关于级数sum from n=1 to ∞[(-1)~(n-1)/2n-1]~m的初等解法

本文利用初等方法得到了级数 Tm=Σ∞n=1(- 1) n- 12 n- 1m 的简洁递推公式     

级数敛散性阶数判别法探讨

判别级数Σ∞n=1an是收敛还是发散,可以通过对级数Σ∞n=1an的通项an的分子、分母的阶的比较来判定级数Σ∞n=1an的敛散情况.     

Legendre级数的积分定理

本文对P.Heywood研究的广义积分:integral from 0 to 1 (f(x)/(1-x)~W dx)进行了探讨。在莫叶、陈留琨、霍守诚、蒋润勃等人的研究基础上,将结果推广到:W=4,或4相似文献   

一些正弦函数级数的敛散性

本文给出任意项级数收敛判定方法:如果级数∑_(n=1)^∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)∞ a_n的项添加括号后所成的级数收敛且lim_(n→∞)a_n=0,则该级数收敛.由此获得:设C={a_i|a_i∈Z,i=0,1,…,k},D={a_(2j)|a_(2j)=2r_(2j)+1∈C,r_(2j)∈Z},E={a_(2j+1)|a_(2j+1)=2r_(2j+1)+1∈C,r_(2j+1)∈Z}且|D|=2p+1,|E|=2q,p,q∈Z,则级数∑_(n=1)^∞sinπ/2(a_0n∞sinπ/2(a_0n^k+a_1nk+a_1n^(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)(k-1)+…+a_k)/n发散,否则收敛.同时得到:∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)(2s+1)/n收敛,级数∑_(n=1)^∞sinπ/2n∞sinπ/2n^(2s)/n发散,其中s∈N.     

关于一类无穷级数的求和递推公式

借助函数fk(x)=π/2xk(k为自然数)在(-π,π]上的Fourier级数展开式,本文总结出当p为偶数时p级数∞∑(n=1)1/np和交错级数∞∑(n=1)((-1)n-1)/np的两个求和公式,以及当k为奇数时∞∑(n=1)((-1)n)/((2n+1)k)的求和公式.     

指数函数e^x的两个应用

1　在级数审敛中的应用利用指数函数 ex的幂级数展开式 ,即 ex=1+ x+ x22 !+… + xnn!+… ,| x| <+∞ (参见 [1 ] )可以判断某些通项为 n的指数函数的级数的敛散性。例 1　判别级数Σ∞n=1 e-n 的敛散性。解　根据指数函数的幂级数展开式 ,有e n =1+ n + (n ) 22 !+ n323 !+ n24!+…于是 e n >n22 4　　　 (n=1,2 ,…… )故 e-n <2 4n2 　　　 (=1,2 ,…… )从而据正项级数比较判别法知 ,Σ∞n=1 e-n收敛例 2　判别级数 Σ∞n=1 (n1n2 + 1 -1)的敛散性。解 :因为an =n 1n2 + 1 -1=elnnn2 + 1 -1由于　　　　 limn→∞anlnnn2 + 1=limn→∞el…     

有关p-级数∑n=1^∞ 1/n^p与交错级数∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的研究

本文探索求p-级数S（p）=∑n=1^∞ 1/n^p及交错级数J（p）=∑n=1^∞ （-1）^n/（2n-1）^p的和的一般方法和策略,获得一些重要的结论：证明了p-级数与交错级数的和所满足的两个公式,并给出了求p-级数∑n=1^∞ 1/n^p的和的近似公式及误差估计式。     

交错级数收敛性的两个补充判别法

交错级数sum from n=1 to ∞()(-1)~(n-1)u_n的收敛性主要用莱布尼兹定理来判别,文章补充两个有用的结论来判断某些特殊交错级数的敛散性,判断起来会比较方便。     

