一道赛题的简证

题目　已知a、b、c为正实数.证明:a2 b2 c2 abc=4a b c≤3.(第20届伊朗数学奥林匹克(第2轮))文[1]利用三角法给出了证明,本文给出一种代数证明.证明:若a、b、c都大于1,或者都小于1,显然不满足题设条件.因此,a、b、c中一定有两个或者都不大于1,或者都不小于1,不妨设为a、b.则(1-a)(1-b)≥0,即　ab≥a b-1.①由a2 b2≥2ab,有4=a2 b2 c2 abc≥2ab c2 abc,即　ab(2 c)≤4-c2.于是,ab≤2-c.②由①、②,有a b c≤3.一道赛题的简证@羊明亮$湖南师范大学附属中学广益高中!410081[1] 第20届伊朗数学奥林匹克(2002—2003)[J].中等数学2004增刊.70.…     

在变换的过程中提出问题

问题 1　《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2　设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3　设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三…     

韦达定理在数学竞赛中的应用

美国数学家加涅认为,当我们遇到问题时,或是原封不动地搬用先前学过的原理,或是组合若干原理从而发现新原理来解决问题。现谈一谈韦达定理在数学竞赛求极值题中的应用。例1已知实数a、b、c满足a b c=2,abc=4.求:(1)a、b、c中最大者的最小值;(2)|a| |b| |c|的最小值。分析:我们注意到题目结构中已包含有和与积的关系,此时应联想到韦达定理。解:(1)由条件a b=2-c,ab=c4设a、b为关于z的方程的两个根∴z2-(2-c)z c4=0∵a、b、c为实数∴关于z的方程的判别式△≥0即c3-4c2 4c-16≥0(c2 4)(c-4)≥0∴c-4≥0,c≥4又当c=4时,b=a=-1∴a、b、c中最大者…     

错在哪里

题目已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a 2+b 2+c 2=3,则c的取值范围是.解答∵a+b+c=1,∴a+b=1-c,又∵a 2+b 2+c 2=3,∴a 2+b 2=3-c 2.根据均值不等式a+b 2≤a 2+b 22得1-c 2≤3-c 22,且该均值不等式成立的条件:a、b∈R,等号成立条件:a=0,b≥0或a≥0,b=0或a=b>0.解不等式1-c 2≤3-c 22得:1-c≤0,3-c 2≥0,或1-c>0,3-c 2≥0,()2≤3-c 22,∴1≤c≤3或-1≤c<1,综上可得:-1≤c≤3.     

2004美国数学奥林匹克第5题探源

2004美国数学奥林匹克第5题:若a,6,c是正实数,证明(a5-a2 3)(b5-b2十3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.这是一个优美的代数不等式,它是如何构造出来的呢?本文将从题目中隐含的信息着手探源.粗看似乎无从下手,仔细分析,可发现题目中隐含着如下信息:信息1a=b=c=1时不等式等号成立.信息2题给不等式左边含减号,右边只有加     

抛物线围成区域面积的初等求法

解析几何教学中 ,我们常求一些特殊曲线围成图形的面积 ,而对于求如图 1所示的两条抛物线围成的封闭区域的面积 ,往往认为是属于定积分的问题 .这里给出一个比用定积分更快捷实用的公式 ,其推导完全是初等的 .首先 ,我们设a1-a2 =a≠ 0 ,b1-b2 =b ,c1-c2 =c,显然b2 -4ac>0 .并设以封闭阴影区域为底面、高为 π|a|的直柱体的体积为V ,再用过点 (x ,0 ) (其中x满足 (x +b2a) 2 相似文献   

类比三角公式巧解代数问题

有些代数问题,当我们用代数方法解决时,会觉得较难下手甚至束手无策,如果能根据题目结构特点,类比联想三角公式,通过三角代换,把问题转化为三角问题,不仅可使问题中的数量关系变得直接明了,结构特征明显,而且使代数中原来繁琐复杂的运算变成简单、灵活多变的三角运算.现举例说明.1 类比三角公式证明条件等式 例 1 设a,b为实数,a 1?b2 b 1? a2=1,求证:a2 b2 =1.(第 3 届“希望杯”数学竞赛题) 分析 由已知式知 a ≤1, b ≤1.由此及已知式的结构类比联想两角和的正弦公式,设a = sinα ,b = sin β , ?π / 2 ≤α 、β ≤π / 2 ,则…     

一个猜测不等式的证明

第9届美国数学竞赛试题中有如下不等式：设0≤a,b,c≤1,证明a/b＋c＋1＋b/c＋a＋1＋c/a＋b＋1＋（1-a）（1-b）（1-c）≤1.     

