两道1998年高考数学题的简捷解法

1998年全国高考试题中有一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,下面给出它们的简捷解法. 例l(文科第25题)已知数列箱b。}是等差数列,bl=1,bl b:十… b,。=100. (I)求数列考b。}的通项bn;(I)求数列{b。}的通项b。; ‘,,设数列‘二,的通项一‘g‘, 奇,,记S·是数列{a。}的前。项和·试比较s。与合lgbn一的大刁、, (,)设数列、a。}的通项。n一,。g。(1 咨)(其中。 。n>0,且a笋1),记S。是数列{an}的前n项和.试比较s。与粤109:bn*,的大,J、,并证明你的结论.一‘刁3一0“一”下二~/、.’/’一~’咨曰甲一曰曰解:(x)(略)(I)丫b。=3n一2,并证明…     

题库(二十一)

1.已知函数.f(‘:)二一 万 了十万’ ‘”求证:函数厂二，/(诩畴关于点(音，一合)对称; (2)求j丫一2)十‘/(一1)+f(O)+/(12+/(2)+j(3)的值; (3，若气一千云岁，求证:对任何“然抓总有属>矿赫 2.已知数列{“，}的前。项和为S，，且对任意自然数”总有S，~P(a’，一l)(P 是常数且P共。，户共1). (1)求数列{“，}的通项公式‘之，; (2)数列{b，，}中，I，，，二2，l+q(q是常数)，且“，=b:，aZ<拐.求P的取值范围. 3.若a. 比数列， (1)求，，: 月是方程‘r’一万石J，一卜川2一0(，，:>0)的两实根，而且a，a一凡夕成等 的值; (2)数列{。。)…     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

观察分析 抓住规律

上期问题答案:要回答711是数列:11,-12,22,-13,-23,33,-23,13,-14,24,-34…中第几个数?就需要掌握所给数列的变化规根据这个数列的变化规律,我们应该可以出”711是数列中的第几个数。通过仔细观察所给数列的特点,可以现如下一些规律:1.数列中的数的分布是正负相间的。2.以1为分母的分数有1个;以2为分的分数有3个;以3为分母的分数有5个4为分母的分数有7个……以10为分母的数有19个……一般的,以n为分母的分数2n-1个。3.对于分母相同的分数来说,如果不符号,只看绝对值,则其分子从1开始依次加1递增到与分母相同,然后又依次减递减到1为止。现在,…     

数列为等差数列的一个充要条件

四川人民出版社出版,高中基础知识丛书《数学》 (1984年1月第1版)P120例题: 已知数列的S。=,2十bn c,问该数列是等差数列,还是等比数列?其解答如下: a,=S。一S。一1=b a Za(n一r), 数列为等差数列,公差d二20. 此解答不妥一’:a:=S:.a b e,a:一Q:‘Za一c,当c斗。时该数列不合等差数列定义, 事实上,数列为等差数列的充要条件是:前”项和S。二a拐, bo. :,,‘_、。,二‘。,.,.。___.n(“一l)J 证:若协。}是等差数列,则S,‘“:十丛气一址d, ~.~t一‘,声~’J“~z诸F护、,一‘’一‘’2一’11,‘J呢犷O二,代二.n= Z’Zal一d 2则S。二训, 如…     

让座位

l二f汤中透、式真硒m干乙些}左卒公共丸车}卫应!夕丝!1.字门’打歼,戏和鹤妈!3仁丁万、“丝!二/来。有位弃成寺久2寿,声2们‘·栽227 乙夕毛了仁二〕,要洽mP3了 ,斌射谢3吠李火—}让座z三兰l‘丰火戏爪3看l位了夕光匆乏6面z—}卒后二z二下乙乙必夕让洽2点;‘二补m渔!/奶3“三三}‘头,才么好奶鹅妈向一一二笠二二二二夕·栽奶}道二旦二全2 ,沃改t厂与卜,}{来。让座位@陈磊 @周武彦~~     

1992年四川省高中数学联合竞赛决赛

一、峨空题1.函数y~(会)l’.川的递增区间是 ‘的图形为图中阴影部分,其面积为 2.若方程sinZx+。osx十m二O有实数解,则m的取值范围是_.一11一为_在坐标平面上,方程x十}Zy一x5的图象与y轴所围成图形的面积4.第100个括号是第25组中的第四个,而每组中第四个括号内各数之和,构成为首项是72,公‘蠢经)二笋‘2,。’万 4.把数列{Zn+1}依次按一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为_· 5.n条抛物线y~a尹十bx十。(a笋。),将平面oxy最多分成_部…     

