第40届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．若一个正整数的正因数中恰有两个为素数,则称该正整数为“好数”．问：是否存在18个连续正整数均为好数？     

甲乙对话 话移项

我们知道．所谓“质数”就是只有1和它本身两个约数的数．对于一个很大的数，要判断它是不是质数并不是一件很容易的事(主要原因是计算量太大，数学家为了减少计算量动了不少脑筋)．对于一个不是很大的数．就不必考虑计算量．这时我们有一种很简单的方法：对于任意一个正整数n，依次用1到n之间的质数去除，如果没有一个质数能整除n，这个数就是质数(为什么)。     

幂的运算性质的学习

幕的三个运算性质是学习整式乘法的基础和依据,学习时要注意下面三个问题．一、理解并掌握幕的3个运算性质的归纳过程把底数由正整数扩充到任意数a,指数扩充到任意正整数m、n后,同底数幕的乘法性质的归纳如下：掌握了运算性质的归纳过程就能真正理解运算性质,用起来就不会出错．二、熟记幕的3个运算性质的字母表达式和文字叙述只记住字母表达式而没有理解文字叙述,对字母的含义往往理解不透．l·a””a”＝a”””（m、n都＆zat数）．同底数的幂相乘,底数不变,指数相加．2．（a叼“＝a删（m、n都是正整数）．幂的乘方,底数不变,指…     

一次“以退为进”的探究之旅

1．初识赛题 数学竞赛贴吧交流共促活动暨第3届“沧海杯”数学竞赛一试第6题：计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数礼时按下这个键，会等可能的将其替换为0至n-1中的任意一个数．如果初始时显示2011，反复按这个键使得最终显示0，那么这个过程中，     

类比探索猜想论证——记一道竞赛题的由来

2007年北京市初二数学竞赛有这样一道压轴题： 若对于任意n个连续正整数中,总存在一个数的各位数字之和是8的倍数,试确定n的最小值,并说明你的理由．     

2009中国数学奥林匹克第6题的解法追源

题目给定整数n（n≥3）．证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A、B,数∑x∈A x/｜A｜与∑x∈B x/｜B｜是互质的合数．这里,∑x∈A x与｜A｜分别表示有限数集A中所有元素之和与元素个数．     

一道IMO试题的推广

题目（第52届IMO试题）对任意由4个不同正整数组成的集合A={a1,a2,a3,a4},记SA=a1＋a2＋a3＋a4,设nA是满足ai＋aj（1≤i〈J≤4）整除乳的数对（i，J）的个数，求所有由4个不同正整数组成的集合A，使得nA达到最大值．     

从“0乘以任何数都得0”的逆命题谈起

同学们,也许在读小学甚至读幼儿园的时候老师就教过您：“0乘以任何数都得0”,如果我们用数学符号语言来描述这一数学事实就是：“若a=0,b=0,则x取任意实数等式ax=b都成立”．邵么它的逆命题就是：“若x取任意实数等式ax=b都成立．则a=0,b=0”．当然它的逆命题还可以作如下改进：     

对一道高考题的探究与拓展

题目（2014年高考数学江苏卷第20题）设数列{an}的前n项和为Sn。若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”。 （Ⅰ）若数列{an}的前”项和Sn=2^n（n∈N^＊）,证明：{an}是“H数列”;     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

浅析二项式定理的应用

二项式定理： 对于任意两个数a和b以及正整数n，总有（a＋b）n=Cn0an＋Cn2an-1b＋Cn2an-2b2＋…＋Cnran-rbr＋…＋Cnnbn,式中Cnm为组合数．公式右边的多项式称为二项展开式，又称牛顿二项展开式．     

谁是胜者

有两个人玩这样一种游戏，第一个人说出一个一位正整数；第二个人对该数加上另一个一位正整数．接着第一个人对这个和数再加上一个一位正整数，并说出和数，如此下去．谁先说到66，谁便得胜．试问，如果玩法正确，胜者是谁?先开头的呢，还是其对手?要想必胜，应该怎样玩这种游戏?     

数学奥林匹克问题

初247 设有n张同样大小的正方形卡片,分别写着一个正整数,这n个正整数是连续的两位数,这些两位数的和等于首末两项“合成数”（如1＋2＋…＋5=15,4＋5＋…＋29=429）．如果卡片的边长是大于1的整数,这些卡片面积的和为2009,那么,卡片上写的是哪此数？     

Graham猜测的一点注记

Graham曾猜测：有无穷多个正整数n适合同余式2n＝k（modn）其中k≠1为任意给定的整数，本文证明了当k＝±2m，k≠1，m为正整数时Graham猜测成立，同时我们得到了同余式a(kn-b)≡－C(kn-b)（modn）的一些结果，并提出如下猜想：对任意给定的正整数a，c，（a，c）＝1均存在无穷多个正整数n适合同余式．an-2≡-cn-（modn）     

固定数字循环式“黑洞”

任意选取一个正整数，将这个数里的每一个数字平方后相加，得到一个新的数，再将得到的这个数中的每个数字平方后相加，如此下去．不管你开始选的数是多少，在这种运算下，数飘来飘去，最后都将一下子被卷进一个有巨大吸引力的漩涡，结果就永远也出不来了。     

用斐波那契数列求解一道全国数学联赛题

在2005年10月举行的全国数学联赛（江苏卷）中，有这样一道数列证明题： “数列{αn}满足α0=1,α=7αn＋√45αn^2-36/2。 证明： （1）对于任意的n,αn．为正整数;     

“1”义非凡

“1”是最小的正整数,1既不是质数也不是合数,1是奇数,1的任意次幂还是1,1的算术平方根是1,1的立方根等于1,任意数乘以或除以1,结果还是它本身,任何一个正整数都可以写成分母是1的分数,     

统计在2007年高考试题中的体现

能被2整除的数叫做偶数，一个大于1的正整数，若除了1与它本身外，再没有其它的正约数，这样的正整数叫做质数．同日寸具备上述两个条件的数只有“2”．在质数集合中，偶质数只有一个“2”．在竞赛题中，对偶质数“2”的考查并不少见，现举例说明．     

无限性与数学教育

人与无限性（无穷性：infinity）总归有缘，幼儿园的孩子拍球数（shu）数（shu）：1，2，3，4，…，不担心数不够用，小学生学会了加法，不担心任意两个数相加，会没有得数．他们的“信心”是从哪里来的？模模糊糊的无限性．进而，学除法．     

未知量为正整数的二次不等式

问题1 在数列{an}中,an=n^2-kn．若对任意的正整数n,an≥a3都成立,求实数k的取值范围． 问题2 不等式n^2＋pn＋q≥0对任意正整数n恒成立的充要条件是什么？（常数p,q∈R）