用构造法的思想解一类求值问题

我们在做一些竞赛题目时,经常遇到已知几个条件等式,求一个代数式的值或求证某个结论.这类题,我们可以从条件入手,造出要求结论的模式,从而解题.例1 已知a b c=3,求证(1-a)~3 (1-b)~3 (1-c)~3=3(1-a)(1-b)(1-c)分析:由结论来看:我们第一步要造出1-a,1-b,1-c 第二步再造出结论的左端.证明:∵a b c=3∴(1-a) (1-b)=-(1-c)∴[(1-a) (1-b)]~3=-(1-c)~3     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

应用归纳、猜想思想 提高学习效率

在数学的学习中我们不仅要掌握数学的基础知识,更重要的是掌握一些数学的思想方法.这些思想方法,如抽象概括方法、化归方法、演绎方法、类比方法等贯穿在整个数学的学习中,指导着我们的学习,也为我们处理、解决实际问题提供了方法.归纳、猜想是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,从而推导出一般性结论的方法,是一种从特殊到一般的推理方法.下面就谈谈怎样利用归纳、猜想的思想方法来学习数学.1　利用归纳、猜想思想方法,探求解题的一般方法　　看下面的一组证明题.(1)已知:a,b,c为正数,abc=1,求证:a+b+c≤1a+1b+1c(2)已知a,b,c为…     

黄金椭圆性质微探

我们把离心率为52-1的椭圆叫做黄金椭圆,黄金椭圆有许多有趣的性质,本文以椭圆x2a2 by22=1(a>b>0)为例列举4条,并给予证明.(1)若椭圆是黄金椭圆,则a、b、c成等比数列证明∵椭圆为黄金椭圆,∴ac=52-1,即c=52-1a.∴b2=a2-c2=a2-5-122a2=5-12a2=ac.∴a、b、c成等比数列.上述命题的逆命题也为真命题.事实上,由b2=ac及b2=a2-c2,得a2-c2=ac.∴e2 e-1=0,∴0相似文献   

考虑一种典型情形

在解数学题时,往往会碰到乍看上去一时无法下手的题目·这时,先考虑一种典型的情形是我们通常采取的一种策略·这种典型情形,通常可分为最值情形和均值情形·所谓最值情形是指最简单情形,最大、最小值情形,最可能、最不可能情形,不等情形等·而均值情形则是考虑取平均值的情形,相等情形等·以下举例说明这种策略的应用·例1已知:三个正数a、b、c,且a<1,b<1,c<1,求证;(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于41·证:考虑最值情形,不妨假设a为a、b、c中最小的,则1-a是最大的,所以(1-c)a≤(1-a)a≤41·例2把1600颗花生分给100只猴子,证明:不管…     

函数问题错解剖析

有关函数问题,历来就是中考的重要考点。有些问题看似不难,但若数学概念模糊,掌握知识不够全面,或粗心大意忽视隐含条件,或考虑问题不周密,加上思维定式的影响,就会产生错误的理解,形成错误的判断,导致错误的结论。现略举几例加以剖析:例1.已知abc≠0并且c/a b=a/b c=b/c a=1/2p,那么一次函数y=px-P的图象一定经过____象限。(泰州市中考题)错解:由等比定理,得1/2p=a b c/2(a b c)=1/2从而p=1故直线y=x-1一定经过一、三、四象限剖析:这是由于受等比定理形式这一思维定式的影响,误以为只能是a b c≠0。事实上,当a b c=0时,a b=-c,1/2p=c/-c=-…     

