三角函数最值的求法

求三角函数的最值问题是三角函数中较为重要的一个知识点;其题目类型变化多端.解法灵活多变,若能在教学中不断的归纳总结,则可培养学生多向思维的能力.本文就此举例介绍几种常用方法.1　化为Ａｓｉｎ(ｗｘ+φ)+Ｋ的形式例1　求函数ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ的最大值解:ｙ=ｓｉｎ2ｘ+2ｓｉｎｘ·ｃｏｓｘ+3ｃｏｓ2ｘ=2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ2ｘ+1=ｓｉｎ2ｘ+ｃｏｓ2ｘ+2=2ｓｉｎ(2ｘ+π4)+2∴当ｓｉｎ(2ｘ+π4)=1时,　ｙｍａｘ=2+22　配方法例2　求函数ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ的最小值解:ｙ=1-5ｓｉｎｘ+2ｃｏｓ2ｘ…     

函数y=Asin(ωx φ)的命题形式及复习导向

高中《代数》(必修 )上册第 1 35页指出 :在物理和工程技术的许多问题中 ,都要遇到形如ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的函数 .由此可见此函数在中学数学中有着重要地位 .高考命题时 ,常以此函数作为背景编制高考试题 .命题的形式有下述几种 :一、考查平移关系即考查一个函数的图像如何由另一个函数图像得到 .例 1　 (1 987年高考试题 )要得到函数ｙ=ｓｉｎ(2ｘ-π3)的图像 ,只要将ｙ=ｓｉｎ2ｘ的图像(　　 ) .(Ａ)向左平移 π3　 (Ｂ)向右平移 π3(Ｃ)向左平移 π6 　 (Ｄ)向右平移 π6答案应选 (Ｄ) ,易错选 (Ｂ) .二、考查单调性和最值 .即对满足…     

谈高考题中几类三角函数问题的解法

近年来 ,高考题中关于求三角函数的值域或最值的问题常有所见 ,体现“三强一广” ,即概念性强、综合性强、灵活性强 ,涉及的知识面广 .因此 ,正确理解、深入研究这类问题 ,对发展学生的思维 ,提高他们的分析和解决问题能力大有裨益 .下面对此类问题作一归纳 ,希对学生有所帮助 .1　ｙ =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ型的函数解决这类问题可作“合一变形”处理 ,即化原函数为ｙ =ａ2 ｂ2 ｓｉｎ(ｘ φ)的形式 ,其中ｔｇφ =ｂａ ,φ与点 (ａ ,ｂ)同像限 .例 1　求函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ 2ｃｏｓ2 ｘ的最大值与最小值 .解　ｙ =ｓｉｎ2ｘ 1 ｃｏｓ2…     

从一道三角题谈函数的奇偶性教学

题目　判断函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 的奇偶性 .不少学生是这样解答的 :ｙ =1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ=2ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 2ｓｉｎ2 ｘ22ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 2ｃｏｓ2 ｘ2=2ｓｉｎ ｘ2 (ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 )2ｃｏｓ ｘ2 (ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 )=ｔｇ ｘ2 .∵ｆ(-ｘ) =ｔｇ(- ｘ2 ) =-ｔｇ ｘ2 =- ｆ(ｘ) ,所以函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 是奇函数 .初看 ,解答正确 ,其实结论是错误的 ,原函数既非奇函数也非偶函数 .之所以会产生这种情况 ,究其原因 ,一方面…     

两类三角函数的奇偶性问题

在三角函数部分经常遇到函数奇偶性问题 ,本文研究了 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ,ｙ =Ａｃｏｓ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ为常数 )以及 ｙ =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ(ａ、ｂ为常数 )型函数的奇偶性 ,给出了一种解决这类函数奇偶性的方法 .1　函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ、ω、φ     

