探索“用向量方法求点到直线的距离”的思维过程

传统的求点P到直线ι的距离的方法是:先由点P和直线ι的垂线ι′的斜率求垂线方程;解由直线ι及垂线ι′的方程组成的方程组,求出直线上的垂足Q的坐标;再利用两点距离公式,求得点P、Q的距离,即为点P到直线ι的距离．与传统的代数方法相比较,运用向量知识推     

浅谈点到线的距离

点到线的距离中的线往往以三种形式出现,即直线、射线、线段．点到线的距离中的点指的是线外的一点．点到直线的距离指的是直线外的一点到这条直线的垂线段的长度,点到射线和线段的距离指的是点到这条射线和线段所在直线的距离．图示如下：     

让教学过程充满魅力--记一堂几何课的教学过程

这是初一平面《几何》第一册关于垂线的第二节课，教学的主要内容是垂线的第二条性质，即垂线段最短和点到直线的距离概念．如果用传统的“灌输——接受”式的教学模式进行教学，把本课的知识、结论以定论的形式直接教给学生，学生也能够接受，也能达到“学会”的目的．但是，这种走捷径的教学方式排斥了学生的思考和个性，     

5．1相交线专题训练

一、课标要求： 1．了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等,等角的补角相等,对顶角相等; 2．了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义; 3．知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线; 4．了解线段垂直平分线及其性质．     

5．1相交线专题训练

一、课标要求： 1．了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等,等角的补角相等,对顶角相等; 2．了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义; 3．知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线; 4．了解线段垂直平分线及其性质．     

苏教版国标本数学四年级上册“平行与相交”备课参考

教材与学情分析 “平行与相交”属于“空间与图形”领域的教学内容。教材按这样的线索来组织教学内容：先教学平行,引导学生联系生活情境．在识别直线相交和不相交的基础上认识平行线,学会画平行线;再教学垂直,从生活中选取两条直线相交成直角的特殊位置关系,引导学生认识垂线,学会画垂线,并结合相互垂直的关系,认识点到直线的距离及其应用。     

探索点到直线距离公式的七种方法

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．     

运用垂线段解决有关最值问题的研究

<正>当遇到下面的情况时可以运用作垂线段的方法求最值:第一,求点到直线距离的最小值;第二,求两条线段和的最值．主要涉及的题型如下:一、作垂线段求线段的最值作垂线段求线段的最值是指点到线段的最值,如点A是直线l外的定点,点B是直线l上的动点,     

让公式的推导思路来得自然些——浅谈新教材中点到直线的距离公式的推导设计

全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（上）第51页“点到直线的距离”在引入中这样写道：“在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为（x0，y0），直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长（图7-17，这里略）设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q。由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为BA（A≠0），根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离d…     

垂线性质的实际应用

同学们在学习垂线时，不仅要理解垂线的性质及垂线段、点到直线的距离等概念，更要了解它在实际生活中的应用，下面列举几个生活中的实例与同学们共享。[第一段]     

对教材中点到直线的距离公式推导的建议

人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三…     

立体几何专题

本专题高考的知识点是：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线与平面所成的角，三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质，平行平面间的距离。二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质．多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等．[第一段]     

谈谈点面距离的求解策略

线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解，异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解．所以掌握点面距离的求法是学习线面距离、面面距离的基本和关键．以下谈谈求点面距离的几种策略．１ 先作后求 先作后求的思路是：先过点作平面的垂线段，再利用解三角形的方法求出垂线段的长度．但这种解法一般要确定垂足的位置，通常是利用面面垂直的性质来确定垂足的位置． 例１已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为４，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ为６０°，求Ｐ在底面内的射影Ｏ到平面 ＰＢＣ的距离． 解 如图１，过Ｐ作＊ｏ上…     

“垂直”内容分析与教学建议

1 教材分析垂直是苏科版教材七年级的教学内容,是几何的基础知识.与小学内容比较,本节更突出了思想方法的渗透,如点与直线的位置关系中的分类思想;画线段或射线的垂线、点到直线的距离中的化归思想;垂线段与点到直线的距离中的数形结合思想.教材通过折纸、画图等活动更加注重对学生自主探索精神、     

挖掘育人资源，整体认识同一平面内两条直线的位置关系

一、背景分析 “平行与相交”在小学数学苏教版第七册第四单元。教材分成两部分：第一部分认识平行线,学会画平行线。第二部分认识垂线,学会画垂线,认识点到直线的距离。本单元的教学重心最终落在同一平面内两条直线的两个特殊位置关系——平行与垂直两个知识点的教学上。这样的安排,不管是教师的教还是学生的学越来越彰显出两个弊端。     

怎样理解“点到直线的距离”?

义务教育初中《几何》第一册,对“点到直线的距离”的概念,是这样定义的:“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离”.下面谈谈如何理解这个概念.     

“点到直线距离公式”推导的再改进

推导点到直线的距离公式,《解析几何》课本首先介绍了一种思路:设点 P 到直线 l 的垂线为 l′,垂足为 Q……由 l与 l′的方程求出点 Q 的坐标;由此即可根据两点距离公式求出|PQ|,这就是点 P 到直线 l 的距离。     

点到直线的距离公式的推导

在教材中点到直线的距离的定义是“点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长”。这实质上是指直线外一点与此直线上各点所成的各线段中最短的线段长。据此定义可推导出此距离公式如下: 设已知点P的坐标为(x_0,y_0);已知直线l的方程为     

“垂直”教学设计与思考——2007年江苏省初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动后感

江苏省2007年初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动已结束,本次赛课的课题是“空间与图形”部分的“垂直”．本节课所涉及的概念较多,有垂直、垂足、垂线、垂线段、点到直线的距离等,还涉及“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”等几何中的重要结论．学生在小学时对“垂直”已经有了一些初步的体验和认识,本节课的教学目标应该是在具体情境中,进一步丰富对两条直线互相垂直的认识,并会用符号表示两条直线垂直,会用三角尺、量角器、方格纸画垂线,并在操作活动中探索、了解垂直的一些性质．     

用空间向量法求距离问题

立体几何中的求距离，是高考中的命题热点．空间的距离包括两点间的距离；两条平行直线的距离；两条异面直线间的距离；点到直线的距离；点到平面的距离；直线到它的平行平面的距离；两个平行平面之间的距离以及球面上两点之间的球面距离．其中重点是两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离及两异面直线间的距离，这些距离的计算是立体几何中的一个难点．引入向量后，通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化，因此，向量为立体几何代数化带来了极大的便利．