初等数学中的平均值不等式

主要讨论调合平均值、几何平均值、算术平均值、平方根平均值、调合平方根平均值的意义、证明及平均值不等式的意义、证明和推广,使读者对平均值及不等关系有一个全面的理解和认识.     

初等数学中的平均值不等式

主要讨论调合平均值、几何平均值、算术平均值、平方根平均值、调合平方根平均值的意义、证明及平均值不等式的意义、证明和推广,使读者对平均值及不等关系有一个全面的理解和认识.     

物理量的数学平均值和物理实验误差

物理量的数学平均值有算术平均值和几何平均值等多种表达形式,这些数学平均值所表达的物理含义是不同的.用数学平均值的方法还可以用来分析和处理物理实验数据,根据物理实验产生误差的机理不同,采用相应的数学平均值能够减少或消除物理实验的某些误差.     

介于调和平均和算术平均间的平均值链

n个正数a_1,a_2,…,a_n的调和平均值H,几何平均值G和算术平均值A的序关系式H≤G≤A (1)是一个相当重要的不等式.本文在引进一些新的平均值后,将(1)扩充的序关系链(4),并且进一步指出新的平均值定义的几何意义.     

平面图形中构造调和平均值几例

<正>调和平均值、算术平均值和几何平均值是数学中最著名的三个平均值,后两个平均值在平面图形中容易构造,大家比较熟悉,而在平面图形中构造调和平均值却很鲜见.本文给出几个构造两个值的调和平均值的例子.例子中的图形是常见的,证明过程也并不复杂,对中学生来说也是很好的平面几何练习题.     

一元二次方程的几何解法

今天,解一元二次方程的几何方法已经很少受到人们的注意了,对于那些认为学习数学就是学习解题的人来说,几何方法也没有多少实用价值,因为学生只要记住求根公式就可以解任意一个一元二次方程了.但在历史上,几何方法的影响却要超过代数方法,本文考察几何方法的历史,旨在说明:数学的历史是一个宝藏,不论时代如何变迁,从事数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养料.1《几何原本》欧几里得《几何原本》第2卷命题5说:“如果平分一条线段,再将其分成不相等的两段.则由不等两段构成的矩形与两分点之间一段上的正方形的和等于原来线…     

两个重要不等式的一般化

对于任意两个正数a和b,它们的算术平均值A、几何平均值G、调和平均值H三者之间有如下关系A≥G≥H,即式中等号当且仅当a=b成立.这两个重要不等式是中学生熟悉的.将这个结论推广到任     

怎样学好几何证题(一)——谈几何定理的学习

有同学来信,要我谈谈怎样学好几何证题,我想先跟同学们谈怎样学习定理.学习几何,许多同学往往比较重视背记定理,而不注意对定理的分析,更不重视对定理的应用的探究,结果,事与愿违,定理背得滚瓜烂熟,可一做题就傻了.的确,证几何题总离不开相关定理,定理是证题的基本工具.然而,仅仅记住了这些定理,并不等于会证题.这里面还有一个十分重要的问题,即怎样学习几何定理?怎样思考分析证题?科学的学习方法和科学的思维方法是十分重要的.怎样学好几何定理呢?1·要学会分析定理几何定理是一个命题(真命题),它由条件和结论两部分组成.条件是原因,结论是…     

适度平面几何化,优化解题过程

解析几何是用代数方法研究几何问题的学科,人们在讨论解析几何问题时较少考虑几何图形本身的几何性质的逻辑联系,如何充分发挥这些几何性质的在推理中的作用是本文要研究的问题.     

也谈均值不等式的一种加密

在“一个习题的推广——兼谈均值不等式的一种加密”中推广2、推广3给出了n个非负数的算术平均值和几何平均值的一种隔离方式.本文试将文[1]结论加以推广.为此先给出两个已知结论.     