复数问题解题思想方法归类及例析

复数问题在中学数学中,涉及面广,知识跨度大,与代数、三角、几何等知识有着密切的联系.在高考数学试题中,对复数内容在注重考查基础知识和基本技能的同时,还把一些基本数学思想方法列为重要考查内容.因此在高三复习阶段,应引导学生结合课本,把复数问题中所蕴含的几种基本数学思想方法予以充分揭示.一、化归思想.化归思想在复数问题中应用非常广泛.复数模的性质及复数相等的定义,提供了复数问题与实数问题实行双向化归的可能;而利用复数的三角式又可以把复数中的许多求值问题化归为三角问题来解决,反之亦然.例1.解方程 z |(?)|=2 i,(高中代数(下)P222题14①)解:令z=a bi(a,b∈R)则 a (a~2 b~2)~(1/2) bi=2 i∴a (a~2 b~2)~(1/2)=2 (1)b=1 (2)     

挖掘向量的应用功能,发挥向量的工具作用

向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一,它具有丰富的实际背景和广泛的应用功能,是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一.本文想通过几个例题谈谈发挥向量工具作用的几个问题.一、发挥平面向量在代数中的应用功能,使向量与代数水乳交融向量的概念是数量的概念在二维空间的拓展,向量的运算及其性质与许多代数内容之间有着紧密的联系,借助向量的知识解决代数问题,往往可以收到化繁为简、变难为易的效果.1.确定函数的值域或最值利用向量模的不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,可以十分简洁的求解一些较为复杂的、运用常规方法难以奏效的函…     

条件a+b+c=0在解题中的应用

在各类考试中经常出现条件为a+b+c=0的问题.本文分类举例,说明如何灵活应用条件a+b+c=0,使问题得到解决.一、若a+b+c=0,则有a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b例1(1998年全国初中生数学竞赛题)已知:abc≠0,并且a+bc=b+ca=c+ab=p,那么直线y=px+p一定过()(A)第一、二象限(B)第二、三象限(C)第三、四象限(D)第一、四象限解(1)若a+b+c=0,则a+b=-c.∴p=a+bc=-1,此时直线方程为y=-x-1,经过二、三象限.(2)若a+b+c≠0,由等比性质可得:(a+b)+(b+c)+(c+a)c+a+b=p,∴p=2.此时直线方程为y=2x+2,经过一、二、三象限.故y=px+q一定经过二、三象限.故选(B).例2(2002年…     

解析以a+b+c=0为条件的求值题

<正>在初中数学中经常会遇到一类以a+b+c=0为条件的代数求值题,本文举例加以解析,以期使读者了解此类问题的解题思路.例1已知abc≠0,且a+b+c=0     

棘手的代数小题目

每年中考都有一些使学生感到棘手的代数小题目 (填空、选择、简答题 ) ,有的难以入手 ,或者费时费力 ,事倍功半 ;有的似乎不难 ,却容易误中埋伏 ,错得莫名其妙 .例 1　如果a、b、c为互不相等的实数 ,且满足关系式b2 c2 =2a2 1 6a 1 4与bc=a2 - 4a - 5,那么a的取值范围是.( 2 0 0 3年天津市 )分析　由b2 c2 与bc想到 (b-c) 2 的展开式 ,(b -c) 2 =b2 c2 - 2bc=2a2 1 6a 1 4 - 2 (a2 - 4a- 5) =2 4 (a 1 ) .当b≠c时 ,(b-c) 2 >0恒成立 ,所以a >- 1 .本题也可以想到 (b c) 2 ,再由b c与bc想到一元二次方程有两个不相等的实数根 ,由…     

一道题目的推广

在我们常见的数学参考书中常有这样一道题:求证:由小于1的三正数 a、b、c 所组成的三个乘积(1-a)b(1-b)c,(1-c)a 不能同时都大于1/4.我们不难看到:把(1-a)b视为(1-a)(0 b),结论中的1/4便是[(1 0)/2]~2,故上述命题可推广为下面的定理.定理:设 p、q∈R~ ,且 x_1,x_2,…,x_n 都在区间(-q,p)上取值,求证:(p-x_1)(q x_2),(p