三倍角公式的衍生公式与运用

由正、余弦的三倍角公式ｓｉｎ3θ =3ｓｉｎθ- 4ｓｉｎ3 θ ,ｃｏｓ3θ=4ｃｏｓ3 θ- 3ｃｏｓθ ,可得衍生公式 1ｓｉｎ3 α =14(3ｓｉｎα -ｓｉｎ3α) ,ｃｏｓ3 α =14(3ｃｏｓα +ｃｏｓ3α) .衍生公式 1的优点是 :对正弦、余弦的三次乘方形式可直接降幕 .例 1　 (1994年全国高考题 )求函数ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ(ｓｉｎ3ｘｓｉｎ3 ｘ+ｃｏｓ3ｘｃｏｓ3 ｘ) +ｓｉｎ2ｘ的最小值 .解　由公式 1,原函数变为ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ[ｓｉｎ3ｘ· 14(3ｓｉｎｘ-ｓｉｎ3ｘ)　 +ｃｏｓ3ｘ· 14(ｃｏｓ3ｘ+ 3ｃｏｓｘ) ]+ｓｉｎ2ｘ=1ｃｏｓ2 2ｘ(34ｓｉｎｘｓ…     

辅助角公式的应用道不完

我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1　求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴　ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2　若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- …     

“恒成立”问题中的参数求解策略

求参数的取值范围是综合性较强、难度较大且出现频率较高的题型 ,本文介绍恒成立条件下几种参数范围的求解方法 ,供参考 .1　曲线恒过定点———直接法有关含有参数的曲线恒过某定点的问题 ,一般使用直接法 ,即将该定点坐标代入方程 ,从而求出参数的取值范围 .例 1　已知直线 ( 1 ｓｉｎθ)ｘ ( 1-ｃｏｓθ)ｙ - 3 =0恒过定点 ( 1,1) ,求参数θ的取值范围 .解　由直线 ( 1 ｓｉｎθ)ｘ ( 1-ｃｏｓθ)ｙ - 3 =0过定点 ( 1,1) 1 ｓｉｎθ 1-ｃｏｓθ - 3 =0 ｓｉｎθ -ｃｏｓθ=1 ｓｉｎ(θ- π4 ) =22 θ - π4 =2ｋπ π4 或θ - π4 =…     

圆与椭圆的参数方程的应用

我们知道 ,圆与椭圆的参数方程与三角函数有密切的联系 .对一些具有平方和形式的问题 ,利用圆与椭圆的参数方程 ,能使问题的解决简便快捷 .一、求轨迹问题例 1　已知点Ｐ是圆ｘ2 + ｙ2 =16上的一个动点 ,点Ａ是ｘ轴上的定点 ,坐标为 (12 ,0 ) ,当点Ｐ在圆上运动时 ,线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹是什么 ?解　圆ｘ2 +ｙ2 =16的参数方程为ｘ =4ｃｏｓθ ,ｙ=4ｓｉｎθ (θ为参数 ) .设动点Ｐ的坐标为 (4ｃｏｓθ ,4ｓｉｎθ) .由中点坐标公式 ,得点Ｍ的轨迹的参数方程为ｘ =6+ 2ｃｏｓθ ,ｙ=2ｓｉｎθ (θ为参数 ) .因此线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹是以…     

2002高考(天津)试题别解

题目　已知ｃｏｓ(α π4) =35,2π ≤α <32 π　求ｃｏｓ(2α π4)解法 1　由ｃｏｓ(α π4) =35,可得　ｃｏｓα -ｓｉｎα =3 25… (1)再由ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,得 :2ｃｏｓ2 α -625ｃｏｓα -72 5=0 ,解得ｃｏｓα =-210 或7210 ,又 π2 ≤α <32 π ,所以ｃｏｓα=-210 ,ｓｉｎα=-7210 ,所以ｃｏｓ2α=ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α=-2 42 5,ｓｉｎ2α =72 5所以ｃｏｓ(2α π4) =22 (ｃｏｓ2α -ｓｉｎ2α)=-3 1250 .解法 2　易知ｃｏｓα=-210 ,记ｘ =ｃｏｓ(2α π4)所以ｃｏｓ π4 ｃｏｓ(α π4) ｃｏｓ(2α π4) =[ｃ…