“1+2+3与1×2×3”性质与拓展的巧证

徐研[1]给出性质:任何三个不同的正整数,如果其和等于其积,则必为1、2、3.汪嫣嫣等[2]对于上述性质进行了拓展:任何三个不同的整数,如果其和等于其积,则这三个数为1、2、3或者-1、-2、-3或者一数为0、另外两数为非零相反数.对于该性质及其拓展,原文中给出的证明方法比较繁琐,不容易为初中学生所理解.笔者现基于课程标准中的     

关于Diophantine方程x3+1=3py2

设 p是奇素数,证明了:当 p=12r2+ 1,其中 r是正整数,则方程 x3+ 1=3py2无正整数解 (x,y).     

不定方程1/x~2+1/y~2=1/A~2(A∈N)的正整数解

不定方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)是否有正整数解?文[1]给出“无正整数解”的论断;文[2]提出反例,并给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解的一个条件:“对方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2),如果对A的两个互质的约数A_1、z_1、存在正整数y_1满足y_1~2=A_1~2+z_1~2那么1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解,且其解可表示为x=ry_1A_1,y=ry_1z_1,其中,A=rA_1z_1,r∈N”。试问A为何值时,方程才有正整数解?能否根据A的值直接判定方程有正整数解?本文将给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)有正整数解的充要条件;并把问题推     

应用(ab-a-b+1)=(a-1)(b-1)解竞赛题

本文标题给出的公式是一个广为人知的简单事实 .若巧妙地应用它去解有关问题 ,往往能收到意想不到的效果 .下面以竞赛题为例谈应用它解题的技巧 ,供同学们参考 .例 1　已知三个质数之积恰好等于它们和的 5倍 ,则这三质数为 .解　设这三个质数为a、b、c ,由题意得 :abc =5(a+b +c) ,根据质数的定义知 :a、b、c中有一个等于 5,不妨令a=5,于是bc =5+b +c即 (b - 1) (c- 1) =6 ,显然b≠c ,不妨设b>c,则 b - 1=6c - 1=1或 b - 1=3c - 1=2解得 b =7c=2 或 b =4c=3(不符合题意 ,舍去 )故所求质数为 2、5、7.例 2　求所有实数k ,使方程kx2 + (k+ 1)x…     

方程x_1+x_2+···+x_k=n的整数解的组数及其应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3=10(1)的正整数解的组数.此问题可以直观地理解为:将十个相同的小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒子不空的投放方法种数.这不同于高中教材介绍的普通组合问题,但又十分常见.我们将这十个相同的小球排成一行,相邻的两球之间有一个空隙,共有9个空隙.任取两个空隙并在每个空隙中插入一个“隔板”,这两个隔板将10个小球分成三段,若从左到右各段中小球的个数依记为y1、y2、y3,则y1、y2、y3都是正整数,并且满足y1+y2+y3=10,说明有序数对(y1、y2、y3)是方程(1)的一组正整数解;反之,对于方程(1)的任意一组正整…     

从“1/3×1/4=1/3-1/4”谈起

让我们先观察一组有趣的等式: 1/3×1/4=1/3-1/4;1/7×1/8=1/1-1/8;1/11×1/12=1/11-1/12;……一般地,我们有如下结论: 两个连续正整数的倒数之积等于它们的倒数之差.     

求勾股数的方法

设x、y、z是三个正整数,如果x~2+y~2=z~2,(1)则它们称做勾股数,也称毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean Triples).当x,y,z满足(1)时,x或y必为偶数,否则有z~2=x~2+y~2≡2(mod4),这是不可能的. 如果勾股数x,y,z互素,就说是本原     

关于三次Diophantine方程x~3-1=3py~2

设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.本文运用Pell方程的基本性质证明了:如果p=3r2-2或者3p=r2+2,其中r是正整数,则方程x3-1=3py2无正整数解(x,y).根据上述结果可知:当p<100时,该方程仅当p=37时有正整数解(x,y).     

画图巧教“1+3×2”

在教“乘加、乘减混合运算”时，教师首先出示“1＋ 3×2”这道题，全班大部分学生举手争着回答，一位学生说：“1加 3等于 4， 4乘以2等于 8。”教师把得数板书好，问学生对不对，他们都说对。这时，教师出示下图： 　　问：“一共有几个△ ?”“ 7个。”“怎样列算式 ?”学生各抒己见，说出了三个算式：1＋ 6=7，1＋ 3＋ 3=7，1＋ 3×2=7。学生观察这三个算式，发现了问题：看图写算式中的第三道算式与首先出示的那道算式完全一样，但得数不同，1＋ 3×2=8是错的。错在哪里呢 ?他们全神贯注地自学例题，课堂鸦雀无声。片刻，课堂活跃了，…     

不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解数

给出了不定方程mx+2y+z=n(m≥3,n≥m+3)的正整数解以及非负整数解的个数的计算公式.同时也给出了将正整数n拆分成若干个1,2和m的拆分数的表达式.进一步给出了x1+2x2+3x3+4x4=n的正整数解的个数以及关于一般情形下的不定方程的正整数解的个数的递推关系.     

