巧用代入法 妙求分式值

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…     

两个取值问题的错解与正解

例 1　已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解　∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析　由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解　y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2　已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解　∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 ,　　 -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -…     

一个典型题目的典型错解

题目:已知:1≤a-b≤2,且2≤a b≤4,求4a-2b的范围.对于上述题目,不少同学采用下面的方法求解:由于1≤a-b≤2,2≤a b≤4,两式相加得3≤2a≤6,即23≤a≤3,6≤4a≤12,两式相减得,0≤b≤32,得-3≤-2b≤0,故3≤4a-2b≤12上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的,那到底是为什么呢?我们先看不等式4a-2b≥3,什么时候取等号,由上述解题过程可知,当a=23且b=23时,才能取等号,而此时a-b=0,不满足1≤a-b≤2,因此4a-2b是不可能等于3的,同理可验证4a-2b也不能等于12,出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不…     

几类目标函数的求法

在线性规则中,常见的目标函数是直线型的,对非直线型的目标函数,本文给出几种类型及其解法·一、斜率型【例一】设x、y满足y≥0x+2y+1≤0x+y+2≥0①求目标函数z=yx--12的最大最小值,②求目标函数z=xx-+yy的最大最小值·解:①目标函数z=xy--21表示可行域内的点(x,y)与点(1,2)连线的斜率,则zmax=21-+10=1,zmin=21-+31=14·如图一,②设x-y=a,x+y=b,则x=a2+b,y=b-2a·因此,可行域y≥0x+2y+1≤0x+y+2≥0可化为b-a≥03b-a+2≤0b+2≥0,目标函数可化为z=ab,建立aob坐标系,则z=ab表示可行域b-a≥03b-a+2≤0b+2≥0内的点到原点连线的斜率·如图二,所以…     

一个数学问题的变式探究与应用

问题：如图1,电影屏幕的上下边缘A、B到地面的距离AD=a、BD=b（a＞b）,屏幕的正前方地面上一点P,求视角∠APB的最大值,以及当∠APB最大时,P、D两点的距离.解：设∠APB=β,∠BPD=α,PD=x,则因为β为锐角,所以当tanβ最大时,∠APB最大.由tan（α＋β）=a x,tanα=b x得tanβ=tan（（α＋β）-α）=a x-b x/1＋a x·b x=a-b/ x＋ab x≤a-b/2√ab,当且仅当x=ab/x即x=√ab时,tanβ有最大值a-b/2√ab.故得结论。     

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

一道IMO试题的推广

设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4)     

高考“函数问题”的六大热点

热点1———以集合为载体的函数问题例1、若A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C哿B,求a的取值范围.点拔:联想图象,由形定数.解:B={y|-1≤y≤2a+3}.如图,抛物线z=x2与直线x=-2,x=a的交点分别是(-2,4),(a,a2),直线y=2x+3与x=-2,x=a的交点分别是(-2,-1),(a,2a+3).要使C哿B,当且仅当2a+3≥a2,2a+3≥4 .∴12≤a≤3.点评:从B、C条件中的函数联想到它的图象,则集合间的包含关系立即得到直观化,相应的代数关系式随之确定,避免了对a的分类讨论.由于每一个函数总对应一个图象,因此,对于以集合为载体的函数问题常常利用函数的…     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

巧用一个等式解题

由完全平方公式,得(a-b)2=a2-2ab+b2,(b-c)2=b2-2bc+c2,(c-a)2=c2-2ca+a2,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2(a2+b2+c2+ab-bc-ca),∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2].这是一个非常重要的等式,巧用它,某些代数题的解答可变得简易、迅捷.例1如果a=1999x+2001,b=1999x+2002,c=1999x+2003,那么a2+b2+c2-ab-bc-ca的值是().(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.解:已知三等式两两相减,得a-b=-1,b-c=-1,c-a=2.原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=3.例2若a、b、c是不全相等的任意有理数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z().(A)都小于0;(B)都大于0;(C)至少有…     

错在哪里

题设点(a,b)在区域x≥0y≥0x+y≤2内,则点P(a+b,a-b)所在区域的面积为(A)1(B)2(C)4(D)8解根据线性规划的知识,可以求得0≤a+b≤2,-2≤a-b≤2,所以点P在一个长为2、宽为4的长方形区域内,故所在区域的面积为8,选(D).解答错了!错在哪里?错在在解题过程中,只考虑了a+b和a-b的范围,而忽视了a+b与a-b之间的内在联系.事实上,在a+b=t(t≥0)时,-t≤a-b≤t,所以点P在一个如右图所示的等腰三角形区域内,易知其面积为4,故应选(C).题设a∈[-1,1],求不等式x+(a-4)x+4-2a>0的解集.解法一本题为x的一元二次不等式,a为已知数,左边二次三项式二根为4-a±|a…     

