二次三项式因式分解的一种简易方法

二次三项式因式分解的一种简易方法兰州铁道学院附中郝亚平设二次三项式Ａｘ２＋Ｂｘ＋Ｃ可分解为（８Ｘ＋ｂ）（Ｃｘ＋ｄ），亦即ａｃｘ２＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄ。比较系数得Ａ＝ａｃ，Ｂ＝ａｄ＋ｂｃ，Ｃ＝ｂｄ。设ａｄ＝Ｆ１，ｂｃ＝Ｆ２，则有ＡＣ＝Ｆ１·Ｆ２，Ｂ...     

大胆猜想探求最佳形式

高级中学课本《代数》下册必修第３２页的习题９是：已知：ａ＞ｂ＞ｃ，求证：＋＋＞０．此题的习惯证法都是证明它的等价形式＋＞．由于ａ＞ｂ＞ｃ，所以ａ－ｃ＞ａ－ｂ＞０，所以＞，而＞０，从而问题得证．如果就题论题，此问题确实得到了比较好的解决．然而，蕴含在此问题中的规律性知识却被丢弃了．分析一下＋＞，ａ－ｂ＞０，ｂ－ｃ＞０，而ａ－ｃ＝ａ－ｂ＋ｂ－ｃ，即两个分母的和，这是巧合吗能否将ａ－ｂ，ｂ－ｃ换成一般正数ｘ，ｙ呢不妨试一试．于是，我们有猜想１若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，则≥显然，≥≥（ｘ＋ｙ２≥ｘｙｘ２＋ｙ…     

利用函数图象，一目了然

在许多参考书上都有这样一个命题：在等差数列｜ａｎ｜中,已知 首项ａｌ＞０,公差ｄ＞０;等比数列｜ｂｎ｜中,公比ｑ＞０,且ａｌ＝ｂ１,ａ_（２ｎ＋１）＝ｂ_(２ｎ＋１）,（ｎ∈Ｎ）,试比较。ａ_（ｎ＋１）与ｂ_（ｎ＋ｌ）的大小。 关于这个问题的解法,各书都是利用等差数列和等比数列性质,化为不等式证明．比较繁琐。其实,如果从函数观点出发．利用线性函数和指数函数图象,问题的结论简直是一目了然。 设线性函数ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｌ＋ｄｘ． 指数函数 ｙ＝ｇ（ｘ）＝ｂｌｑ～ｘ（ｑ＞０）, 则有ａｎ＝ｆ（ｎ—１）,ｂｎ＝ｇ…     

二元二次多项式的因式分解

本文给出了二元二次多项式ｆ（ｘ,ｙ）＝ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ（１）在整数及实数范围内可分解因式的充要条件,使用所给出的方法,使得二元二次多项式的因式分解规范化,并且简单易行．一、在整数范围内分解定理１　设（１）是整系数多项式,则它可分解为因式（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ＋ｃ２）的充要条件是（Ⅰ）ａｘ２＋ｄｘ＋ｆ＝（ａ１ｘ＋ｃ１）（ａ２ｘ＋ｃ２）,ｂｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝（ｂ１ｙ＋ｃ１）（ｂ２ｙ＋ｃ２）,ａｘ２＋ｃｘｙ＋ｂｙ２＝（ａ１ｘ＋ｂ１ｙ）（ａ２ｘ＋ｂ２ｙ）．只要比较ａ…     

一类函数的值域、极值和最值

对于实数域上有理分式函数（其中分子、分母互质，ａ与ａ＇不同时为零）本文将给出值域、最值的求法，并给出该函数极值的有关结论。一、用判别式法求（Ｉ）的值域和最值易知对任实数ｙ，（Ｉ）与下式同解（ａ—ａ＇ｙ）ｘ２＋（ｂ—ｂ＇ｙ）ｘ＋（ｃ－ｃ＇ｙ）＝０（ＩＩ）设ｙ是（Ｉ）的值域中一点，则存在实数ｘ使（Ｉ）成立，即（ＩＩ）成立。于是有：△＝（ｂ—ｂ＇ｙ）～２－４（ａ－ａ＇ｙ）（ｃ—ｃ＇ｙ）≥（Ⅲ）反之，若实数ｙ使（Ⅲ）成立，且ｂ—ｂ＇ｙ与ａ－ａ＇ｙ不同时为零，则ｙ在（Ｉ）的值域中。若ａ—ａ＇ｙ＝ｂ－ｂ＇ｙ…     

