从一道赛题谈不等式证明的数学思想

1992年第26届独联体数学奥林匹克竞赛题中有一道不等式证明题： 题目：设a〉1，b〉1，求证：a^2/b-1＋b^2/a-1≥8. 我们通过对这道题的证明，谈谈在不等式的证明中常用到的一些数学思想方法．     

一道数学奥林匹克竞赛不等式的证明与推广

本文旨在给出一道巴尔干数学奥林匹克竞赛不等式试题的五个证明,并对这个优美不等式作出五个推广,供读者参考．     

一道韩国数学奥林匹克题的联想

题目在△ABC中,∠A的角平分线与BC交于点D,D在AB、AC上的投影分别为E、F.设EF的长为lA,同理定义lB、lC．若△ABC的周长为l,证明：     

巧用均值不等式证明2018年数学奥林匹克不等式题

均值不等式是一个应用广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件,若遇到等号取不到、用“均值法”无效时可考虑引入参数,借助待定系数法来解决.这样才能使复杂问题简单化,从而达到事半功倍的效果.下面举例说明.     

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明

一道2010年瑞士数学奥林匹克试题如下:已知x、y、z>0,xyz=1,求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z.证因为x、y、z>0,     

对一道不等式题证明方法的探索

在解数学题时特别是像解不等式,证明不等式之类的题时,总有多种解法,但绝大多数方法是代数方法,而很少有几何解法。几何和代数又是相辅相存的,它们之间是可以相互转换的,那能不能用几何解法来解代数方面的题呢?请看下面的例题。     

2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

(2021奥地利数学奥林匹克不等式)已知a,b,c∈R⁺,a+b+c=1,求证:a/2a+1+b/3b+1+c/6c+1≤1/2(1).本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.1.不等式(1)的证法分析1:不等式(1)的左端每一项的结构相同,但遗憾的是分母的系数不等,注意到每一项的特点,因此可通过证明局部不等式,再叠加.     

巧用均值不等式简解一道数学奥林匹克训练题

笔者无意中在文献[1]中看到了如下一道数学奥林匹克训练题，拜读了作者提供的解答后，受益匪浅，发现还可以利用均值不等式进行解答，且对该不等式进行推广．     

一道2008加拿大数学奥林匹克题的加强

2008年加拿大数学奥林匹克有这样一道不等式问题： 设正实数a、b,c满足a＋b＋c=1,求证：a-bc/a＋bc＋b-ca＋b＋ca＋c-ab/＋c＋ab≤3/2.     

对一道分式不等式的探究及其应用

分式不等式:设b_i>0,i=1,2,…,n,求证:本题借助柯西不等式或方差容易证得,下面给出另一种新颖简洁的证法——向量证法     

2011年吉尔吉斯斯坦数学奥林匹克不等试题的另证

2011年吉尔吉斯斯坦数学奥林匹克试题中有下面一道不等式证明题：设实数a满足a5-a3＋a=2,求证：3〈a6〈4．     

对一道韩国数学竞赛题的探索分析

2009年韩国奥林匹克竞赛中有下列一道试题：已知a,b,c是正数,求证：a3/c（a2＋bc）＋b3/a（b2＋ac）＋c3/b（c2＋ ab）≥3/2.一、结构分析此不等式结构特征明显是分式轮换不等式,且取等时满足“a=b=c”,由于结构形式复杂,将其适当变形后得到：     

2005中国数学奥林匹克的不等式题

2005年中国数学奥林匹克的试题比2004年容易些,只有第4题较困难.如下:已知数列{an}满足条件a1=2116,2an-3an-1=32n 1,n≥2.①设m为正整数,m≥2.证明:当n≤m时,有an 32n 31mm-23n(m-1)m相似文献   

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的推广

2010年瑞士数学奥林匹克赛题为 题目 已知x,y,z〉0,xyz=1,求证：     

一道不等式习题的构造法证明

本文给出高中《代数》下册中一道不等式习题的一种构造法证明 .原题如下 :求证 :a - a- 1相似文献   

一个不等式和两个国际数学奥林匹克题

定理:如果x,y,z∈R+,那么x3+y3+z3+3xyz≥x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y(当且仅当x=y=z时取"="号)     

一道数学奥林匹克试题的推广

1999年加拿大数学奥林匹克第五题是: 设x、y、z是满足x y z=1的非负实数,证明:     

巧用“局部不等式”证明分式不等式

对于一些和式、积式的分式不等式证明题，很多情况下都无法从整体下手，往往需要先考虑局部式子的特征，想办法去估计局部的性质，导出一些局部不等式，最后再结合这些局部不等式，就会“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，很完美地达到证题的目的．     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

若干2014年国际数学奥林匹克不等式题的简单解答

本文旨在对2014年国际数学奥林匹克中一些不等式问题进行探究并给出其简单解答． 例1（2014年罗马尼亚数学奥林匹克）已知a,b,c是满足xyz＋xy＋yz＋zx=4的正数,求证：z＋y＋z≥3．