答1/(0.4)和0.4%是否为繁分数

《湖南教育》1985年第1期苏踅文同志问:?和O.4%是繁分数吗?"我们认为这一问题可从定义入手讨论.1.分数定义:符号?叫做分数;自然数m及n叫做分数的项:m叫作分数的分子,n叫做分数的分母.(M·K·格列本卡《算术》P.176).2.繁分数定义:一个分数,它的分子、分母里含有分数的,叫做紧分数. (小学数学课本第九册)从上面两条定义可知,繁分数的概念只是把分数概念加以推广,将分数中的分子m和分母n由自然数扩展到了分数.即繁分数的分子、分母中至少有一项     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2     

两类“派生数列”的通项公式

以〔x〕表示不超过x的最大整数,则有 定理1由。(。)z)个数列{f,(:)}, {f二(n)}的项穿插派生而成灼新数列{a。}:f:(1),…,fm(i),f:(2),…,fm(2),…,汽(哟,…,f二(耐,…的通项公式是。一f,(。)〔}。。s犯二工,{〕 f:(,一1)〔{eosn一2_:、—兀IJ … f二(n一, 1)〔j eos牲二塑二J〕. 定理2由,(二)z)个数yIJ{g工(,)}…,{gm(哟}沟项穿插而成的新数列{乡。}g,(1),g:(z),…,gm(爪),92(优 1),…,g二(2川),…,91(,2琳一,n 1),92(”沉一m十2),“’,g二(”m),…的通项公式是b。=g,(”)〔}cosn m一1 仇万{〕 92(:)〔{e 05刀 巾一2 水二}〕·一 g。(:)〔…     

对一道高考题的研究(高一、高二、高三)

2004年的高考数学有这么一道考题:已知数列{a二}的前n项和S。满足 S,=Za。 (一1)n,n)1.(1)写出数列{a。}的前三项al,aZ,a3.(2)求数列{a。}的通项公式.(3)证明:对任意的整数m>4,有2一l(一l)1 2rl al一上驾斗热笋竺坦 2”一’一普〔2一2 (一‘,一‘〕· 解法2根据式子 a,=Zaol ZX(一1)”一l下标的特点又可得到7l8’ V1一甄 1一a5 1一a4些2月煞乙n--l一舞 (一音)一‘,一舞 (一音)一2,aZ al./1\又万一茸二十气一万犷,。乙“、乙/将上述(n一1)个式子相加,得气一2n 11\十t一二犷J 、乙, 1「./l\”一1刁一二二}1一几一二二J} 乙L、乙/J1…     

题库(十一)

1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/mb2+c3/m2b3+…+cn/mn-1bn=(n+1)·an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列｛cn｝的前n项和Sn.2.已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以n+2λm为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.     

浅谈复数模在解题中的应用

利用复变谬的概念和有关性质如!“·”l’l“,’ 一}2.1 12.1二__,为卜}菊!.筒,l‘,’一,·‘,!跳l等来解题,对开拓学生思想,定作用. 例l求复数!之; z,l(12:l 扩大解题视野有一。一!V了(斌万十扩万f)叹4一3:)(J万一 J百O5(了万一了了i)·8泣·(1一‘) ZJ万‘的模,解,护百(J了 J万O叹4一30(护万 J万05(J了一J了‘)·8‘·(1一‘IJ百!·l护了十J了‘l,·l;一川·!J飞 护万‘! 16卜!了了二7万八·181卜If一‘l一二叮』堕里亘二, 。.护8 .8.矿2 :二1 2了万坛 而!川二J丁干百,3。 例2.求函数f(二)二J飞刃二飞不而一 护通玉耳1的最小值. …     

2006年普通高等学校招生统一考试 福建卷理22题解法集萃

题目:已知傲列{a。I满足a.二l,an+,二Za。+l(noN*).《I)求数列}anl的通项公式; (川若数列lbn}满足4b,一4比一,…4味,=(a。+l),“(noN*),证明:数列lb。}是等差数列;一11、:二n二n_l,a、、aZ*…上a。/n In二月*、吐".】It目目竺二一,<二上十二‘+.,.+二卫1一<毛不吸n任仪贾】.‘J aZ 83a叶.‘(I)证法l:’·’a。+:=Za。+,(noN*)…a,,+l二2(an+:) .’.{a。+l}是以an+l二2为首项,2为公比的等比数列·一十1二2。即a产2“一l(n oN*)证法2:‘:a。+I二Zan+.(n oN*)一合+‘韵一晋:(如’...Bp舞二扮(奋州3二。…处一矛匀一刃也…     