一类无理函数的一种最值求法

本文介绍了对于形如ｙ＝ａｘ＋ｂ＋√ｘｘ＾２＋ｄｘ＋ｅ（ａ≠０，ｃ、ｄ不同时为０）的无理函数，利用等值线求出其最值的一种方法。     

等比性质的另一面

九义教材《几何》第二册Ｐ２０２介绍的等比性质：如果ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０），那么ａ＋ｃ＋…＋ｍ／ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝ａ／ｂ．显然，定理的结论是在附加条件：“ｂ＋ｄ＋…＋ｎ≠０”下成立的．我们不禁要问：如果ｂ＋ｄ＋…＋ｎ＝０，那么结论又如何呢？仍用参数法，不难推得结论为：ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝０．证明　设ａ／ｂ＝ｃ／ｄ＝…＝ｍ／ｎ＝ｋ，则ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋ，…，ｍ＝ｎｋ．ａ＋ｃ＋…＋ｍ＝ｂｋ＋ｄｋ＋…＋ｎｋ＝（ｂ＋ｄ＋…＋ｎ）·ｋ＝０．这样，对等比性质我们可以把它完善为：如果ａ／ｂ＝…     

根式和下界不等式的一种新证法——从一个问题解答谈起

１　问题提出《数学通报》１９９５年第８期问题９６９题：已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,求证：３－３＜１－３ａ２＋１－３ｂ２＋１－３ｃ２≤６．已见多文对这类问题上界不等式的解法进行探讨〔１〕～〔４〕,但对其下界却少有研究．我们自然要问：其下界的求解方法可否优化？为便于说明,不妨摘抄原文如下：图１对于函数ｙ＝１－３ｘ２,它的图像是椭圆３ｘ２＋ｙ２＝１（ｘ＞０,ｙ≥０）在第一象限的部分,是凸的．过Ａ（０,１）、Ｂ３３,０的直线方程为ｙ＝１－３ｘ．对于０＜ｘ≤３３,有１－３ｘ２＞１－３ｘ．∴ｕ＝…     

二元二次多项式的因式分解

二元二次多项式的因式分解我们先讨论二元二次多项式ａｘ２＋ｂｘｙ＋ｃｙ２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ可分解为两个一次因式的充要条件。解关于Ｘ的一元二次方程：ａｘ２＋（ｂｙ＋ｄ）ｘ＋ｃｙ２＋ｅｙ＋ｆ＝０＝（ｂｙ＋ｄ）’－４８（ｃｙ２＋ｅｙ＋ｆ）＝ｂ２ｙ２＋２ｂｄｙ＋...     

非负数的性质及应用

非负数的有关性质是代数中十分重要的性质，它在解题中有着较为广泛的应用．现举例说明非负数的性质在解代数题中的应用，供同学们学习时参考．非负数的性质：若ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝０，且ｘｌ≥０，ｘ２≥０，…，ｘｎ≥０，则ｘｌ＝０，ｘ２＝０，…，ｘｎ＝０．此与类似，当｜ａ｜＋｜ｂ｜＝０时，总有ａ＝０且ｂ＝０；当时，总有ａ＝０且ｂ＝０；若ａ～（２ｎ）＋ｂ～（２ｎ）＝０（ｎ为自然数），则ａ＝０，ｂ＝０．例１　已知（ａ—１）２＋（ｂ＋１）２＝０，求（ａｂ）～（１９９７）的值．分析（ａ－１）２≥０，（ｂ＋１）２≥…     

用三角代换求两类无理函数的值域

文［１］用构造直线与圆锥曲线的方法,并通过对它们位置关系的讨论,求得无理方程ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋ｎａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）及ｇ（ｘ）＝ｍａｘ＋ｂ＋ｎｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域．该文不失为用构造思想、数形结合解题的范例,读后受益匪浅．本文中,笔者试图...     

一元二次方程两根间的关系

一元二次方程是中学代数的一个重要组成部分。现将一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）两根之间关系归纳如下．不妨设一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０中,ａ＞０,△≥０,则（１）ｂ＞０,ｃ＞０两实根都为负;（２）ｂ＞０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为负;（３）ｂ＜０,ｃ＞０两实根都为正;（４）ｂ＜０,ｃ＜０两实根异号,绝对值较大的为正;（５）ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ是一个完全平方式,则必有ｂ＝±２ａｃ（ｃ＞０）,或△＝０两实根相等;（６）ｂ＝０,ｃ＜０两实根互为相反数;（７）ａ＝ｃ两实根互…     

一道不等式题的多种证法

一道不等式题的多种证法甘肃省静宁一中王启龙题目：已知ａ,ｂ∈Ｒ,且ａ＋ｂ＋１＝０．求证（ａ－２）２＋（ｂ－３）２≥１８．证明一：综合法∵若ｘ,ｙ∈Ｒ,则有ｘ２＋ｙ２≥（ｘ＋ｙ）２２．当且仅当ｘ＝ｙ时取“＝”．又∵ａ＋ｂ＋１＝０,∴（ａ－２）２＋（ｂ－...     

