圆锥曲线一个性质的推广

<正>圆锥曲线是高中数学的重要内容,在圆锥曲线中蕴藏着很多重要的结论和性质,如果我们能熟练掌握这些性质并加以推广,不仅能在解题中起到事半功倍的效果,而且能提高我们归纳推理、类比猜想的能力,为良好数学素养的形成奠定基础.2014年无锡市中学数学青年教师基本功大赛,在笔试环节遇到了下面这样一个题目(下文的例1),很多参赛者都感叹题目不易.以下是笔者结合自身     

圆锥曲线一个性质的推广

在研究圆锥曲线时,许多问题经常涉及圆锥曲线的焦点和准线.如文[1]以圆锥曲线的焦点、准线为载体,通过引入圆锥曲线的切线,建立圆锥曲线的焦点、准线与切线三者之间的位置关系.实际上,三者中的焦点与准线只是这类问题的特殊情形,它还有许多更具一般性的内容.本文将对其进行推广,并以定理的形式给予陈述和论证.     

圆锥曲线一个性质的推广

《数学通报））2005年第11期“一道高考题引出圆锥曲线的一个性质”提出的3个定理可推广如下：     

圆锥曲线一个性质的推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个性质:性质已知直线,是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过,上一点P作曲线r两条切线PA,.PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线,的直线l′与PA,PB分别交于点M,N,记△AFM,△PMN,△BFN的面积分别为S_△AFM,S_△PFM,S_△BFM,则S_△AFM²=S_△AFM·S_△BFM.笔者通过探究,发现结论不限于准线和焦点的     

一个圆锥曲线性质的推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质：过圆锥曲线E一个焦点F的直线交E于A、B两点,C是E焦点所在轴的一个顶点,直线AC、     

一个圆锥曲线性质的推广

[1]将命题1： 如图1，PA切⊙0于A，弦AB，AC交OP于M，N，BC交OP于Q，则∠1=∠2←→∠3=∠4．     

圆锥曲线一个性质的推广

本刊文[1]对2010年全国高考四川卷（理）20的结论进行推广,得到了圆锥曲线的一个性质,即文[1]的推广1、2、3（亦即以下的定理1.1、2.1、3.1）.本文拟从两个方面把这三个定理进一步推广.先把这三个定理抄录如下：     

圆锥曲线的一个性质的推广

关于圆锥曲线文[1]给出如下一个性质： 定理1设l是圆锥曲线C过焦点F的对称轴。A是l上一定点（A不是C的中心）．过A的直线与圆锥曲线C相交于M,N两点．而以M,N为切点的曲线C的两切线相交于Q点,当M在C上运动时：     

圆锥曲线一个性质定理的推广

《数学通讯》2007年第8期宋卫成老师在《圆锥曲线的一个性质定理及其推论》一文（以下简称“原文”）中给出如下一个性质：     

《圆锥曲线一个性质的推广》的商榷与再推广

本文通过《圆锥曲线一个性质的推广》一文的分析论证,挖掘出了平面二次曲线及空间二次曲面的一种性质。     

圆锥曲线一个有趣性质的简证与再推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质： 设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为Z,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是圆锥曲线E上的任一点,直线CA、CB分别与准线Z交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F．     

圆锥曲线一个性质的充要性补充及再推广

文[1]给出圆锥曲线的如下性质： 定理1（文[1]的性质2）圆锥曲线中过同一焦点的两条弦,组成一个四边形的对角线,如果这个四边形的对边所在的直线相交,那么交点在与该焦点相应的准线上．     

圆锥曲线一个共性的再推广

一、问题的提出文[1]提出并证明了圆锥曲线的一个共同性质:若过圆锥曲线任一焦点F的直线（非对称轴）交圆锥曲线于两不同点M,N,设与焦点F相对应的顶点为A,直线AM,AN的斜率分别为k_AM,k_AN,则K_AMk_AN=-（e+1）²,其中e为离心率.     

再探圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线是是平面解析几何的重要曲线,有极其丰富、优美的性质。圆锥曲线的切线的相关性质已成为高考命题内容的重要来源。本文从研究圆锥曲线的性质出发,对一个圆锥曲线的切线性质进行推广,并运用所得的推广定理解决一类有关的试题。     

圆锥曲线一个性质的再探究

文[1]给出了圆锥曲线的一个性质,即文[1]的定理1-8,读后颇受启发,但觉意犹未尽.本文拟对这一性质进一步探究,探究其变式及推广,并应用推广性质解决原性质无法解决的问题.先把文[1]的性质抄录如下（为节省篇幅,把原定理加以综合）：     

有心圆锥曲线的一个性质的推广

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2 by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为…     

圆锥曲线一个性质的完善及推广

《福建中学数学》2005年第9期文[1]给出了圆锥曲线的一个性质定理:定理1过椭圆x2/a2 y2/b2=1焦点弦AB的两端点A、B所作的两条切线的交点必在此焦点所对应的准线上.定理2过双曲线x2/a2?y2/b2=1焦点弦AB的两端点A、B所作的两条切线的交点必在此焦点所对应的准线上.定理3过抛物线y     

圆锥曲线一个性质的引伸和推广

文[1]、[2]及其问题1631都介绍了圆锥曲线的一个重要性质,实际上是指过圆锥曲线主轴上一点A作圆锥曲线Г的割线l与Г交于P、Q两点,且M是P关于主轴的对称点,B是A关于Г的调和共轭点,则M、Q、B三点共线,本文介绍这一性质的一种简明证法及其引伸和推广.