两道三角竞赛题错误的辨析

原题1在△ABC中,对λ≥1,求证:tan(A/λ)+2tan(B/2λ)+3tan(C/3λ)≥6tan(π/6λ),当且仅当A=π/6,B=π/3时等号成立.原证明如下:当α>0,β>0且α+β<π时,有:tanα+tanβ=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ)=(sin(α+β))/(cosαcosβ)     

解读几种三角变换常用技巧

正三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的变换,除了掌握必要公式外,还要掌握常用的几种三角变换的技巧.下面就介绍几种常用的三角变换技巧,供同学们参考.一、角的变换例1已知3sinβ=sin(2α+β),(α或α+β的终边不在y轴上),求证:tan(α+β)=2tanα.     

两角和与差三角公式的应用技巧

一、不可忽视求值的特殊性例1已知tanα,tanβ是方程x~2-5x+6=0的两个实数根,求2sin~2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos~2(α+β)的值.分析:由韦达定理可得到tanα+tanβ及tanα·tanβ的值,进而可以求出tan(α+β)的值,再将所求     

一道三角题的几何解法

1.一道试题题目已知α、β都是锐角,且3sin2α+2sin2β=1①3sin2α-2sin2β=0②求证:α+2β=(π/2) 这是1978年全国统一高考中的一道试题,已被收录在许多复习资料中,本文以几何出发,给出两种新的解法. 2.几何解法I——利用正弦定理与射影先看条件②式     

“至少”与“至多”

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

解三角函数问题要注意隐含条件

例1已知tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两根,且α,β(-π2,2π),则α+β的值为A.π3B.-23π或3πC.-π3或23πD.-23π错解∵tanα+tanβ=-3√3,tanαtanβ=4,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13√-43=√3.又α,β(-π2,2π),∴α+β(-π,π).因此,α+β=-2π3或π3.选B.辨析错在忽视了tanα,tanβ是方程x2+3√3x+4=0的两个负根这一隐含条件.正解∵tanα+tanβ=-3√3<0,tanαtanβ=4>0,∴tanα,tanβ为方程x2+3√3x+4=0的两个负根,即tanα<0,tanβ<0.又α,β(-π2,2π),∴α,β(-π2,0),α+β(-π,0).又tan(α+β)=tanα+tanβ1-t…     

一道三角问题所引出的结论

题目已知α、β为锐角,且满足sin2(α β)=sin2α sin2β,求证α β=90°.常见的解法如下.证法一:(反证法)若α β>90°,则α>90°-βsinα>sin(90°-β)=cosβ.从而sin2α sin2β>cos2β sin2β=1,得sin2(α β)>1,矛盾.     

函数单调性的妙用

研究函数问题,要注意题设的特点,挖掘隐含条件,否则就会陷于繁杂计算.下面通过几个例题谈一谈如何构造函数,妙用函数的单调性. 例1 已知:α≠kπ+π/2(k∈Z),β≠kπ(k∈Z),且(3tanα+-cotβ)3+tan3α+4tanα+cotβ=0.求证:4tanα+cotβ=0.     

错在哪里

<正>1安徽省繁昌县第一中学卢成(邮编:241200)题目已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=_.解4sinαcosα=2cos²α■tanα=1/2或cosα=0,(1)当tanα=1/2时,tan2α=2tanα/(1-tan2α■tanα=1/2或cosα=0,(1)当tanα=1/2时,tan2α=2tanα/(1-tan²α)=4/3;(2)当cosα=0时,tanα无意义,所以tan2α=2tanα/(1-tan2α)=4/3;(2)当cosα=0时,tanα无意义,所以tan2α=2tanα/(1-tan²α)也无意义.     

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

一道三角题的灵活运算

题目已知cosα cosβ=(1/2),sinα sinβ=(1/3),求cos(α-β),sin(α β),cos(α β)及tan((α β)/2)的值.     

由一道三角函数题引起的反思

<正>原题:已知sinα=m,m<1且m≠0,求tanα。同学们因为已经练习过这样一个题目:已知sinα=3/5,求tanα,所以已经总结过求解此类题目应该采用以下步骤:第一步,用平方关系求出cos2α;第二步,根据sinα的正负讨论角α所在的象限;第三步,分象限讨论cosα的取值;最后利用商数关系求tanα。但是大多数同学在求解这道三角函数题目时,还是不知道m的正负情况,对于如何分情况讨论,产生了很大困惑。错解:由sinα=m,得cos²α=1-m2α=1-m²。     

一道错误的例题

在本刊八一年第三期《怎样证明三角恒等式》一文中,有这样一道例题(P24例18):若sinβ=k·sin(2α+β); 求证:tg(α+β)=(1+k)/(1-k)tgα。原文证明如下:[解1].由已知条件得: k=sinβ/(βsin(2α+β));由待证之式得 k=(tg(α+β)-tgα)/(tg(α+β)+tgα)然后设法证明了两者相等。[解2].由已知得:(sin(2α+β))/sinβ=1/k;利用合分比定理与正余弦的和差化积公式,从此式推出待证之式。     

错在哪里

数学已知sinα-sinβ=-32,cosα-cosβ=32,且α、β∈0,2π,求tan(α-β)的值.错解:已知式平方后相加得cos(α-β)=95.由α、β∈0,2π,得-2π<α-β<2π.所以sin(α-β)=±2914,得tan(α-β)=±2514.物理a1,地同球步赤卫道星上和物地体球随球地心球距自离转为的r向,运心行加速     

数学奥林匹克问题

本期问题初209已知x、y为满足x+y=1的正数.求证:1+2x2+1-1y2>2.初210如图1,过圆外一点P引该圆的图1两条割线PAB和PCD,分别交圆于点A、B、C、D,AD和BC相交于点Q,割线PEF经过点Q交圆于E、F,分别过点B、D作EF的平行线交圆于M、N.求证:BN、DM、EF三线共点.高209设α、β、γ∈0,2π,且tanα+tanβ+tanγ=1.求证:sin2α+sin2β+sin2γ≤59.高210给定质数p(p>3),定义S={n|∑p-1k=1kn≡0(modp3),n∈N}.证明:S为无穷集.上期问题解答初207如图2,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,F为AC上一点,∠A<45°,∠BFC=45°,ED为∠BEC的平分线…     

一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

从一道三角习题的解法谈起

人教版数学第一册(下)第89页复习参考习题15:已知α,β都是锐角,且sinα=55,sinβ=1100,求证α β=4π.错解:由sinα=55,0<α<2π,得cosα=255.由sinβ=1100,0<β<2π,得cosβ=31010.∴sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ=55×31010 255×1100=22.又0<α β<π,则α β=4π或α     

一道三角题的多种解法和推广

题目已知α，β为锐角，sin（α＋β）=2sina，求证sina〈sinβ。