相似形探究

【知识归纳】1.比例线段的有关概念及比例的性质;2.平行线分线段成比例定理及有关结论;3.相似三角形的有关概念;4.相似三角形的判定及性质;5.常见相似图形.【例题分析】1.已知2a-ba 3b=-110,则ab=.解:(1)利用比例的基本性质将2a-ba 3b=-110变形得:10(2a-b)=-(a 3b),进一步整理可得:ab=13.(2)由已知可设:2a-b=-k,a 3b=10k,组成一个方程组2a-b=-ka 3b=10,解之得:a=kb=3.至此,也不难得出ab=13.2.已知:如图(1),D点为△ABC边AB上一点,且∠1=∠2,求证:ACBC=ADBD.分析:此题的证明方法很多,下面我们简单地列举几种.如果CA=CB,结论显然成立.…     

巧用一个结论解竞赛题

结论设实数a、b满足a≥b,则对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.证法1(零点分段讨论法)因为b,a分别是|x-b|和|x-a|的零点,于是分三种情况讨论:(1)当xa-b;(2)当b≤x≤a时,|x-a|+|x-b|=(a-x)+(x-b)=a-b;(3)当x>a时,|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=(a-b)+2(x-a)>a-b.综上,对任意实数x有|x-a|+|x-b|≥a-b,当且仅当b≤x≤a时等号成立.     

全国高考数学理（18）题解法探析

题目 :已知复数 z1 =i( 1 - i) 3,( )求 argz1 及 | z1 | ;( )当复数 z满足 | z| =1 ,求 | z- z1 |的最大值 .上述第 ( )题比较直观 ,可直接求得 .z1 =i( - 2 - 2 i) =2 - 2 i=2 2 ( cos7π4 isin7π4) ,从而 argz1 =7π4,| z1 | =2 2 .而第 ( )题则是复数模的最值问题 ,本文对其分析探究 ,给出下面六种解法 :解法 1　 (代数法 )设 z=a bi,( a,b∈R) ,则由条件知 a2 b2 =1 ,∴ | z - z1 | =( a- 2 ) 2 ( b 2 ) 2 =9- 4 a 4 b.令 y=- 4 a 4 b,与 a2 b2 =1联立并消去 a,可得 32 b2 - 8yb y2 - 1 6 =0 ,则由题意有 Δ=6 4y2 -…     

不等式问题中的五种常见错误

一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②由①+②得32≤a≤3.又由①得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤23.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.即得f(-2)的取值范围是[3,12].错因分析本题从①+②到②+③,再到得出f(-2)的取值范围这一过程中,多次重复应用了不等式的可加性,而每次的“=”号不一定同时成立,从而使取值范围扩大.正解设f(-2)=m f(-1)+nf(1)(m,n待定),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b.∴m+n=4,m-n=2.解之得mn==13,.∴f(-2)=…     

平面向量的数量积热点题型展示

题型1:求数量积、求模、求夹角 例1 (2011年高考江西理11)已知|a|=|b| =2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为______. 解析:根据已知条件(a+2b)·(a-b)=-2,去括号得|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2(→)cosθ=1/2,故θ=60°.     

用ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2巧解竞赛题(初二,初三)

公式ab=((a+b)/2)2-((a-b)/2)2的正确性是显然的,用此公式,可巧解国内外一些竞赛题. 例1 正数a,b,c,x,y,z满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

2002年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试题

<正> 一、填空题(本大题共有12题,每小题4分,满分48分). 1.若z∈C,且(3十z)i=1相似文献   

高二数学专题复习月考卷(一)——不等式(1)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1(.2006年江苏高考试题)设a,b,c是互不相等的正数,则下列等式中·不恒·成·立·的是()A.a-b≤a-c b-c B.a2 a12≥a 1aC.a-b a-1b≥2D.#a 3-#a 1≤#a 2-#a2.已知关于x的不等式(x-bx)-(ax-c)≥0的解集为｛x│-2≤x<-1或x≥2007｝,则点(a,bc)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若a>0,b>0,c>0,且(a b)c=1,则a b c的最小值为()A.2B.1C.3D.44.规定符号:表示不小于x的最小整数(例如…