一道不够严谨的题解与立体图

一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。     

展图——平面化的重要手段

处理立体几何问题的一个基本方法是“平面化”,所谓“平面化”,就是将立体几何中的量化归到某一平面内,从而求得问题的解决.展图,是平面化的重要手段之一.图1图2例1如图1,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,P是侧面对角线BC1上一动点,Q是底面ABCD上一动点,则D1P+PQ的最小值等于.如图2,由题意可知,D1P+PQ取最小值时,点Q一定是P在底面上的射影,由于D1P与PQ分别在两个平面内,所以把△BC1C沿BC1翻转90°,使△BC1C与对角面ABC1D1在同一平面内.因为PQ⊥BC,所以当D1,P,Q三点共线且与BC垂直时,D1P+PQ最小,即为D1Q1=1+22.例2求证:…     

谁对谁错?

题目:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=a,AD-3a,且∠ADC=arcsin√5/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求二面角P-CD-A的大小.     

二面角求法例析

在学习立体几何知识的过程中,我们经常会遇到求解二面角的问题。对于此类问题,只要大家开动脑筋,善思多想,常常会找到多种不同的求解方法,这对于提高我们思维的灵活性和敏锐性是非常有益的。下面举例分析,相信同学们定会从中受益。例1如图1所示,在四棱P-ABCD中,ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD,且AB=a,AD=PA=2a。求二面B-PC-D的大小。     

对一道立体几何题的突破

<正>立体几何是高中数学中极为重要的知识点,是高考必考的内容之一.本文以2012年湖南理科数学试题第18题为例,说明如何用传统的几何方法和向量法来解决立体几何题.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.     

一道IMO试题的推广及简证

第 4 4届IMO第四题 :设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、AC和AB作垂线 ,其垂足分别为P、Q和R .证明 :PQ =QR的充分必要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点 .现证明该命题对任意凸四边形均成立 .图 1证明 :如图 1 ,连结QR、QP、AD、DC .因为DR⊥AR ,AQ⊥QD ,所以 ,A、R、D、Q四点共圆 ,且AD为该圆直径 .故QR =ADsin∠QDR =ADsin∠BAC .同理 ,QP =DCsin∠ACB .由△ABC及正弦定理有sin∠BACsin∠ACB=BCAB.所以 ,QRQP=ADsin∠BACDCsin∠ACB=AD·BCDC·AB.故QR =Q…     

1994年一道上海高考立几题的解法分析

如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=π/2,AB=a,AD=3a,且∠ADC=arcsin5~(1/2)/5,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求 (1) 二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示):     

证明线段相等的新方法——比例式法

本文介绍证明线段相等的新方法——比例式法.用比例式法证明线段相等有以下几种类型:一、要证线段a=b,可先证a/b=b/a例1 已知:从△ABC的AB边上一点P作PQ//BC,交AC于Q;从Q作QR//AB,交BC于R;从R作CA的平行线,恰好过P点.求证:P是AB的中点.分析 如图1,要证AP=PB,可从关于AP、PB的比例式着手.由PQ//BC,PR//AC知道AP:PB=AQ:QC,PB:PA=BR:RC.而QR//AB,则AQ:QC=BR:RC,故得AP:PB=PB:AP.∴AP=PB.即P是AB的中点.     

一个平几命题在立体几何中的推广及应用

命题 1　设 P,Q,A,B为同一平面上任意不共线的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2的充要条件是 PQ⊥AB.(证明略 )命题的结论在空间仍然成立 .命题 2　设 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 的充要条件是 PQ⊥AB.图 1证明　充分性 :即由 PQ⊥ AB,推出 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .因 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,两两连结 ,得到一个四面体 ,如图 1所示 .过 Q作 QH⊥ AB于 H,连PH ,又 PQ⊥ AB,则 AB⊥ PH ,又 PA2 -PB2 =H A2 - H B2 ,QA2 - QB2 =H A2 -H B2 ,∴PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .…     

数学奥林匹克问题

本期问题初175在△ABC中,AB>AC>BC,点M、N分别在边AB、AC上,且满足BM=CN=BC.证明:线段MN上任意一点到△ABC三边距离之和都等于同一个值.初176已知a、b、c为整数,且(a5+b5+c5)+4(a+b+c)是120的倍数.求证:a3+b3+c3是24的倍数.高175如图1,在矩形ABCD中,AB=1,图1BC=m,O为其中心,EO⊥平面ABCD,EO=n,在边BC上存在唯一的点F,使得EF⊥FD.问m、n满足什么条件时,平面DEF与平面ABCD所成的角为60°?正数.求证:a3+b3+c3≥22+17[a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)].上期问题解答初173如图2,在正方形ABCD中,以点A为圆心、AB为半径画弧BD…     

