不定积分计算中一类有用的变量代换

一、引言形如∫R(x,ax2+bx+槡c)dx的不定积分化为有理式积分的变量代换通常有三角(双曲)代换和欧拉代换(Euler).三角代换可把无理式化为三角有理式,欧拉代换则将无理式化为代数有理式.由于三角有理式的不定积分并非总能表示为有限形式(俗称积出来),往往还要通过变量代换(如万能代换)化为代数有理式才能积出来.因此,欧拉代换就显得相当重要;但是,借助欧拉代换所得到的代数有理式的积分,往往比较复杂,有时也不易积出来,即使积出     

含有三角函数的积分法

含有三角函数有理式的积分在不定积分中占有重要的一席之地,由于万能代换工作量较大,计算复杂,因此本文力图探索一些其他的求解方法.     

万能代换公式真万能吗?

普通高中课程标准实验教科书人教A版(必修4)第146页以问题的形式给出了万能代换公式,即利用万能代换公式,即设tanα/2=t,则sinα=2t/1 t2,cosα=/-t2/1 ts,tanα=2t/1-t3,利用万能代换公式,可以用的有理式统一表示α角的任何三角函数值;     

不定积分中三角函数有理式的简单代换

在微积分的教学中三角函数有理式的积分,通常要使用万能代换,但这种代换使运算较为繁杂,能不用尽可能不要使用此法.本文介绍的方法要容易许多,其实有一些方法可以取代这种代换.     

不定积分的两种遗解类型

不定积分的教与学是高等数学学习的一个重点,更是一个难点。这是因为这部分内容涉及的方法和技巧很多,其中倒代换法、三角函数恒等变形是常用的两种方法和技巧．常用于对被积函数脱（补）根式以及简化分式的分母．本文就这两种方法和技巧可能会引起不定积分的部分解的遗失进行了探讨．     

谈不定积分中的倒代换法

对不定积分中使用倒代换法的几种类型进行了一般推广和讨论。     

不定积分的一题多解

本文对三道不定积分的题目给出了多种不同的解法,其中综合应用了凑微分和第二类换元法(包括三角代换、根式代换和倒代换等)两类典型积分法,这对工科大学生学习综合运用多种积分技巧求解不定积分具有启发意义。     

换元积分中区间问题的研究

不定积分中三角代换区间的讨论;定积分中三角代换区间的选取。     

双曲函数有理式的积分

在介绍双曲函数的概念及双曲函数的有关恒等式、微分和积分公式的基础上,探讨了双曲函数有理式的可积性问题.通过万能或指数代换,得到并证明了双曲函数有理式的原函数都是初等函数这一重要结论.进一步给出并证明了几个常用的递推公式,通过实例说明了如何求双曲函数有理式的不定积分.     

一道不定积分题目的多种解法

本文对一个不定积分的例子给出了八种不同的解法,这些解法充分体现了了第一类换元法、第二类换元法(包括三角代换、根式代换)、分部积分等典型的形式积分法的综合应用,对工科大学生学习不定积分的形式积分法具有启发意义。     

对有理三角函数积分法的探讨

本文对三角函数有理式y=f(sinx,cosx)的积分,补充一种新的代换,把三角函数有理式的积分化为有理函数式的积分。通过代换使有理三角函数的积分方法简便、实用。     

浅议定积分的换元法

文章对不定积分与定积分的换元法进行了比较,指出：在求不定积分时,代换函数要求单调,在求定积分时,代换函数可以不单调．在此基础上提出了教学定积分的挟元法时的几点建议．     

变量代换是实现命题转换的一种重要途径

举例说明变量代换在求极限、不定积分、定积分、重积分、解微分方程中有什么作用以及怎样运用。     

浅谈三角代换在解题中的应用

在解题过程中 ,常会遇到一些表面虽与三角无关 ,但通过三角代换 ,若能将待解决的问题化为三角函数问题 ,再借助三角函数的性质及常用的处理技巧 ,往往能简便地使这些问题得到迅速的解决。三角代换的常见题型与应用技巧列举说明如下 :1　利用正、余弦函数的值域化无理代数式为三角函数式对含有无理根式 ,且根式内为ｘ的一元二次多项式的函数问题 ,常可利用正、余弦函数代换 ,将无理根式化为某个角的三角函数式 ,使问题简便获解。例 1　求函数 ｙ =ｘ 1 -2ｘ -ｘ2 的定义域和值域。解　由 1 -2ｘ -ｘ2 ≥ 0 ,得定义域ｘ∈ [-1 -2 ,-1 2 ],∴…     

三角代换的4种解题作用

三角代换在解题过程中有特殊的作用1 加强数学思想的运用代换前往往需将条件构造为适合某种三角函数的形式,并选取角的范围以便保持变量取值范围的等价性.代换后转化为参数方程或三角函数问题,利用其性质或图像求解     

例说三角代换在解题中的应用

三角函数作为重要的数学运算工具,在中学数学的各个分支中都有广泛的应用,许多函数、数列、不等式、解析几何的问题都能通过三角代换,把问题化归为三角函数的问题,这样常常能降低问题的难度,使问题得到解决.以下通过例题的方式,体现三角代换的作用.     

积分方法的探索与补充——辅助积分法

有些三角函数有理式的积分,用传统的万能代换法化为代数有理式积分仍然比较复杂,求积分过程相当困难,有时甚至无法积出.辅助积分法为解决这类三角函数有理式的积分提供了一种新方法和新思路,是传统积分方法的有益补充.     

巧用三角的方法证明或求解代数问题

所谓用三角方法解代数问题,就是将代数问题中的字母通过三角函数（或式）代换,变为三角问题处理,以求解答．在三角换元时,首先要从代数问题中字母的允许值范围考虑,看能用哪些三角函数（或式）去代换,再根据解题的需要进行选择．一般地说,代换进去的三角函数（或式）的值域应是代数中字母的允许值范围．明确这一点可以帮助我们较快地、合理地选择三角代换．     

例析角的四种变换在解题中的应用

在有关三角函数的一些题目中，角的变换常常使函数名称、次数及运算符号等也相继发生变化，因此进行必要的变角代换，常常是解决问题的关键，对于正确解题和提高解题能力都会有很大的帮助．本文举例介绍三角函数中常用的变角代换，供大家参考．     

“万能代换公式”在解题中的应用

在中学三角中,根据二倍角公式,可以推出角α与1/2α的关系式。令tg1/2α=t,可得sinα=(2t)/(1 t~2),cosα=(1-t~2)/(1 t~2),tgα=(2t)/(1-t~2) 利用这三个恒等式可以把各三角函数之间的关系式转化成关于t的代数关系式,这样,在解决三角的许多问题时都很有用处,因此我们通常把它们叫做“万能代换公式”也叫做“万能公式”。一.在求值中的应用例1 求(tgx secx-1) (ctgx cscx-1)。