巧用判别式和二次函数性质解题

文献（１）着重于解决不等式问题,笔者研读后深受启发。一元二次方程ａｘ２十ｂｘ十ｃ＝０的根有下列判断条件：（１）方程有实根,＝ｂ２－４ａｃ　０;（２）方程无实根＝ｂ２-４ａｃ＜０。二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２十ｂｘ＋ｃ（ａ　０）有下列几条性质：性质１若ａ＞?..     

《因式分解》自测题

一、填空题（每空２分，共２０分）１．ｘ３－２ｘ２ｙ＋ｘｙ２＝ｘ．２．ｂｃ－ａｃ＋ａＢ－ａ２＝（ｃ＋ａ）（）．３．若１２ｘ２－８ｘ－７＝（２ｘ＋１）（６ｘ＋ｍ），则ｍ＝．４．已知ａ＝３．ｂ＝２。则ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２－ａ＝５．２７－８ａ３＝（３－２ａ）（）．６．１６ｘ＋　　１／４＝（４ｘ＋．）７．ｘ２－ｙ２－２ｙ－１＝（）．８．分解因式：ｘ３＋ｘ２－２ｘ－２＝（ｘ＋１）（）．二、选择题（每题３分，共２４分）１．若二次三项式ｘ２＋ａｘ—１可分解为（ｘ—２）（ｘ＋ｂ），则ａ＋ｂ的值为（）（Ａ）－１；…     

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性□李玉钊（河南信阳地区教育学院４６４０００）众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），欲求其解，可通过著名的求根公式ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ｎ，ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ（...     

用“代换法”巧解题

有些题目用常规方法很难解答,若用“代换法”则可以简繁敏、化难为易。此题若直接计算则很繁琐,不妨用“代换法”解之。设 ａ＝　＋　＋　＋　,ｂ＝　＋　＋　＋　＋则原式＝（１＋ａ）×ｂ—（１＋ｂ）×ａ 例２．化简 此题直接约分很难找出分子、分母的最大公约数。 设 ａ＝５８,ｂ＝８５。 则原式 例３．某人上山每小时行３千米,下山每小时行５千米,求他上、下山的平均速度。 此题没有给出路程这一条件,似乎无法解答,若用“代换法”则可迎刃而解。 设从山顶到山下的路程为ａ千米,则可列式为： 　　　　　　　　　（千米）答（略…     

挖掘ａ＋ｂ＋ｃ＝０的一个不等关系解题

在数学解题中；经常碰到已知条件为ａ＋ｂ＋ｃ＝０，求取值范围、最值等问题，这时若把此条件转化为不等关系ｂ＾２≥４ａｃ（因ｂ＾２－４ａｃ＝［—（ａ十ｃ）］＾２—４ａｃ＝（ａ—ｃ）’≥０）去解题，往往能收到事半功倍之效，下面举例说明．     

关于f(x)=(ax+b)~1/2+(cx+d)~1/2值域的一个定理

对于函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ＋ｃｘ＋ｄ（ａｃ≠０）的值域,当ａ,ｃ同号时,显然可以用函数的单调性求解;当ａ,ｃ异号时,虽然不能用单调性求解,但是亦有许多各具特色的解法,如：三角换元法文［１］体现了换元的思想,圆锥曲线与直线系的交点法文［２］体现了数形结...     

分式运算五注意

分式运算在初中数学中占有重要的地位．初学时应特别注意以下五个问题：一、注意不可轻易约分例１使得分式无意义的ａ的值是——．（１９９６年徐州市中考题）错解当ａ－３＝０，即ａ＝３时，分式无意义．分析将因式（ａ－２）约去，就相当于分子、分母都除以一个可能等于零的代数式，无意中就扩大了分母中字母的允许值范围．本题正确答案为ａ＝２或ａ＝３．二、注意正确使用“或”与“且”例２　当ｘ为何值时，分式　　　　　有意义？（１９９３年泰州市中考题）错解当分母不为零时。分式有意义．由ｘ２＋ｘ－６＝０，解得ｘ＝－３或ｘ＝２…