例谈空间角和距离的向量解法

夹角和距离是度量空间中线面位置关系的主要工具,若采用传统教材的处理方法去求解,则需要学生具备相当的空间想象能力和一定的解题技巧,故而给学生的学习带来困难.如果采用向量方法则可以避开难点,带领学生进入一个以数论形的新境界,收到事半功倍的效果.下面举例加以说明.■一、求异面直线所成的角犤例1犦在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥面ABCD,PD与底面所成角为30°,AE⊥PD,E为垂足.求异面直线AE和CD所成的角.解:建立如图坐标系A-xyz,由题意,PA⊥面ABCD.∴∠PDA为PD与…     

发挥新教材的优势 利用向量研究空间图形

新教材的特点之一是引入向量,并且用坐标表示向量.这便为用“数”的方法,研究立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台.1垂直用空间向量的观点处理立体几何的线面关系,把几何问题代数化,降低立体几何的难度.图1例1如图1,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,当CDCC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.解:设CDCC1=x,CD=2,则CC1=2x.因为BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1C.所以只须求满足:A1C.C1D=0即可.设AA1=a,AD=b,DC=c,则A1C=a+b+c,C1D=a-c.所以A1C.C1D=(a+b+c)(a-c)=a2…     

从一道题看二面角的求解策略

在历年高考中,解决立体几何解答题一般有几何法和向量法两种(几何法重逻辑推理,向量法重计算).现就一道典型题目谈谈二面角问题的求解策略. 题目 如图1,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD. (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 现在主要针对第二问作探讨. 解法1:作出二面角的平面角. 过点A作AE⊥PB交PB于E,过E作EF∥BC交PC于F,连接AF.     

抛物线的几个常见性质及其应用

性质一抛物线标准方程y~2=2px(p>0)中,变量x的取值范围是x≥0.例1对于抛物线y~2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )     

立体几何中的探究性问题浅析

<正>在立体几何的考查中,一般都从线线、线面、面面位置关系的证明,空间角、空间距离的计算这些方面来进行考查,总体难度不大。但是在具体的题型中,有一类探究性问题是一个难点,本文就来谈谈立体几何中的探究性问题的解法。例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,且PA=AD     

对一个流行解法的纠正与深究

[题]已知抛物线 y=ax~2 bx c(a≠0)过两定点P(1,1)、Q(5,9),它的对称轴与 x 轴交于 R 点.(1)试将△PQR 的面积 S 表示成 a 的函数;(2)指出函数 S(a)的单调区间;(3)作△PQR 的内接正方形 ABCD(AD 在 PQ 上,BC∥PQ).当 P、Q、R 三点不在一直线上时,设正方形ABCD 与△PQR 的面积之比为五,试求出 k 的取值范围.     

数学奥林匹克高中训练题（114）

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.设P为△ABC所在平面内一动点.则使得PA.PB PB.PC PC.PA取得最小值的点P是△ABC的().(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.如图1,在矩形ABCD中,AB=1,BC图1=m,O为矩形的中心,PO⊥平面ABCD,PO=n,且在边BC上存在唯一的点E,使得PE⊥DE.若平面PDE与平     

一道高考向量试题的解法分析

20 0 4年高考数学 (湖北卷 )理科第 19题 :如图 1,在Rt△ABC中 ,已知BC =a ,若长为 2a的线段PQ以点A为中点 ,问PQ与BC的夹角θ取何值时 ,BP·CQ的值最大 ?并求出这个最大值 .1　基本解法本题主要考查向量的概念 ,平面向量的运算法则 ,考查运用向量及函数知识的能力 .解法Ⅰ　∵AB⊥AC ,故AB·AC =0 .∵AP =- AQ ,BP =AP- AB ,CQ =AQ -AC ,∴BP·CQ =(AP -AB)· (AQ -AC)=AP· AQ - AP· AC- AB· AQ +AB·AC=-a2 -AP·AC +AB·AP=-a2 +AP· (AB- AC)=-a2 +12 PQ·BC=-a2 +a2 cosθ .当cosθ=1,即θ =0 (…     

例谈计算推理在高考立体几何试题中的运用

区别于用定理推理的计算推理已成为近几年高考立体几何试题的一大亮点,不能不引起同学们足够的重视.例1(2007年全国Ⅰ理科卷)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AB=2,BC=22%姨,平面SBC⊥底面ABCD,SB=SA=3%姨.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解析(1)如图1,取BC的中点O,连结AO,SO.因为∠ABC=45°,AB=     

向量法处理高考中与角有关的立几探索题

引入空间向量后,许多空间问题的求解,可以借助向量工具,使几何问题代数化,降低思维难度,增强程序性和可操作性,特别是在解决立几探索题这一难题上,更可以发挥这一优势.下面例举用向量法处理近几年高考中与角有关的立体几何探索题,供参考.1.与直角(垂直)有关的问题例1 (2005年浙江省高考题)如图1,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC.①求证:OD∥平面 PAB;