物理量的数学平均值和物理实验误差

物理量的数学平均值有算术平均值和几何平均值等多种表达形式,这些数学平均值所表达的物理含义是不同的。用数学平均值的方法还可以用来分析和处理物理实验数据,根据物理实验产生误差的机理不同,采用相应的数学平均值能够减少或消除物理实验的某些误差。     

物理量的数学平均值和物理实验误差

物理量的数学平均值有算术平均值和几何平均值等多种表达形式，这些数学平均值所表达的物理含义是不同的。用数学平均值的方法还可以用来分析和处理物理实验数据，根据物理实验产生误差的机理不同，采用相应的数学平均值能够减少或消除物理实验的某些误差。     

一元二次方程的几何解法

今天,解一元二次方程的几何方法已经很少受到人们的注意了,对于那些认为学习数学就是学习解题的人来说,几何方法也没有多少实用价值,因为学生只要记住求根公式就可以解任意一个一元二次方程了. 但在历史上,几何方法的影响却要超过代数方法,本文考察几何方法的历史,旨在说明:数学的历史是一个宝藏,不论时代如何变迁,从事数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养料.     

关于“素数无限性”的证明

素数是自然数中最重要的一类数字,人类对它们的认识和研究已有几千年的历史.在这些研究中,有一个十分古老的问题,那就是“素数的个数”问题. 人们知道,远在古希腊时期,大数学家欧几里得在《几何原本》中曾给出下面一个定理:     

平均值不等式的一个几何新证法

平均值不等式(a b)/2≥ab~1/2(a,b∈R~ )是初等数学中重要的不等式之一,其应用广泛,几何含义丰富,是数形结合的一个典型范例,所以在教学这一不等式时,人们都十分重视揭示其几何含义,并且得出了不等式的许多几何证法,常见的如:1.用相交弦定理推证(如图1)2.用求圆的切线长推证(如图2)3.用射影定理推证(如图3)4.用作一中位线与腰相等的等腰梯形来证(如图4).     

初学几何证明题应从寻找因果关系入门

几何证明题都包括题设和结论两部分.题中已知部分就是题设,求证就是结论.而已知部分的每一个题设都含有一个待证的结论.这些题设中的每一个条件都是为求证铺路、架桥的.在证明几何题时,只要将已知部分的全部题设顺理推出所需结论,求证也就达到目的了.所以几何证明题的因果关系实质是题设与结论的关系.初学几何证明的同学,只要善     

初学几何证明题应从寻找因果关系入门

几何证明题都包括题设和结论两部分.题中已知部分就是题设,求证就是结论.而已知部分的每一个题设都含有一个待证的结论.这些题设中的每一个条件都是为求证铺路、架桥的.在证明几何题时,只要将已知部分的全部题设顺理推出所需结论,求证也就达到目的了.所以几何证明题的因果关系实质是题设与结论的关系.初学几何证明的同学,只要善     

一类方程与几何综合题的解题策略

一元二次方程是中考的一个重点 ,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题 ,又是中考中的一个热点与难点 .这些综合题类型较多 ,其中有一类常以下列两种形式出现 :(1 )求作以两个几何量为根的一元二次方程 ;(2 )求证两个几何量是某一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0的两个根 .解决这类问题的策略是化归 ,运用根与系数的关系 ,在第一种形式的问题中 ,把原题化归为求这两个几何量的和与积 ,再代入方程ｘ2 -(ｘ1 ｘ2 )ｘ ｘ1ｘ2 =0即可 ;在第二种形式的问题中 ,把原题化归为证明这两个几何量的和等于 -ｂａ,且这两个几何量的积等于 ｃａ.因…     

学好“几何语言”

初学几何,要先从学习几何语言开始,几何语言包括:文字语言、图形语言和符号语言.一般学习一个新的几何概念时,都应掌握这三类几何语言的表达方式. 例如北师大版《数学》七年级上册教科书中关于“角”的概念是这样的: “角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点叫     

用定和求积与定积求和原理求极值

根据数学中两个正数的算术平均值总是大于等于其几何平均值即. 可以得出两个极为重要的结论: 1.定和求积原理: 若x1+x2=k是定值,则当x1=x2=k/2时,其积最大,为(x1,x2)max=(k/2)2.