利用两数的和与积求值

解答某些与二次根式有关的求值问题时,利用两数的和与积作整体代换,能取得事半功倍的效果。例1.若x=3-23 2,y=3 23-2,则3x2-5xy 3y2=。(1996年四川省初中数学竞赛试题)解:化简,得x=5-26,y=5 26。∴x y=10,xy=1.原式=3x2-5xy 3y2-5xy　　=3(x y)2-11xy　　=289。例2.已知x<0为实数,且x-1x=5,则x7 12x4 xx8 9x4 1的值为(　　)。(A)-9319;　(B)-1993;(C)-328;　(D)-75。(1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题)解:设1x=y,那么x-y=5,yx=1。∵x<0,y<0,　　∴x y=-(x-y)2 4xy=-3。∴x2 y2=(x-y)2 2xy=7。∴x7 12x4 xx8 9x4 1=(x7 12x4 x)÷x4(x8 9x4 1…     

对称换元法求分式值

当题目中的未知数x、y具有对称关系时(即当x、y互换位置时,原式保持不变),如果令x y=a,xy=b,用换元法进行解答,就可以使解题过程更简单.下面通过几道例题,帮助同学们掌握这种解题技巧在分式求值中的妙用.例1若x-1x=1,则x3-1x3的值为().A.3B.4C.5D.6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1,所以x3-1x3=x3-y3=(x-y)3 3xy(x-y)=13 3×1×1=4.故选B.例2若x2-5x 1=0,则x3 1x3=.解:由x2-5x 1=0,可知x≠0,故等式两边同除以x,得x 1x=5.设1x=y,则x y=5,xy=1,所以x3 1x3=x3 y3=(x y)3-3xy(x y)=53-3×1×5=110.例3已知ax a-x=2,那么a2x a-2x的值是().A.4B.3C.2D.6…     

一道高考题的解法及推广

2005年重庆卷(理工农医类)第5题:若x,y是正数,则(x 21y)2 (y 21x)2的最小值是()A.3B.27C.4D.29解法1(x 21y)2 (y 21x)2≥2(x 21y)(y 12x)=2(xy 41xy 1)≥2(2xy41xy 1)=4,当且仅当x 21y=y 21xxy=41xy时,即x=y=22时取等号.所以所求最小值为4,故选C.解法2(x 21y)2 (y 21x)2≥21(x     

八年级上册第七、第八章自测题

A卷一、选择题1.下列各对数中是方程2x+3y=12的解的有().x=3,y=2;x=1,y=2;x=-3,y=-2;x=0,y=4.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.二元一次方程组xy+=22xy=10,的解是().(A)xy==43,(B)xy==36,(C)xy==24,(D)xy==42,3.在方程4x+3y=8中,如果6y=8,那么x的值为().(A)1(B)2(C)3(D)44.一组数据:18.8,17.8,17.8,18.2,18.5,18,18.2的中位数为a,平均数为b,则().(A)a>b(B)a=b(C)a相似文献   

精心联想 巧证不等式

联想是以观察为基础,对研究的对象或问题,联想已有的知识和经验进行形象思维的方法.通过联想,构造相应的条件,从而解决问题.【例】　设x、y∈R+,且x+y=1,求证:(x+2)2+(y+2)2≥252.联想一:巧用“a2+b2≥2ab”法1:直接法由x+y=1,得(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4x+4y+8=(x+y)2+4(x+y)+8-2xy=13-2xy又∵x、y∈R+,由均值不等式,∴x+y≥2xy,即xy≤14,则-2xy≥-12.故(x+2)2+(y+2)2=13-2xy≥13-12=252.证毕.法2:间接法令a=x+2,b=y+2,则a+b=(x+2)+(y+2)=x+y+4=5(定值)∵a2+b2≥2ab,两边同时加上a2+b2得a2+b2≥(a+b)22即(x+2)2+(y+2)2≥[(x+2)+(y+2)]22=252.…     

因式分解中的变换技巧

一、拆项变换例 1　分解因式 :x3- 9x 8。解 :原式 =( x3- 1) ( - 9x 9) =( x- 1) ( x2 x 1) - 9( x- 1) =( x- 1) ( x2 x- 8)。注 :本题是通过将 8拆成 - 1和 9后 ,再用分组分解法分解 ;也可将 - 9x拆成 - x和 - 8x,或将x3拆成 9x3和 - 8x3分解。二、添项变换例 2　分解因式 :x4 y4 ( x y) 4。解 :原式 =x4 2 x2 y2 y4 -2 x2 y2 ( x y) 4=( x2 y2 ) 2 -2 x2 y2 ( x y) 4=〔( x y) 2 -2 xy〕2 - 2 x2 y2 ( x y) 4=2〔( x y) 4- 2 xy( x y) 2 x2 y2 〕=2〔( x y) 2 - xy〕2 =2 ( x2 xy y2 ) 2 。注 :本题是关于 x、y的对称式 ,…     

