一个分式不等式的加强与推广

文 [2 ]用初等方法证明了文 [1 ]中的分式不等式 :若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥(ａ1+ａ2 +ａ3 +ａ4) 21 2 .①本文将给出①的加强与推广 .加强　若ａ1、ａ2 、ａ3 、ａ4∈Ｒ+,求证 :ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4+ ａ3 2ａ1+ａ3 +ａ4+ ａ3 3 ａ1+ａ2 +ａ4+ ａ3 4ａ1+ａ2 +ａ3≥ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ243 .②证明 :∵ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ(ａ、ｂ∈Ｒ+) ,∴ (3ａ1) 2ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 2 (3ａ1) - (ａ2 +ａ3 +ａ4) ,即　 ａ3 1ａ2 +ａ3 +ａ4≥ 23ａ21- 19(ａ1ａ2 +ａ1ａ3…     

两个分式不等式的推广与证明

本文将构造向量，利用向量不等式，对不等式（1）（2）进行深入探索，得到几个新的结论，叙述如下．     

几个分式不等式的另证及其推广

贵刊文[1]给出了几个姐妹分式不等式,它们不仅形式优美,而且其证明方法也很独特,笔者读后深受启发．本文将给出文[1]中几个分式不等式的另一证法,并对它作进一步的推广,仅供大家参考．     

一个分式不等式的指数推广

文[1]提出并证明了如下一个优美的分式不等式： 设x、y、z为正实数,求证：     

一个分式不等式的推广与应用

文[1]给出了如下定理及证明: 定理1设ai∈R ,n∑I=1ai=s,k∈N,k≥2,则有n∑I=1 aki/s-ai≥sk-1/(n-1)·nk-2.(1)其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.     

一道分式不等式的再加强

文[1]给出了一道不等式：若a1、a2、a3、a4∈R^＋,求证。     

关于一道三元分式不等式链

一类三元分式不等式证明的数学问题 ,屡见于数学竞赛和多种数学杂志征解题中 ,绚丽多姿 .其证明方法虽有多种 ,但颇具难度 .传统证法往往因题而异 ,孤立施证 ,因而难以看出诸不等式之间的内在联系 ,“只见树木 ,不见森林” .本文提出一道三元分式不等式链 :定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,并记Ｐ=ａ2ｂ ｃ ｂ2ｃ ａ ｃ2ａ ｂ,Ｍ=ｂ2ｂ ｃ ｃ2ｃ ａ ａ2ａ ｂ,Ｎ=ｃ2ｂ ｃ ａ2ｃ ａ ｂ2ａ ｂ,Ｌ=ａｂｂ ｃ ｂｃｃ ａ ｃａａ ｂ,Ｒ =ｃａｂ ｃ ａｂｃ ａ ｂｃａ ｂ,Ｑ =ｂｃｂ ｃ ｃａｃ ａ ａｂａ ｂ,则Ｐ≥Ｍ =Ｎ ≥ 12 ∑ａ≥ＬＲ1…     

一个分式不等式的指数推广

文[1]利用柯西不等式与算术--几何平均不等式证明了如下分式不等式(即文[1]推论2): 若ai∈R+(i=1,2,…,n),2≤n∈N,m∈N,且S= ai,则有 (1) 本文给出不等式(1)的一个指数推广.     

证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

证明分式不等式的一个行之有效的方法

证明分式不等式的困难在于化去分母并能降低次数,本文试图推出一个公式,以达到消去分母并降低次数的目的．设想已排好的一张m行n列的数表,其中的aij,）0（f一1,2…·。,j—I,2,…,。）设每一列的元素和为人一面a。。,j—l,2,”’,n,每一行的元素积为且一IIa。。,i一1,2…·,m．则据j一平均值不等式有将上面n个不等式相加得等号当且仅当数表中所有行对应的元素成比历时成立．下面举例说明公式的应用．例1设a,b,c,d为非负实数,且ah＋be＋cd＋d“l,＿＿＿＿…＿＿．＿＿。H－＞＋（第对届IMO预选题）a＋b＋c”3””·…     

一个推广不等式的再推广

利用凸函数及导数理论建立了一个不等式,并利用所建立的不等式得到推广不等式关于根指数的进一步推广.     

一个分式不等式的探究

文[1]提出了如下问题：若0〈θ〈π/2,f（θ）=sin^2θ/sin^4θ＋cos^2θ＋cos^2θ/sin^2θ＋cos^4θ,试求函数f（θ）的最大值。     

Bellman不等式的推广

Bellmen(Gronwall)不等式在常微分方程、偏微分方程解的唯一性、存在性、稳定性的研究及方程解的估计中起着重要作用.本文主要介绍了Bellman不等式的各种推广形式,并给出了一种新的推广形式.     

Klamkin不等式的移植与推广

利用幂平均不等式将Klamkin不等式推广至空间任意n边形。     

一个极限问题的推广及其应用

推广了微积分学的一个经典极限问题,得到了数列极限和函数极限的两个较好结论．应用此结论,比较容易地解决一些较难极限问题．     

一类多元不等式的推广及应用

琴生不等式是一个重要的不等式。首先,从《数学通报》2007年第9期的一个问题出发,根据问题结构特点,巧妙利用琴生不等式求解;其次,对问题进行了推广,获得了三个结论;最后,把获得的结论应用到解决有关的三角问题上。     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…