使论证简捷明快,特阐述如下:     

周界中点三角形两个面积不等式的最佳形式——等式

设D,E,F为ΔABC的边BC，CA，AB的周界中点，ΔABC，ΔAEF，ΔBFD，ΔCDE，ΔDEF的面积分别为Δ，ΔA，ΔB，Δc,Δ0,R和r分别为ΔABC的外接圆，内切圆半径，有献证明了：     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

中点四边形的再探索

探索:1.当四边形对角线互相垂直时,中点四边形为矩形;例1如图1,F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使EFGH为矩形,四边形ABCD应该具备的条     

有关圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型:(1)求中点弦所在直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方程问题;(3)求弦中点的坐标问题.其解