完全平方数与完全平方式

<正>贵刊2015年第1期曾刊登了《一元二次方程根的判别式的若干应用》一文,笔者对其中两个例题的解法有不同看法,特与大家商榷.为了便于说明,先将文中的例8及解答抄录如下:例1 m为有理数,讨论k为何值时,方程     

完全平方数和完全平方式

设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m^2,则称n是一个完全平方数（或平方数）．     

浅谈完全平方数和完全平方式

完全平方数和完全平方式是两个既有联系又有区别的概念,初中代数中指出,“如果一个正数恰好是另一个有理数的平方,这个正数叫做完全平方数”,又指出,“把a~2±2ab b~2”这样的式子叫做完全平方式.”事实上,若正数A可以写成另一个有理数a的平方,即A=a~2,那么,可以找出两个有理数b,c,使得b=a-c,就有A=a~2=(b c)~2,由此可见,A可以视为一个完全平方式,就是说完全平方数可以视为完全平方式.但是,完全平方式不能视为完全平方数,如(1 2~(1/2))~2是完全平方式而不是完全平方数.显然,完全平方数的概念包含于完全平方式这个概念中.为了对这两个概念的联系和区别展开更全面的讨论,我们对x的二次三项式ax~2 bx c下列性质作简单的阐明.     

完全平方数

长久以来,在数学竞赛中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容,由于数论内容比较抽象,学生学习起来有一定难度。因此也易陷入学习的误区,大多数学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容,导致各个知识点都似曾相识,但遇到实际题目却一筹莫展．同时,由于数论题目的叙述往往只有几句话,甚至只有一行,导致学生产生读题障碍。读不出题中的意思,解不出题,因此,本讲将以数论中的一个重要内容“完全平方数”为载体,通过例题分析．向读者揭示如何灵活利用定理,解决“完全平方数”题的一般途径,希望也能借此帮助大家一窥解决数论问题的一般途径．     

完全平方数

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方．如：３６＝６×６，４９＝７×７．你知道下面几个好玩的事实吗？１．从１开始的n个奇数的和是一个完全平方数．即１＋３＋５＋…＋（２n－１）＝n２．例如，１＋３＋５＋７＋９＝２５．２．每一个完全平方数的末位数是０，１，４，５，或９．３．每一个完全平方数要么能被３整除，要么减去１能被３整除．４．每一个完全平方数要么能被４整除，要么减去１能被４整除．５．每一个完全平方数要么能被５整除，要么加上１或减去１能被５整除．完全平方数@田各     

完全平方数

完全平方数是数论中较为常见的一类问题,经常出现在各种数学竞赛中．在解决与完全平方数有关的问题时,需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识,比如：     

完全平方数

长久以来，在数学竞争中数论的内容往往是分值相对较高的一部分内容，由于数论比较抽象。学生学习起来有一定难度，因此也易陷入学习的误区，大多数学学生往往采用死记硬背的方法来消化所学的内容，     

完全平方数

两个相同自然数的乘积叫做完全平方数,如0,1,4,9,16,…都是完全平方数,简称平方数。 完全平方数有许多特征： （1）完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9。 （2）在两个连续自然数的平方数之间不存在完全平方数。     

谈完全平方数

我们知道,如果对于自然数N、n,满足N=n~2,则N称为完全平方数。确定或否定一个数或表示数的整式是完全平方数,往往牵涉到许多知识,如质因数的分解,整式的运算,因式分解,反证法等,而具体处理问題时,又有相当大的灵活性。加强这方面的指导,可以提高学生的思维能力,综合应用知识的能力和灵活解题能力,现举数例如下。     

一个完全平方数

(聪明锁) 写偶数个“1”,设为数a,再写出“1”的个数的一半那么多个“4”,设为数b,你能证明a+b+1是完全平方数吗?     

完全平方数问题

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛最后一题是一个关于完全平方数的问题：已知a为实数,且存在正整数n0,使得√n0＋a为正有理数,证明：存在无穷多个正整数n,使得√n＋a为有理数．     

完全平方数与数学竞赛

设m是整数,若存征整数n,使m=n~2,则称m是一个完全平万数。如0,1,4,256,…都是完全平方数。在国内外的数学竞赛中,常常出现有关完全平方数问题。本文就介绍完全平方数的一些性质及其应用。 一、完全平方数的性质 性质1.完全平方数的个位数字只能最0,1,4,5,6,9之一。 性质2.偶数的平方为偶数,且能被4整除。 性质3.奇数的平方被8（或4）除余1。 性质4.任何整数的平方,或被3整除,或被3除余1。 性质5.任何整数的平方,或被5整除,或被5除余1,或被5除余4。 性质6.奇平方数的十位数字必为偶数。     

完全平方数及其应用

(本讲适合初中) 完全平方数是一类重要的整数,在近年来的数学竞赛中比较多地涉及到了这个概念,中国数学会普及工作委员会制订的《初中数学竞赛大纲》也把它列为基本内容。本文将讨论完全平方数的基本结论和有关问题。     

几类双色完全平方数

本刊文[1]给出了双色完全平方数的定义,并给出了一个构造一类双色完全平方数的定理,本文将给出双色完全平方数的更明确的定义,再给出一些构造双色完全平方数的定理。 定义 同时满足下列四个条件的数10~a b(n∈N ).称为2n位双色完全平方数:     

奇妙的完全平方数

小朋友,请你在下面两个等号左边的"○"内填入0、3、4、5、6、7、8、9各一次,在每个等号右边的"□"内分别填入1、2、3、4、5、6、7、8。怎么样,是不是有点儿难?没关系,只要你有耐心,一定可以填     

构造完全平方式解题

a2＋2ab＋b2=（a＋b）。是完全平方式,它具有非负的性质．完全平方式是一种重要的恒等变形,有些看似与它无关的数学问题,巧妙地将代数式化为完全平方式,再利用其非负性,就可以找到解题的突破口．现举例说明构造完全平方式解题的方法．     

构造完全平方式解题

完全平方式是指形如a^2ab b^2数式，它的结构特征可概括为：首末两项“戴”平方，乘积2倍在中央．利用完全平方式的非负性，可以妙解许多问题．下面介绍几种构造完全平方式解题的方法。     

说说完全平方式题型

形如a^2±2ab＋b^2的多项式称之为完全平方式，这是中考试卷上的“常客”，常以下列形式出现．     

构造完全平方式求值

例1 x为实数,求x~4+4x+4的最小值.解原式=(x~4-2x~2+1)+(2x~2+4x+2)+1 =(x~2-1)~2+2(x+1)~2+1.因为(x~2-1)~2≥0,(x+1)~2≥0,     

完全平方数（下）

4利用完全平方数序列的间距特征 完全平方数序列的间距具有如下特征：（1）m^2-n^2≥3（0〈n〈m,m、n∈N）;（2）m^2与（m＋1）^2之间不存在完全平方数,即：若m^2〈P〈（m＋1）^2,则p不是完全平方数．