注意抓住基本图形证题

在《相似形》一章的学习中,课本第215页例6是这样的:“平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例”.这道例题我们还可以推广为:“与三角形两边的延长线相交且平行于第三边所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例”.由此我们可以得到如图1所示的两个基本图形,不妨将其称为“A”型图与     

平行出比例 比例定平行

同学们都知道平行线线段成比例定理及其逆定理,其内容是: (1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或其两边的延长线),所得的对应线段成比例． (2)如果一条直线截三角形的两边(或其两边的延长线)所得对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边．     

截三角形三边成比例线段问题例析

一条直线截三角形三边（或延长线）如图１，关于此图形的有关成比例线段的证明题目比较多，具体的分析思路、证明方法也有多种，但有些思路不易寻求，现对这个问题进行分析，以求解决问题的最佳方法．在图１中，共有１２条线段、６个点，它们分别在４条直线上，这是此类问题的共同特征．这类题目中出现成比例线段问题，可考虑相似三角形或平行于三角形一边的直线等有关知识．显然图形中没有相似三角形和平行线，因此需构造相似问题，最常用的方法就是作平行线寻求成比例线段．例１已知，如图２，一条直线截△ABC的三边（或其延长线），交…     

面积法证明几何定理

人教版初中《几何》第二册,《相似形》一章中的两个定理:定理1 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例(第208页).定理2 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边(第213页).     

梅涅劳斯定理的推广

本文对平面几何中著名的梅涅劳斯定理进行剖析,然后作出推广。定理一(梅涅劳斯定理)一直线l分别截△ABC的三边(或边的延长线)AB、BC、CA于D、E、F.则AD/DB·BE/EC·CF/FA=1 在许多教科书里的介绍中,都是直线l与△ABC的两条边相交,与第三边的延长线相交.其实,若直线l与三角形三条边都不相交,其结论仍是成立的。     

梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明

<正>梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有AF/FB·BD/DC·CE/EA=1.直线l与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.     

关于比例式几何证题

证明比例式成立,是几何证题中的一个类型,运用到很多几何基础知识。这些知识主要是: (1)比例的性质。 (2)平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的对应线段成比例,截得的三角形和原三角形相似。 (3)三平行直线截一束直线,所截得的线段对应成比例 (4)通过一点的一束直线,在二平行线上截取成比例的线段。 (5)三角形内角平分线分对边所成两线段的比,等于夹这角两边的比。 (6)三角形外角平分线,如果和对边     

谈斜截三角形图形的运用

如果把定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似叫做“平截三角形定理”,那么,若一条直线和三角形任意一边都不平行而与三角形如图1、2斜相截,截得∠AED=∠B(或∠ADE=∠C)时,截得的三角形与原三角形相仍然相似,我们可称这种图形叫斜截三角形     

矩形的一个性质在一类折纸问题中的应用

定理 平面上两条直线互相垂直的充要条件是这两条直线分别被同一矩形两组对边(或延长线)所截得的两条线段与这矩形两邻边对应成比例。如图     

辛姆生（Simson）定理的解析证明

辛姆生(Simson)定理三角形外接圆上任一点向三边(或其延长线)作垂线,三个垂足共线. 证明1.当△ABC为锐角三角形或钝角三角形时 建立如图1所示的平面直角坐标系,设B,C点的坐标为B(0,0),C(a,0),边AB所在直线方程为y=k1x,边AC所在直线方程为y=k2(x-a),边BC所在直线方程为y=0.从而,顶点A的坐标为方程组     

Menelaus定理的空间拓广

Menelaus定理是平面几何中的著名定理,其基本内容为： 如图1,一直线分别截AABC三边AB,BC,AC或其延长线于D,E,F,则BD/DA· AF/FC·CE/EB=1     

用比例线段解题

平行于三角形一边的直线截三角形的两边（或两边的延长线）,所截得的对应线段成比例．灵活运用这一性质,可起到化繁为简,快捷求解的目的．     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