求函数最值的十种构造方法

一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献   

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

整式的除法检测题

一、选择题1.若xmyn÷(41x3y)=4x2,则().A.m=6,n=1B.m=5,n=1C.m=6,n=0D.m=5,n=02.下列计算中正确的是().A.(-y)7÷(-y)4=y2B.(x y)5÷(x y)=x4 y4C.(a-1)6÷(a-1)2=(a-1)3D.-x5÷(-x3)=x23.计算-3a2b5c÷(12ab2)的结果是().A.-23ab3c B.-6ab3cC.-ab3D.-6ab34.若(a b)÷b=0.6,则a÷b的值等于().A.-0.6B.-1.6C.-0.4D.0.45.下列计算正确的是().A.x3÷x2=x6B.(3xy2)2=6x2y4C.y4÷y4=1D.y4 y4=2y86.有下列各式:(1)(6ab 5a)÷a=6b 5;(2)(8x2y-4xy2)÷(-4xy)=-2x y;(3)(15x2y-10xy2)÷(5xy)=3x-2y;(4)(3x2y-3xy2 x)÷x=□北京浩然3xy-3y2.…     

代数式的变形在解题中的应用

代数式的变形是中学数学中一类常用的解题技巧,其方法灵活多变,我们在化简、求值、证明恒等式(不等式)和解方程(不等式)的过程中,常需将代数式变形,现结合实例,对代数式变形中一些常用方法和技巧作一介绍。一、变化已知条件或所求式例1 若1/x-1/y=3,则2x+3xy-2y/x-2y-y=___。解:由若1/x-1/y=3可知x-y=3xy,所以 2x+3xy-2y/x-2y-y =2(x-y)+3xy/(x-y)-2xy =2(-3xy)+3xy/-3xy-2xy=3/5。例2 如果a是x~2-3x+1=0的根,试     

条件二次根式值的求法

一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) …     

一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

多视角解答一道高考最值题

高考原题（2011年高考浙江理科卷第16题）设x,y为实数,若4x²+y²+xy=1,则2x+y的最大值是_<sub><sub><sub><sub><sub>,难度系数0.78利用重要不等式求最大值解法1∵1=4x²+y²+xy≥2·2xy+xy=5xy,∴xy≤1/5.令t=2x+y,则t²=（2x+y）²=4x²+y²+4xy=1-xy+4xy=1+3xy≤1+3/5=5/8,所以2x+y的最大值是2(10^1/10).     

等式的一个性质在解题中的应用

我们知道,等式两边平方后,等式仍然成立,在初中代数中相等式的这种性质来解题,常常能使学生不易入手的复杂问题变得简单明白,现举例说明。 1 用来求整式的值 例1:已知:x y=1/2……①,x~2 y~2=1/3……②,求:8(x~4y十xy~4)的值。 解:把①两边平方得x~2 2xy y~2=1/4③,把②代入③得2xy=1/4-1/3,xy=- 1/(24),8     

巧用二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件 ,可以证明以下一类不等式 .例 1　设 x>0 ,y>0 ,且 x3 - x2 - 2 xy-y2 y3 =0 ,求证 :10 ,t>0 ,t2 - 4× t2 - t3>0 ,即 115 ,b>15 ,ab=22 5 ,求证 :a b<35 .证明　设 a b=t,ab=22 5 ,∴ a,b为一元二次方程 f (x) =x2 - tx 22 5 =0的两个根 .由于 a>15 ,b>15 ,f (15 ) >0 t<35 ,…     

一个数学问题的研究性学习

1　问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2　转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知　a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ …     

约束条件错误转换的分析

以下做法是否正确？ 例1 （2010年江苏卷第12题） 设实数x,y满足3≤xy2≤8①,4≤x2/y≤9②,则x3/y4的最 大值是______.解 ②式平方乘①式,得3×24≤x5≤23×34.③②式除以x2后再4次方,得28/x8≤1/y4≤38/x8.④④式乘x3,再将③式代入,得25/34≤x3/y4≤37/24.因此x2/y4的最大值是37/24 例2 已知函数f(x)=ax2 -c,满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献   

均值不等式的巧用例析

例1:求y=4sinxcos2x的最值.解:y2=16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x≤8(2sin2x cos2x cos2x3)3=8(23)2=2674.当且仅当2sin2x=cos2x,即tg2x=12时,等号成立.当tgx=-姨22时,ymin=-8姨93;当tgx=姨22时,ymax=8姨93.[评注:巧用sin2x cos2x=1和16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x变形.]例2:某厂要生产一批无盖的圆柱形桶,每个桶容积为32πm2,用来做底面的塑料3元/m2,做侧面的塑料2元/m2,如何设计它的底面半径和高,才能使成本最低.解:设圆柱形桶的底面半径为r,高为h,成本为y.则:y=3πr2 2×2πrh=π(3r2 4rh)=π(3r2 2rh 2rh)=π×3姨33r2 2rh 2rh=3…     

2010年江苏高考理科数学试题12题详解

已知实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤（x2）/（y）≤9,则（x3）/（y4）的最大值是____. 解法1 设x3/y4=（xy2）m（x2/y）n,对比次数得：m＋2n=3,2m-n=-4.解得m=-1,n=2.由已知得：1/8≤1/xy2≤1/3,16≤x4/y2≤81,两式相乘得：2≤x3/y4≤27.当xy2=3且x2/y=9时取最大值27,此时x=3,y=1.