求高阶等比数列通项公式的方法

让我们先来看两道例题:例1已知数列{a n}:6,9,14,23,40试求该数列的通项公式.解记an+1?an=bn,则{b n}:3,5,9,17记bn+1?bn=cn,则{c n}:2,4,8.∴cn=2n.bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)++(b n?bn?1)=b1+c1+c2++cn?1=3+2+22++2n?1=2n+1,an=a1+b1+b2++bn?1=6+(2+1)+(22+1)++(2n?1+1)=6+(2+22++2n?1)+(n?1)=2n+n+3,∴数列{a n}的通项公式为:an=2n+n+3.例2已知数列{a n}:1,7,16,30,53,93,166试求该数列的通项公式.类似于例1可得数列{a n}的通项公式为:an=2n+n2/2+5n/2?4.总结例1与例2,若将原数列{a n}算作“第1阶”,则例1中的数列{a n}是在“逐差”至“第3阶…     

数列代换(高三)

例1数列{a,}首项al~3,且满足an 1- 3a__a,n。一二弓卜不(n任N‘),求一的值.a, 2、~、‘”’一a100一1一‘~’ 通常拿到题后第一反应就是求通项a。,但由题设条件解a,似乎无从下手,这时就要建立一个新数列}一五二}求解. k己n一1,解由a计1一 3a,a, 2,得a计1一1一2(a,一l) a: 2求{b,}的通项公式. 解由f’(n)=Zn l和a、,一za,=f’(n),得a计1一Za,~Zn l① a,一Za二1=2(n一l) 1②①一②,得a叶1一3a, Za~;~2,即a叶1一a, 2=2(a。一a,l 2).又由递推公式得a:~5,所以数列{a叶,一a, 2}是以6为首项,2为公比的等比数列,所以b,=a叶1一a,一6x2~]一2.两式相…     

数列与不等式(文)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最符合题目要求的): 1、已知数列{a。}的首项a一1,且a一Za。一1 1(n七2),则as为() A .7 B.15 C.30 D.31 2、已知。,b任R‘,且a b=s,则2· 2“的最小值是() A .32 B.4V可Cs丫百n.zo 3、!a.冲a。=n七gn一100,则值最小的项是() A.第4项B.第5项c.第6项D.第4项或第5项4、某工厂去年总产a,计划今后5年内每一年比上一年增长10%.这5年的最后一年该厂的总产值是() A．1．1‘a B．1．1。a C．1．1‘a D．(1 1．1’)a 5、已知等比数列{an}中,公比q=2,…     

关于某类数列的求和公式

前.玉.日 关于正整数连续n项k次幂的求和公式,有不少数学家在研究。近几年他们使用组合数学的方法来处理这个问题(见文献〔1〕至〔8〕),在〔7〕中得到了下面的公式: 九2”m=百+了月3”2犯万丁+尸二一+一二一石乙b ”4”s”2=一兀尸+不丁+一厂 4乙4 牡‘犯4月3=了+了+了。一42’ 十沪一6 一砂一2 十砂一2九.儿6“百+百+吕mZ=.15犯‘ 12”2沙,.犯7瓦,户;爪’=下十在文献〔8〕中又得出了下面的公式:习m7=兴(3。。+12。7十,4。。一:,‘十:。2)‘任杰(1。,。+45n。+6。:7一42。。+:。:3一3。)廿U=尖(2。;。十1。:。+;5。。一14,。+1。。‘一3,:)…     

分段等差数列

设数列}“,}:al”’a凡l,anz+l,’‘”a”2,a”2+l,”’,an3,’‘’,a、一,a、一+l,’’‘,an*’’~①的第一段”1项“1,一an:为公差是d,的等差数列,第二段nZ一n,+1项a·:,a·,+1,一a·2(第一段末项为其首项)为公差是内的等差数列,…,第k段nk一”‘一‘+1项气*一,,an*一1·1,…,气为公差是成的等差数列,…,而}吸}为公差是d的等差数列,则la,}叫做分段等差数列. 我们的目的是推导①的通项公式. 当1毛n簇nl时,有 a,=al+(n一l) dl;② 当n*一1镇n镇n*时,有 a,=a、一1+(n一n*一1)dk·③ 为了求a,,需知道成和a、一,·事实上,}成}为等差数列,故 成=…     

找出规律巧解题

数学练习册上有这样一道题: 有一串分数:1/1、1/2、2/2、1/2、1/3、2/3、3/3、2/3、1/3、1/4、2/4、3/4、4/4、3/4、2/4、1/4、……分数1/7在这一数列中是第几个?分数7/10在这一数列中是第几个? 我首先想到1/7在这一数列中出现了两次,第一次是分母为