平行线在比例式证明中的作用

平行于三角形一边的直线截三角形两边（或其延长线）年得的对应线段成比例，这是贯穿“相似形”这一章的主线，也是证明比例的重要依据，在学习和考试中均属重点。     

“A”、“X”模型在解几何题中的应用

平行线分线段成比例定理的推论:“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。”此推论有如下两种基本模型.1.“A”模型(如图1、图2所示)2.“X”模型(如图3所示)两种基本模型在解题中都有着广泛的应用.为帮助同学们学好这两种基本模型的应用,本文以课本中本单元的典型习题为例,分类介绍如下,供同学们参考.一、直接应用基本模型1.直接应用“A”模型例1如图4,在△ABC中,作直线DN平行于中线AM,设这条直线交边AB于点D,交ABCDE图1ABCDE图2AEDCB图3边CA的延长线于点E,交边BC于点N,求证:ADAB=AEAC.…     

双管齐下、一箭双雕在几何证题中的妙用——从梅氏定理谈起

众所周知,梅氏(Menelaus)定理:一直线l截△ABC三边AB、AC、刀C或其延长线分别于D、E、F三点,如下图甲、乙,_._BF CEA刀侧{右孚认·舀币·斋云二1.州月Fc’EA一刀B一上’CG,AB昌令{①②③.今△F‘C。△FDB△GCE。△DAEBF刀B厂’C一GCCE‘CEA一AD/‘‘.沪l古t、l、;代B尸万’C、-之、rB乙二-~~~曰.人一----~~盏下C占L①·②得③·韶,CE DBEA一AD刀FFC CE AD’￡A’万B 甲‘ 其中直线l叫做梅氏直线,D、E、F叫做梅氏点,在证明时所作的辅助线叫做梅氏辅助线。 证明一:平移AB至CG处如图一甲、乙。刃~一一份r二、…     

相似形与解直角三角形知识及应用

一、比例线段与平行线分线段成比例 推论1 一 知识要点 ( ) 于三角形一边的直线截其他两边(或两边的1郾比例线段 延长线),所得的对应线段成比例郾()在两条线段的比a ∶b中, 1 叫做比的前项,推论2 叫做比的后项郾 平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直()在四条线段中,如果其中两条线段的比 2 线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段, 郾简称比例线段郾(3)若a ∶b = c ∶d,则a,d 叫 做 …     

例析不完整平行线型相似三角形中辅助线的添设

"平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等";"平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似."这两个重要的推论是我们解决不完整平行线型相似三角形的重要依据.这样的题型一般有:证明     

浅谈高等几何在初等几何中的应用

高等几何对中学几何,特别是对解析几何有重要的指导作用。本文拟就如何用高等几何的方法解决中学几何,特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。一、仿射变换的应用1、利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换,利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段,可使一些命题的证明简化。例1(menelaus定理)在三角形的边或其延长线上,三个分点共线的主要条件是顶点到分点与分点到这边上另一顶点的有向线段的值的比的乘积等于-1。已知:如图,在△ABC中,点L、M、N分别是AB、BC、CA上(或延长线上)的点。…     

卡诺定理的若干应用

数学家卡诺曾经发现，三角形与二次曲线之间存在一种非常美妙的关系．即卡诺定理设△ABC的三条边AB、BCCA（或其延长线）与一条二次曲线分别相交于P与P’、Q与Q’、R与R’（如图1），则这个命题的证明可参看拙文[l]，这里不赘述．利用这个定理，我们可以推导出一系列有趣的结论来．命题1设△ABC的三条边AB、BC、CA（或其延长线）与一条二次曲线分别相切于P、Q、R（如图2），则AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．证曲线的切线是割线的特例，故由卡诺定理可知于是，由塞瓦定理的逆定理可知，AQ、BR、CP三直线共点或互相平行．…