关于丢番图方程15+25+35+……+x8=py2

证明了丢番图方程15+25+35+……+x5=py在p=12k+1且P能使u2-6v2=3和s2-6pt2=1有正整数解时,丢番图方程15+25+35+……+x5=py2必有无穷多组正整数解(xnyun)=(xxyxn(xn+1)vn/2.     

不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

三圈理论下高考改革“3+1+2”选考模式分析

2014年9月《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》颁布,新高考改革正式提上日程,浙江省、上海市成为第一批改革试点开始实施方案。2019年4月24日河北、湖南、重庆等八省市宣布新高考改革方案,确定实施"3+1+2"选考模式。文章利用三圈理论,从"3+1+2"选考模式的价值圈、能力圈以及支持圈三个角度对这一政策进行分析,解释这些省份实施此种选考模式的可行性。     

概率问题中的“+-×÷”

概率问题是高中数学新增的重要问题 ,主要涉及古典概型、互斥事件和的概率、相互独立事件积的概率以及贝努里概型。重点考查两种事件之间的概率运算、运算类型可分为“+、-、×、÷”四种 ,以及它们之间的混合运算 ,本文从运算的角度看概率问题 ,举例如下 :一、主“+”型【例 1】　 (日本高考题 )袋内有 9个白球和 3个红球 ,从袋中任意地顺次取出三个球(取出的球不再放回 ) ,求第三次取出的球是白球的概率 .解 :设A1 =“三次都是白球” ,则P(A1 ) =9× 8× 7A3 1 2A2 =“一、三次白球 ,第二次红球” ,则P(A2 ) =9× 3× 8A3 1 2A3 =“第…     

构造组合模型求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N*)的正整数解的个数及应用

许多书上求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解都是利用等异元素允许重复的组和数来求的。下面本人用相异元素不允许重复的组和数来求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解。作为特例,先求方程x1+x2+……+x5=7正整数解。构造模型:设有7个小球排成一排,这7个小球之间有6个空,在这6个空中任选4个画上线,则7个小球将分成5部分,比如:摇00｜00｜0｜0｜0这5部分刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=2,x2=2,x3=1,x4=1,x5=1。比如:摇0｜00｜0｜00｜0这5部分也刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=1,x2=2,x3=1,x4=2,x5=1。…     

关于不定方程x~3+1=Dy~2

设D是奇素数,运用初等数论的方法给出了在D=3(24k+4)(24k+5)+1(k∈N)的情形下不定方程x3+1=Dy2无正整数解的一个充分条件.     

关于勾股弦数组某些性质的再证明

如果x、y、z方程x~2+y~2=z~2的一组正整数解,则我们把这组解叫做勾股弦数组,其中x、y叫勾股数,z叫弦数。在《数学通报》1979年第5期的“勾股数组的一个性质”一文中,曾证明命题1 任一组勾股弦数中,必有含因子3的数;必有含因子4的数;必有含因子的5的数。另在《数学通讯》1981年第6期的《答问几则》栏中,曾证明命题2 在任一组勾股弦数中,勾股数之积不能被12整除。鉴于上述二文的证明均较繁,本文拟对上述命题给出一个较为简捷的证明。不失一般性,可假定(x,y)=1,那么x、y必为一奇一偶,不妨设x为偶,则x、y、z必可写成如下形     

2~k+2~k=2~(k+1)的应用

利用等式2k+2k=2K=1①可求形如xp+yq=zn（n,p）=1,（n,q）=1的不定方程的一组正整数解。例1、求方程y2＋x3＝z5的一组正整数解。解：…2、3的最小公倍数是6。既是6的整数倍又比5的整数倍小1的最小的k的值是24,即有224＋224＝225,(212)＋（28）3＝（25）5”y＝212’,x＝28,z＝z5即为要求的一组正整数解。例2、求方程z3＋x7＝y4的一组正整数解。解：3×7＝21,又3×21＝63＝64－1则有沙十3ee一岁,即（3z）’＋（3＊二（3”）‘”＝一户1二3’,歹一3‘’为要求的一组正整数解。例3、求方程＞十二二;的一组正整数解。U3M、Al＼jjq：l…     

关于Diophantine方程x3+8=3py2

设p是奇素数，证明如果p=3s^2 4，其中s是奇数，则方程x^3 8=3py^2没有适合god(x，y)=1的正整数解(x，y)．     

关于方程1/(x_1~2)+1/(x_2~2)+…+1/(x_(n-1)~2)=1/(x_n~2)的正整数解

我们已经知道(文[1]),不定方程1/x2+1/y2=1/z2 (1) 满足(x,y,z)=1的所有正整数解可表为x=r4-s4,y=2rs(r2+s2),z=2rs(r2-s2) (2) 其中r>s为正整数,(r,s)=1,r,s一奇一偶,这里x,y可交换. 下面我们来推求更一般的这种不定方程1/x_1~(2)+1/x_2~(2)+…+1/x_(n-1)~(2)=1/x_n~(2) (3)