级数sum from i=1 to ∞ (-1)~(n+1)(1/n)的重排

级数sum from i=1 to ∞ (-1)~(n+1)(1/n)收敛于1n2,再由公式H_n=1nn+C+εn,得出该级数按一定规律重排后的级数的收敛值。     

一类级数的求和问题

从f(x)=x在（-ππ）内的傅立叶级数展开式出发，导出形如∑n=1^∞ （-1）^n 1sin nx/n^2k-1及∑n=1^∞ (-1)^n 1con nx/n^2k的三角级数的和函数特点及函数的递推求法，从而解决形如∑n=1^∞ 1/n^2k、∑n=1^∞（-1）^n 1/N^2k、∑n=1^∞ 1/（2n-1)^2k-1（其中k∈N）等级数的求和问题。     

数项级数^∞∑ n=1 1/n^2k与^∞∑n=1^（-1）^n＋1/n^2k的收敛值

利用傅里叶级数,得出3个递推公式,解决了p级数∑∞n=11/np与交错级数∑∞n=1(-1)n+1/np ,当p=2k时的收敛值问题.     

一个不等式的证明

定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m…     

从“1+2+3+……+100”的速算谈起

据说著名的数学家高斯,9岁时就能用巧妙的方法速算1+2+3……+100。这种方法叫倒写相加法,现在我们用这种方法来计算1+2+3+……+n。令a=1+2+3+……+n=n+(n-1)+(n-2)+……+1两式相加,得2a=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+……+(n+1)=n(n+1)∴a=12n(n+1)你一定会为高斯这种妙算拍案叫绝!惊叹之余,你是否想过还能找出什么简便方法来计算1+2+3+……+n吗?方法一:a=1+2+3+……+n=[n-(n-1)]+[n-(n-2)]+[n-(n-3)]+……+(n-0)=n·n-[(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+0]=n2-(a-n)解方程a=n2-(a-n),得a=12n(n+1)方法二:注意到任一自然数k都能写成k=12[k(k+1)-(k-1)k]…     

关于正交级数系数的某些性质

本文给出由就范正交系{ψn(x)}^∞n=1包含Ｌ^p(E)构成的正交级数∞／∑／n=1anψn(x)，其系数an收敛于零的充分条件及由此得到在Ｌ^2([0,1])上的推论，本文也给出当p∈（０，２）时结论不成立的反例。     

关于一类函数级数一致收敛性的判别

对于函数级数,研究其和函数的解析性质很重要,但函数级数必须具有一致收敛性,而判断函数级数的一致收敛性往往是比较困难的.对∞∑n=1(-1)(n 1)u[a,b]上单调减少并收敛于0,则∑∞n=1(-1)(n 1)un(x)型函数级数就一致收敛.     

交错级数的另一审敛法

对于交错级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n-1) an(an>=0)) 常见的审敛法是:莱布尼兹定理 如果交错级数满足条件:(Ⅰ)Un≥Un+1(n=1.2,3…);(Ⅱ) lim from x to ∞ Un=0则交错级数收敛。     

形如sum from n=1 to ∞(1/n~(2k))(k≥1,k∈N)的级数求和

大数学家贝奴里曾经利用三角函数展开成无穷级数的方法得到贝奴里级数的值。笔者经过长期的摸索 ,发现可以将函数 f ( x) =xk在 [-π,π]作傅立叶展开 ,得到傅立叶系数 ,代入 Bessel等式 ,求得广义调和级数当 p =2 k时的一种递推关系。利用此递推关系可以求出 ∞n=11n2 k( k≥ 1,k∈ N )的值     

一类级数的敛散性问题

本文通过建立离散不等式 （1/2√n）^s≤[（2n-1）!!/（2n）!!]^s≤（1/√2n）^s,讨论级数∑^∞ n=1[（2n-1）!!/（2n）!!]^s（s〉0）的敛散性。     

调和级数与P级数敛散性的简单证法

关于P级数∞n=1Σn1p的敛散性的证明,本文则给出一个简单的证法.同时本文还给出调和级数发散的一个更为简洁的证法.     

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数

交错级数1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+(-1)(n-1)/n=ln2=1/n+1+…+1/2n-1,这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的,它揭示了交错级数与调和级数的一种联系.这一数频理论的原理是等式或等价,有别于经典的近似理论.它是数学发展的未来趋势.