关于四面体的一个等式的证明

在二维平面上,设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则有不等式 abc≥(8/3)(?)3S~(8/2);①其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。对于三维空间的四面体,我们有: 设四面体A_1A_2A_3A_4的6条棱长分别为a_1(i=1,2,…,6),体积为V,则有不等式     

等面四面体的一组充要条件

我们将三双对棱相等的四面体称为等面四面体。本文给出等面四面体的九个充要条件。先约定:四面体A_1A_2A_3A_4中,棱长A_iA_j之长为a_(ij)(i,j=1,2,3,4,且i相似文献   

关于凸五边形的一个不等式

定理 设A_1A_2…A_5是凸五边形,记A_iA_(i 1)=a_i,A_iA_(i 2)=m_i(i=1,2,…,5约定A_6=A_1,A_7=A_2),则 sum from i=1 to 5m_i~2相似文献   

空间n边形余弦定理

三角形有余弦定理。空间多边形,如:四边形,五边形,……,直到空间n边形,是否有余弦定理?本文就这一问题作一些探讨。首先考虑最简单的空间四边形。如图(1)所示,A_1A_2A_3A_4是空间任意一个四边形。设a_1=A_1A2,a_2=A_2A_3,a_3=A3A_4,a_4=A_4A_1。θ_(12)、θ_(23)各是△A_1A_2A_3、△A_2A_3A_4的一个内角。如图过顶点A_2作与向量     

关于三角形的一个不等式

一、命题·证明命题:设△A_1A_2A_3的边分别为a_1,a_2,a_3,其外接圆半径为R,则 (1)(a_1a_2a_3)~(1/3)≤3~(1/2)R。等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时成立。为证上述命题,首先给出如下引理1 G为A_1A_2A_3的重心的充分必要条件是(2)GA_1 GA_2 GA_3=0。证明是非常简单的,留给读者。下面给出命题证明的一般方法。 命     

一个几何不等式的加强

笔者在文[1]曾提出并证明了以下命题：设d_1，d_2，d_3分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，A_2A_3＝a_1，A_3A_1＝a_2，A_1A_2＝a_3，则中等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形，且P点为其中心时成立．同时，笔者提出如下猜想：在条件同（1）式中的条件下，有取等号条件同（1）.此猜想已有人给出了证明，这儿，我们再给出（2）式的一个加强式及其简捷证明．定理设d_1、d_2、d_3、分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离，△表示△A_1A_2A_3面积，则当且仅当△A_1A_2A_3为…     

一道IMO预选题的引申

第36届IMO预选题中有如下一道题: A_1A_2A_3A_4是一个四面体,G是其重心,A_1A_2A_3A_4的外接球分别交GA_1、GA_2、GA_3、GA_4于A_1′、A_2′、A_3′、A_4′四点.证明:     

余弦定理在四面体中的另一种推广及应用

文[1]、[2]给出了三角形余弦定理在四面体中的推广:定理1:如图1,在四面体ABCD中,设顶点A,B,C,D所对面的面积分别为S_1,S_2,S_3,S_4,其中每两面所夹的二面角分别为a_(ij)(i,j=1,2,3,4,i≠j,a_(ij)=a_(ji)),则有S_1~2=S_2~2 S_3~2 S_4~2- 2S_2S_(3cosα23)-2S_3S_(4cosα34)-2S_4S_(2cosα42)(可     

有关四面体的一个不等式的加强

1994年,彭诚建立了如下不等式:设四面体A_1A_2A_3A_4内一点P到A_i所对面的距离为ri(i=1,2,3,4);R、r分别为四面体的外接球与内切球的半径,则     

Gerber不等式的推广及应用

一、主要结果及应用 本文中的改定四面体A_1A_2A_3A_4的项点Ai所对的侧面f_i(三角形)的面积为f_i(i=1,2,3,4),V,R与r依次表示四面体A_1A_2A_3A_4的体积,外接球半径与内切球半径,P为四面体     

费——哈不等式的空间推广

人们对著名的费—哈不等式进行了广泛的探讨,得到了许多推广和加强形式。本文欲将这一不等式移植到空间的四面体中。 引理1.设a_i>0(1G 1/2n Q>G 1/2nsum from i=1 to n (a_i~(1/2)-a_(i-1)~(1/2))~2当且仅当a_1a_n=a_ia_i-1(1相似文献   

