以“图”导思 顺畅解题

做下面这道题,先不看答案,看你能不能很快找到解题思路并且顺畅解题 例1（1）一次函数f（x）=kx＋h（k≠0）,若m〈n有f（m）〉0,f（n）〉0,则对于任意的x∈（m,n）都有f（x）〉0,试证明之;     

例谈“恒成立不等式”问题

本文“恒成立不等式”问题的界定：形如，f（x,a）〉0（或≥0或〈0或≤0），当x∈区间D时恒成立，求a的范围的问题．所谓“x∈D时，f（x,a）〉0恒成立”，从集合的观点看，就是D是不等式f（x,a）〉0的解集的子集；从数形结合的观点看，就是当x∈D时，函数y=f（x,a）的图象在x轴上方；从函数观点看，就是x∈D时，函数y=f（x，a）的最小值大于0．     

奇思妙解函数中的“恒成立”

例题show：已知函数f（x）=1＋x/1-xe^-ax.（Ⅰ）设a〉0，讨论以y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）〉1，求a的取值范围。     

2002年全国高中数学联赛第15题的讨论

2002年全国高中数学联赛第15题： 设二次函数：f（x）=ax^2＋b＋c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：（1）当x∈R时,f（x-4）=f（2-x）,且f（x）≥x;（2）当x∈（0,2）时,f（x）≤（x＋1/2）^2;（3）f（x）在R上的最小值为0．求最大的m（m〉1）,使得存在t∈R,只需x∈[1,m],就有．f（x＋t）≤x．     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

“一次分数函数及不动点的应用”一文的商榷

贵刊2009年第1期中刊登了：“一次分数函数及不动点的应用”（以下简称文[1]）一文,文中写到：已知函数y=f（x）,若存在x0,使得f（x0）=x0,则称x0是函数y=f（x）的一个不动点．     

一个十分有用的结论——函数的导数与函数图象凹凸性的关系

一、结论关于函数导数的正负与函数的单调性的关系,有如下结论：设函数y=f（x）在某区间内可导,如果f’（x）〉0,则f（x）为增函数;如果f’（x）〈0,则f（x）为减函数;如果恒有f’（x）=0,则f（x）为常值函数．     

2011年数学大纲全国卷压轴题研究

1.压轴题（即第22题）（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1＋x）-2x/x＋2,证明：当x〉0时,f（x）〉0;（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：p〈（9/10）~（19）〈1/e~2（其中e是自然对数的底,下同）。     

细嚼一道导数习题

人教社实验教材A版选修2—2第34页B组题1：利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证（1）sinx〈x,x∈（0,π）;（2）x—x^2〉0,x∈（0,1）;（3）e^＊〉1＋x,x≠0;（4）lnx〈x〈e^x．x〉0．     

歪打正着——一次变失败为成功的数学答疑课

在我刚接班不久的一节答疑课上，有学生拿出一道课外书的习题来问我，该题为： 设函数y=f（x）定义在R上，对任意的实数x，y，恒有f（x＋y）：f（x）f（y），且当x〉0时，0〈f（x）〈1。求证： （1）f（0）=1；（2）当x〈0时，f（x）〉1。     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。     

运用特殊值法解题应注意的问题

一、“问题”的展示 例1（2006年高考陕西卷）已知函数．f（x）=ax^2＋2ax＋4（0〈a〈3），若x1〈x2,x1＋x2=1-a，则………（ ） （A）f（x1）〉f（x2）； （B）f（x1）〈f（x2）； （C）f（x1）=f（x2）； （D）f（x1）与f（x2）的大小不能确定． 何老师在《数学教学》2007年第4期《高考中二次函数问题的命题特点与教学建议》一文中给出的答案如下：     

超级难题的简单解法（五）

例1设f（x）是定义在R上的函数,若f（0）=2008,且对任意x∈R,满足f（x＋2）-f（x）≤3·2^x,f（x＋6）-f（x）〉163·2^x,则f（2008）=_____.     

一类抽象函数单调性的证明

有一类抽象函数,它的单调性可以通过函数方程及附加条件来进行证明．这类抽象函数的附加条件大致可分为两类：第Ⅰ类是当x〈1或x〉1时。f（x）〉a或f（x）〈a;第Ⅱ类是当x〈0或x〉0时,f（x）〉0或f（x）〈a．判断与证明这两类附加条件下抽象函数的单调性,一般可通过以下方式来进行．     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

利用导数解题应注意的几个问题

一、利用导数求函数的单调区间应注意单调区间的写法 例1 求函数f（x）=x^4-2x^2＋3的单调区间. 解f′（x）=4x^3-4x=4x（x＋1）（x-1）． 由f′（x）〉0,可得x〉1或-1〈x〈0; 由f′（x）〈0,可得x〈-1或0〈x〈1． ∴f（x）的增区间为[-1,0],[1,＋∞）;减区间为（-∞,-1],[0,1]．     

是“巧合”而非“巧解”的教学反思

在平时课堂教学中,常常会遇到一些很巧妙的解法.问题结果正确,解题过程流畅,给人以简洁美的享受,但有些解法纯属巧合,其间隐藏着一些意想不到的错误.1 案例题1 已知a∈R,函数f（x）=sin x-｜a｜为奇函数,则a=（）.（A）0 （B）1 （C）-1 （D）士1巧解 由条件知,奇函数f（x）在x=0处有定义,则有f（0）=0.所以sin 0-｜a｜=0,解得a=0,故选A.剖析 这是2006年江苏高考卷中的一道题,不少教学参考书中都给出上述巧解.这里运用了结论“若奇函数f（x）在x=0处有定义,则f（0）=0”,解题过程看上去非常简洁,似乎无懈可击.但解题需讲究条件转化的等价性,它的逆命题是“若函数f（x）满足f（0）=0,则f（x）为奇函数”.     

例析高考试题中的“不动点”问题

设函数f（x）的定义域为D,若存在x0∈D,使f（x0）=x0,成立,则称x0是函数f（x）的一个不动点。目前,以不动点为背景的高考试题频频出现,试题考查见下表：     

浅析抽象函数的解法

赋值法 例1 设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意实数x1,x2满足f（x1）＋f（x2）=f（x1·x2）． （1）求证：f（1）=f（-1）=0; （2）求证：y=f（x）为偶函数．     

“源”于“疑惑”,“晓”于“探索”——对一个问题的探索历程

1 问题的提出 已知f（x）=ax2 ＋bx＋c（a≠0）,且方程f（x）=x无实数解,下列命题：①方程f[f（x）]=x也一定没有实数解;②若a＞0,则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立;③若a＜0,则必存在实数x0,使f[f（x0）]＞x0;④若a＋b＋c=0,则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立.正确命题的序号是____.本题是高三数学模拟试卷中的一道填空题,讲评课时,一位学生作了如下阐述：2疑惑：对问题的初步思考及质疑2.1对问题的初步思考