圆的基本题型解析

一、圆的有关性质题型例1如图1,以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点G,连结AD,并过点D作DE⊥AC,垂足为E.根据以上条件写出三个正确结论(除AB=AC,AO=BO,∠ABC=∠ACB外)是     

浅析一道几何题的证明方法

题目:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作DE⊥AC,垂足为E.BE交⊙O于F.AF的延长线交DE于G.求证:     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

巧添切线辅助线

1遇有半径作切线,与半径垂直于外端 当题中的图形内有半径(或直径)时,可过半径(或直径)的外端作圆的切线,则这条切线垂直于经过切点的半径。这对证明题会增加新的条件。例1 已知:如图1,在⊙O中,OA⊥OB,在OB上任取一点E,AE交⊙O于点D,过D作切线DC交OB的延长线于点C,求证CD=CE. 略证过点A作⊙O的切线AF,那么AF⊥OA,又因为OA⊥OB,于是得到AF∥OB,∠CED=∠FAD,又由CD于⊙O相切于点D,得到∠CDE=∠FAD,故可得出结论。     

2008年第3期问题

157.如图,在△ABC中,以边BC为直径作半圆,交AB、AC于D、E两点,若DE=EC=4,BC-BD=156.试求BDB-CAD"的值.(安徽芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)158.如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于A,交⊙O2于B,AC切⊙O2于C,交⊙O1于D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程:x2-"m 16x 4=0     

直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

如何解决圆与函数相结合的压轴题

1.圆与一次函数、二次函数联姻例1(2011湖北襄阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C,连结BC,AC.CD是⊙O′的切线,AD丄CD于点D,     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

有关圆的问题辅助线的作法

在解决圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,圆中辅助线的作法较多,变化万千,这里举例介绍几种常见的辅助线的作法.例1如图1,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证证法:A一C平分∠DAB.连结BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠1 ∠B=90°.又AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠2 ∠3=90°,又DC为⊙O切线,∴∠3=∠B.由上可知:∠1=∠2,∴AC平分∠DAB.点拨当圆中出现直径时,常构造“直径上的圆周角”,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.证法二连结OC.∵DC为⊙O的切线,∴OC⊥DC.∵AD⊥DC,∴OC∥AD,…     

对2005年一联赛题解法的改进

2005年全国初中数学联赛第四题是一道平面几何的计算题,它涉及圆,直角三角形,相似三角形等知识,学习了标准答案之后,觉得原解法有值得改进的地方,现先将题目和标准答案抄录于下:(2005年全国初中数学联赛初赛第四题)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB连结DC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.     

关于圆中辅助线的作法

<正>本文以中考题为例,利用口诀的方式,分类总结有关圆中辅助的作法,以帮助同学们思考和记忆.一、圆上若有一切线,切点圆心半径连例1(2014年天水)如图1,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由;(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的     

活用条件谈方法 开拓思维证切线

<正>与切线相关的问题是中考常考的内容.证明一条直线是圆的切线,通常有两种方法:(1)未已知切点,用作垂直,证半径的方法;(2)已知切点,用连半径,证垂直的方法.方法(2)中的关键是证明切线和半径垂直.本文通过举例阐述第(2)种证明切线的方法.一、利用等量代换证垂直例1 如图1,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,∠D=2∠A.求证:CD是⊙O的切线.方法解析方法1如图1,利用同弧所对的圆     

巧作外接圆 妙解几何题

圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得…     

几何证明中添加辅助线的途径

一、构造基本图形，添加辅助线 例 1.如图 1，过△ ABC的顶点 C任作一直线与边 AB及中线 AD交于 F、 E两点，求证 . 证明 1：过 D点作 DG∥ AB交 CF于 G点， 证明 2：如图 2，过 D点作 DG∥ CF交 AB于 G点，下略 . 这里通过构造平行线分线段成比例定理的原型图形，添加了辅助线，使问题得到证明 . 二、构造经验图形，添加辅助线 例 2.如图 3，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于点 P，两圆的外公切线 AB切⊙ O1于 A，切⊙ O2于 B， AC是⊙ O1的直径， CD切⊙ O2于 D，求证： AC=CD。 (连云港市中考题 ) 证明：利用例题 (＊ )，…     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

再究赛题

题目如图1所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E．连结AC与DE交于点P．问EP与PD是否相等？证明你的结论．     

如何过圆外一点作圆的切线

<正>问题怎样从圆外一点画出圆的切线呢?如图1,点P为⊙O外一点,怎样利用直尺和圆规过点P作⊙O的切线?作法1如图1.(1)连结PO;(2)以PO为直径作圆交⊙O于点A;(3)过P,A两点作一直线,则直线PA就是所要作的圆的切线.     

源于一道课本习题的中考题

原题 如图1，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE垂直AC，垂足为E．求证：DE是⊙O的切线．(初中几何第三册P115第4题)     

有关圆的问题

圆是初中平面几何重要的基础知识之一,也是数学竞赛的热点。本文将国内各级各类初中数学竞赛试题中有关圆的试题选择一部分归纳整理介绍给读者,这些试题大多出于专家和名家之手,构思巧妙,题目新颖别致,富于思考性和趣味性,初中数学爱好者可以从中受到启发和锻练,提高自己的应试能力。 一、线段的计算与证明 例1 已知⊙O直径AB,过A作切线AC,且使AC=AB,连结OC交⊙O于D,连结BD并延长交AC于E,求证:AE=CD,(1983年,芜湖市) 证明:连结AD,∵AC是⊙O的切线,     

一道2012年兰州市初中毕业考试题解法探究

题目:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE.(1)判断DE与圆O的位置关系系并说明理由;(2)求证:BC2=2CD·OE;(3)若tanC=52,DE=2,求AD的长.