关于四面体二面角平分面面积的几个不等式

四面体作为三维欧氏空间中的基本图形,它引起了人们的广泛兴趣,近期人们已获得关于四面体的大量的几何不等式,有兴趣的读者可参见D.S.Mitrinovic的专著。可是关于四面体二面角的平分面面积的几何不等式却很少见,本文对此问题进行了探讨,从而获得关于四面体二面角的平分面面积的几个不等式。 以下约定四面体A_1 A_2 A_3 A_4的顶点A_1所对的侧面为f_i,侧面f_i的面积为S_i,任意两侧面f_i与f_i所成的内二面角为θ_(ij),二面角θ_(ij)的平分面面积为T_(ij)(1≤i相似文献   

第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确     

轮环整除数

首先,看一个有趣的现象,如果我们将538461依次写在圆周上(图1),那么无论我们从哪个数字开始作为首位数,以顺时针方向依次将各数字排列起来,就可得到一个六位数,它们都可被76923整除。例如,将3作为首位数,可得384615,将4作为首位数,可得461538,它们均能被76923除尽,其商分别为5和6。本文将对这样的数字关系作一些探讨。设A=a_1a_2…a_n是一个n位自然数。我们称n个自然数A_1=a_1a_2…a_n,A_2=a_2a_3…a_na_1,     

一些四面体间的体积比较

四面体A_1A_2A_3A_4中,A_i对面为S_i(1≤i≤4),三组对棱A_1A_2、A_3A_4,A_1A_3、A_2A_4,A_1A_4、A_2A_3分别记为a、a′,b、b′,c、c′,外接球半径为R,体积为V。 用∑表示循环和,∏表示循环积,如     

薄膜干涉产生额外程差的条件

本文就薄膜干涉中两列反射光波间产生λ/2额外程差的条件进行详尽讨论,从而纠正一些不确切说法.如图,折射率为n_2的薄膜两侧介质折射率分别是n_1和n_3.设一列光波a的射角i_1入射到薄膜上,反射光波a_1和a_2是相干光波.又设a_1,a_2二光矢量中与入射面垂直和平行的分矢量分别是A_(s1)’,A_(s2)’、A_(P1)’,A_(P2)’.根据菲涅耳公式可推断出A_(s1)’、A_(s2)’、A_(P1)’和A_(P2)’的正负性.在a_1和a_2间产生λ/2的额外程差的条件应该是A_(s1)’和A_(s2)’,A_(p1)’和A_(p2)的正负性同时相反.出现上述情况如表一,表中“ ”“-”分别表示矢量值大于0和小于0.     

也谈四面体的Nesbitt不等式

1引言1903年,A.M.Nesbitt建立了如下关于三角形边长a、b、c的几何不等式[1]:3/2≤a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)<2 文[2]将Nesbitt不等式推广到四面体中,得到:定理1设四面体A_1A_2A_3A_4中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数1λ≥,则122343414()()3SSSSSSSSλλλ≤++++++34412123()()2SSSSSSSSλλ+<++++,(2)文[2]称1λ=时的(2)式为关于四面体的Nesbitt不等式.本文给出四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广.2主要结论定理2设四面体1234AAAA中,顶点iA所对的面的三角形面积为(1,2,3,4)iSi=,实数13/4…     

1999年全国高中数学联赛广西赛区初赛(高三)

一、选择题(每题6分,共36分) 1.在等比数列{a_n}中,记S_n=a_1 a_2 … a_n,已知a_5=2S_4 3,a_6=2S_5 3。则此数列的公比q为( )。 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形(如图1)。现用某平面去截此四棱锥,得到截面四边形A_1B_1C_1D_1,设集合S={四边形A_1B_1C_1D_1是平行四边形}。则     

三维空间中的正弦定理

众所周知,正弦定理是关于三角形边角关系的重要恒等式。它在解三角形中扮演极为重要角色。本文将运用立体几何的有关知识将它予以推广,得到三维空间中的下述正弦定理。 定理 设四面体A_1A_2A_3A_4的四个面     

一道整数题的解法

有一个六位数N=a_6a_5a_4a_3a_2a_1,当用2,3,4,5,6分别乘它时,得到的五个数是:a_5a_4a_3a_2a_1a_6、a_4a_3a_2a_1a_6a_5、a_3a_2a_1a_6a_5a_4、a_2a_1a_6a_5a_4a_3、a_1a_6a_5a_4a_3a_2(当然,这五个数中不知哪一个正好是2N、3N、4N、5N或6N),试求这个六位数N.由于很多知识我都没学过,我只能按照自己的方法来求这个六位数N.现来构造一个循环小数:0.a_6a_5a_4a_3a_2a_1,很明显这个数一定可以写成一个分数a/b,由题目